Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Αρχή του Hamilton Εξισώσεις Euler - Lagrange. Αρχή Fermat

 Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Αρχή του Hamilton Εξισώσεις  Euler - Lagrange. Αρχή Fermat

 

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

υπό κατασκευή

 

 

 Αρχή του Hamilton

Η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.

Η αρχή του Hamilton ορίζει ότι από όλες τις πιθανές κινήσεις στον χώρο το σώμα επιλέγει να κινηθεί σε αυτήν για την οποία το I έχει ελάχιστη τιμή. Αυτό μας παραπέμπει κατευθείαν στον λογισμό μεταβολών. Άρα μπορούμε αμέσως να δούμε ότι η αρχή του Hamilton διατυπώνεται και ως (δείτε την Εξ. (2.89))

 2ος Νόμος του Newton και οι εξισώσεις Euler - Lagrange

Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής

 2ος  Νόμος του Newton

Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα λέει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής του σώματος

ΣF = dp/dt = d(mu)/dt

 

 

Η εύρεση ενός τοπικού ελάχιστου ενός συναρτησοειδούς : Η αρχή του Euler

Για την εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου ενός συναρτησοειδούς (συνάρτησης και παραγώγων της) 

J(y) = a b L(x, y, y΄)dx

H L είναι μια δεδομένη και δυο φορές διαφοροποιήσιμη συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο [a ,b] * R2  l  και y ανήκει στο C2[a, b] EulerΑν η συνάρτηση y λαμβάνει τοπικό ελάχιστο τότε ya =y0  και yb = y

τότε η  y πληρεί την εξίσωση   Euler -Lagrange

   Ly(x, y, y΄)  - d (Ly΄(x, y, y΄)/dx  =0

 

Η εξίσωση αυτή παριστά μια αναγκαία συνθήκη για τοπικό ελάχιστο, είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως,

  (ανάλογη με τις συνθήκες μηδενισμο της παραγώγου). 

Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωση Euler- Lagrange  J(y) = a b L(x, y, y΄)dx

α. Αν    L=L(x, y)     τ τότε η εξίσωση Euler  Ly(x, y)=0 

β. Αν    L=L(x, y΄)     τ τότε η εξίσωση Euler  L(x, y΄ )=0 

γ. Αν    L=L(y, y΄)     τ τότε τότε η εξίσωση Euler  L(y, y΄) -    y΄Ly(y, y΄)=σταθερά

 

Παράδειγμα: Να δείξουμε ότι τα ακρότατα συναρτησοειδούς μήκους τόξου, είναι ευθείες γραμμές: Έστω, 

  a b (1 + y΄2, ) 1/2dx          όπου ,  y ανήκει στο C2[a, b]     και  ya =y0  και yb = y

Εξετάζουμε όλες τις συναρτήσεις που διερχονται από τα σημεία [a, yo kai [b,y1]. Για να έχει το J τοπικό ελάχιστο στοy πρέπει το y να πληρεί την εξίσωση Euler:   Ly  - d Ly΄/dx  =0  παρατηρούμε ότι Ly =0   και Ly΄=y' /(1+y2)1/2

d[y' /(1+y2)1/2]/dx  =0

επιλύοντας καταλήγουμε 

y=(y1-y0)x /b-a  + by0 -ay1/b-a    Aυτή είναι εξίσωση ευθείας

 

Η αρχή του Fermat. Η διαδρομή του φωτός μεταξύ δύο σημείων.

Ο χρόνος που παρέρχεται κατά την διέλευση του φωτός μεταξύ δύο σημείων σε ένα μέσο είναι ακρότατο ως προς όλες τις δυνατές διαδρομές που συνδέουν τα δύο σημεία. Θεωρούμε μόνο ένα επίπεδο για πιο εύκολα. Έστω c =c(x ,y) συνεχής και διαφορποιήσιμη συνάρτηση που παριστά την ταχύτητα του φωτός στο μέσο αυτό. Η αντίστροφη  n = c-1 ονομάζεται δείκτης διαθλάσεως. 

Αν a: (x1, y1) και b(x2,y2)  τότε ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσει το φως μια δεδομένη διαδρομή είναι 

Τ(y) a b n(x, y )(1+y2)1/2dx

Πρέπει να έχω τον ελάχιστο χρόνο, άρα πρέπει στο ολοκήρωμα να έχω ακρότατο και 

n(x, y )(1+y2)1/2  - d (n(x, y )y΄/(1+y2)1/2)/dx  =0

αν ο δείκτης διαθλάσεως n είναι ανεξάρτητος της διαδρομής,  τo  n(y)/(1+y2)1/2   =σταθερό

     

 

ΠΗΓΕΣ

Βικιπαίδεια

https://el.wikiped

ia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%AE_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%A7%CE%AC%CE%BC%CE%B9%CE%BB%CF%84%CE%BF%CE%BD

 

Η εύρεση ενός τοπικού ελάχιστου ενός συναρτησοειδούς