της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης
υπό κατασκευή
Αρχή του Hamilton
Η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η αρχή του Hamilton ορίζει ότι από όλες τις πιθανές κινήσεις στον χώρο το σώμα επιλέγει να κινηθεί σε αυτήν για την οποία το έχει ελάχιστη τιμή. Αυτό μας παραπέμπει κατευθείαν στον λογισμό μεταβολών.
Αν θεωρήσουμε σύστημα που αντιστοιχεί σε σύνολο ποσοτήτων ή δυναμικών μεταβλητών, καθεμια από τις οποίες έχει καλά ορισμένη τιμή σε κάθε χρονική στιγμή. Θεωρώντας ότι οι δυναμικές μεταβλητές πληρούν ως συναρτήσεις του χρόνου εξισώσεις κίνησης (διαφορικές) ότι η χρονική εξέλιξη του συστήματος μπορεί να προβλεφθεί αν έχουμε γνωστή κάποια δεδομένη στιγμή.
Η εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης βασίζεται στην αρχή ότι ένα σύστημα θα πρέπει να εξελίσσεται χρονικά πάνω στην διαδρομή ελαχίστης αντίδρασης. Αρχή με μακρά ιστορία (¨ηρων ο Αλεξανδεύς, Αρχή Fermat, αρχή Maupertius, Lagrange, Gauss και τέλος W.R. Hamilton
Ο W.R. Hamilton διετύπωσε μιαν αρχή που μπορεί να γενικευτεί και να περιλαβει πολλές περιοχές της φυσικής.
Αναφέρει ότι η χρονική εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος γίνεται κατά τέτοιον τρόπο, ώστε ώστε το ολοκλήρωμα της διαφοράς μεταξύ της κινηιτικής και της δυναμικής ενέργειας να είναι στάσιμο
2ος Νόμος του Newton και οι εξισώσεις Euler - Lagrange
Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής
2ος Νόμος του Newton
Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα λέει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής του σώματος
ΣF = dp/dt = d(mu)/dt
Η εύρεση ενός τοπικού ελάχιστου ενός συναρτησοειδούς : Η αρχή του Euler
Για την εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου ενός συναρτησοειδούς (συνάρτησης και παραγώγων της)
J(y) = a b L(x, y, y΄)dx
a b L(x, y, y΄)dxH L είναι μια δεδομένη και δυο φορές διαφοροποιήσιμη συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο [a ,b] * R2 l και y ανήκει στο C2[a, b] EulerΑν η συνάρτηση y λαμβάνει τοπικό ελάχιστο τότε ya =y0 και yb = y1
τότε η y πληρεί την εξίσωση Euler -Lagrange
Ly(x, y, y΄) - d (Ly΄(x, y, y΄)/dx =0
Η εξίσωση αυτή παριστά μια αναγκαία συνθήκη για τοπικό ελάχιστο, είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως,
(ανάλογη με τις συνθήκες μηδενισμο της παραγώγου).
Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωση Euler- Lagrange J(y) = a b L(x, y, y΄)dx
α. Αν L=L(x, y) τ τότε η εξίσωση Euler Ly(x, y)=0
β. Αν L=L(x, y΄) τ τότε η εξίσωση Euler Ly΄(x, y΄ )=0
γ. Αν L=L(y, y΄) τ τότε τότε η εξίσωση Euler L(y, y΄) - y΄Ly(y, y΄)=σταθερά
Παράδειγμα: Να δείξουμε ότι τα ακρότατα συναρτησοειδούς μήκους τόξου, είναι ευθείες γραμμές: Έστω,
a b (1 + y΄2, ) 1/2dx όπου , y ανήκει στο C2[a, b] και ya =y0 και yb = y1
Εξετάζουμε όλες τις συναρτήσεις που διερχονται από τα σημεία [a, yo kai [b,y1]. Για να έχει το J τοπικό ελάχιστο στοy πρέπει το y να πληρεί την εξίσωση Euler: Ly - d Ly΄/dx =0 παρατηρούμε ότι Ly =0 και Ly΄=y' /(1+y2)1/2
d[y' /(1+y2)1/2]/dx =0
επιλύοντας καταλήγουμε
y=(y1-y0)x /b-a + by0 -ay1/b-a Aυτή είναι εξίσωση ευθείας
Η αρχή του Fermat. Η διαδρομή του φωτός μεταξύ δύο σημείων.
Ο χρόνος που παρέρχεται κατά την διέλευση του φωτός μεταξύ δύο σημείων σε ένα μέσο είναι ακρότατο ως προς όλες τις δυνατές διαδρομές που συνδέουν τα δύο σημεία. Θεωρούμε μόνο ένα επίπεδο για πιο εύκολα. Έστω c =c(x ,y) συνεχής και διαφορποιήσιμη συνάρτηση που παριστά την ταχύτητα του φωτός στο μέσο αυτό. Η αντίστροφη n = c-1 ονομάζεται δείκτης διαθλάσεως.
Αν a: (x1, y1) και b(x2,y2) τότε ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσει το φως μια δεδομένη διαδρομή είναι
Τ(y) = a b n(x, y )(1+y2)1/2dx
Πρέπει να έχω τον ελάχιστο χρόνο, άρα πρέπει στο ολοκήρωμα να έχω ακρότατο και
n(x, y )(1+y2)1/2 - d (n(x, y )y΄/(1+y2)1/2)/dx =0
αν ο δείκτης διαθλάσεως n είναι ανεξάρτητος της διαδρομής, τo n(y)/(1+y2)1/2 =σταθερό
ΠΗΓΕΣ
Βικιπαίδεια