Αρχική Σελίδα > Η ΧΗΜΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΥΛΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ:3ο μέρος. Εξίσωση Scrondinger:.Κβαντικοί αριθμοί. Η συνάρτηση ψ. Ακτινικό- γωνιακό μέρος. Ατομικά τροχιακά υδρογόνου υδρογονοειδών (εισαγ.).

Η ΧΗΜΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΥΛΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ:3ο μέρος. Εξίσωση Scrondinger:.Κβαντικοί αριθμοί. Η συνάρτηση ψ. Ακτινικό- γωνιακό μέρος. Ατομικά τροχιακά υδρογόνου υδρογονοειδών (εισαγ.).

H ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER

Η εξίσωση Schrodinger περιγράφει την εξέλιξη (χωρική, χρονική) της κβαντικής κατάστασης ενός συστήματος και για την σύγχρονη φυσική, έχει ανάλογη σημασία του 2ου νόμυ του Νεύτωνα στην Κλασσική Μηχανική

Για ένα σωματίδιο, στην απλή της μορφή η εξίσωση Schrodinger είναι ${\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$ (Η τελεστής Hamilton, E ενέργεια σωματιδίου)και ψ η κυματοσυνάρτηση

Η Ψ στην σξίσωση σχετίζεται με τα χαρακτηριστικά του σωματιδίου (ενέργεια ορμή)

Mη στάσιμη μορφή της εξίσωσης Schrodinger

Η Mη στάσιμη μορφή της εξίσωσης Schrodinger (χωρική ,χρονική) για ένα σωματίδιο μάζας m στο Δυναμικό πεδίο V(r, t) έχει την μορφή

Η Hamiltonian (Χαμιλτονιανή ) είναι ο κβαντικός τελεστής που αντιστοιχεί στο άθποισμα των ενεργειών (για την κινητική και δυναμική ενέργεια)

και λύνεται σαν διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών.

Η κινητική ενέργεια (παράδειγμα, για ένα σωματίδιο m) γίνεται

${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες

το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις ο οποίος δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση είναι

Ενώ η ολική -κινητική και δυναμική, (παράδειγμα, για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις χρονοεξαρτώμενη λόγω της εξάρτησης του δυναμικού από τον χρόνο (σε όποιες περιπτώσεις συμβαίνει) .

${\begin{aligned}{\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r},t)\\[6pt]=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r},t)\end{aligned}}$

(ο πρώτος όρος για την κινητική (3 διαστάσεις) και ο δεύτερος για την δυναμική ενέργεια) και όπως φαίνεται η Δυναμική ενέργεια μπορεί να είναι και χρονοεξαρτώμενη

Για μια εξίσωση δύο μεταβλητών παίρνει την μορφή

u(x,y)=X(x)Y(y)

Σε πολικές συντεταγμένες r, t

Η εξίσωση Schrodinger και η ενέργεια σε με πολικές * συντεταγμένες είναι

Εάν η κυματοσυνάρτηση είανι ανεξάρτητη από τον χρόνο

έχουμε την

Στατική μορφή της εξίσωσης Schrodinger Ĥφ(r) = Eφ(r)

Η Στατική μορφή της εξίσωσης Schrodinger όταν η δυναμική ενέργεια ελιναι αναξάρτητη από τον χρόνο δηλαδή V(r)

η εξίσωση σε καρτεσιανές και για μία διάσταση(μιας μεταβλητής και ανάλογα είναι για 3 διαστάσεις)

όταν υπολογίζουμε σε πολικές συντεταγμένες, η εξίσωση τότε είναι

Ĥφ(r) = Eφ(r) [φ(r) η ψ(r)]

(Η θεωρία της κυματοειδούς φύσης των ηλεκτρονίων του Schrodinger που δίνουν την χωρική κατανομή του φορτίου του ηλεκτρονίου που θεωρείται σαν στατικό ηλεκτρικό κύμα και γι αυτόν τον λόγο χρησιμοποιείται η στατική της μορφή)

αλλά και η στατιστκή ερμηνεία του Max Born που δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο - σωματίδιο σε διάφορα σημεία του χώρου στον οποίο κινείται,

δίνουν μια νέα εικόνα για την δομή του ατόμου αυτήν των ατομικών τροχιακών

Η θεωρία των ατομικών και μοριακών τροχιακών πρότεινε Robert Sanderson Mulliken, το 1932

ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER

Αν και σε ρεαλιστικά προβλήματα η εξίσωση Schrodinger δεν επιλύεται ακριβώς, υπάρχουν ορισμένα προβλήματα που επιλύονται με τη χρησιμοποιησή της, κυρίως αυτά που μελετώνται με τη βοήθεια της κβαντομηχανικής όπως:

Το ελεύθερο σωματίδιο

Το απειρόβαθο πηγάδι

Το σωματίδιο σε δακτύλιο

Το δυναμικό δέλτα

Το σκαλοπάτι δυναμικού

Ο αρμονικός ταλαντωτής

Το άτομο του υδρογόνου

H στατική συνάρτηση ψ για ένα ελεύθερο σωματίδιο

Για ένα ελεύθερο σωματίδιο, στην απλή της μορφή η εξίσωση Schrodinger είναι ΗΨ =ΕΨ (Η τελεστής Hamilton, E ενέργεια σωματιδίου)

Είναι εξίσωση κύματος και περιγράφει τις κυματικές ιδιότητες σωματιδίου σε συνάρτηση με τη θέση, τη μάζα του, την ολική του ενέργεια και την δυναμική του ενέργεια. Επιλέγεται η στατική κβαντομηχανική συνάρτηση φ ή ψ γιατί

Eνα ελεύθερο σωματίδιο δεν δέχεται επιδράσεις από άλλα σωματίδια και το δυναμικό του είναι μηδέν

Η Χαμιλτίνια για την ενέργεια περιέχει μόνο το σκέλος για την για κίνηση

σε μία διάσταση είναι

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$

σε τρεις διαστάσεις

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

H στατική συνάρτηση ψ για σωματίδιο σε πηγάδι δυναμικού (κλωβό)

Το σωματίδιο που είναι παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού δεν μπορεί να απομακρυνθεί από εκεί γιατί θεωρητικά χρειάζεται άπειρη ενέργεια για να συμβεί αυτό. Η δυναμική του ενέργεια είναι σταθερή

$V=V_{0}$

Η Χαμιλτονιανή του για την ενέργεια για μία διάσταση είναι

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$

σε Καρτεσιανές συντεταγμένες

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$

σε σφαιρικές συντεταγμένες Ψ(r, θ,φ)

$— \frac{ħ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V (r) ψ = E ψ$

Mia βολική λυση της εξίσωσης Schrodinger είναι με την χρήση σφσιρικών συντεταγμένων .

H στατική κυματοσυνάρτηση ψ για το υδρογόνο και τα υδρογονοειδή

Η κυματοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου ψ_n,l,m (r, θ, φ) που είναι το πλάτος της πιθανότητας εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε ένα σημείο στο χώρο και το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης δίνει την πυκνότητα πιθανότητας [ψ_,l,m (r, θ, φ)]² περιγράφει την κατανομή πιθανότητας ηλεκτρονίων σε διαφορετικά σημεία του χώρου δίνονται με τη χρήση σε σφαιρικές συντεταγμένες λόγω ακτινικής συμμετρίας

Μεταβλητές είναι η απόσταση r από τον πυρήνα και οι γωνίες θ και η γωνία φάσης φ.

'Ετσι, η απλούστερη κυματοσυνάρτηση, αυτή ενός ατόμου υδρογόνου χωρίζεται σε τρία συστατικά: ακτινική, γωνιακή και φάση. Ψ(r, θ, φ)

Ψ(r, θ,φ) = R_nl(ιη) .Θ_lm(θ) . Φ_lm(φ)

Η λύση του ακτινικού μέρους έχι αποτέλεσμα μια συνάρτηση R(r) που εξαρτάται μόνο από την απόσταση r ενώ η λύση του γωνιακού μέρους

Y( θ,φ) που είναι το γινόμενο των γωνιακών συνάρτησεων Θ(θ) . Φ(φ) που περιγράφει την γωνιακή κατανομή πιθανότητας του ηλεκτρονίου

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Βασικές αρχέ Ανόργανης Χημείας Γ. Πνευματικάκης Χ. Μητσοπούλου Κ. Μεθενίτης

https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov

Ατομικά τροχιακά και κβαντικοί αριθμοί – Η ηλεκτρονική τάξη Χημείας (sch.gr)

6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)

https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov

Ηλεκτρονική δομή - Βικιπαίδεια (wikipedia.org)

6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)

Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C_%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%87%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C

https://www.slideserve.com/koen/se-pa-e-ed-s-ea-dafe-ea-t-a-ta-ap-t-ea-des-s-vb

https://docplayer.gr/45953129-5-organometallikes-enoseis-ton-mm.html

https://www.slideserve.com/rufin/3271136#google_vignette

Сферические гармоники

https://slideplayer.gr/slide/17116331/

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές - Διαδικτυακή Παρουσίαση

Решение для атома водорода - презентация онлайн

Орбитали имеющие сферическую форму 60 фото - Pla

https://mycourses.ntua.gr/courses/CHEM1047/document/%EA%E5%F6%DC%EB%E1%E9%EF_3.pdf

Способы изображения атомных орбиталей

Η λύση της εξίσωσης Schrödinger για το άτομο υδρογόνου είναι BeeTheory.com

Χαμιλτονιανή (κβαντική μηχανική)

ακατέργαστο

Λειτουργία $\psi$ υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση Schrödinger στο πλαίσιο της προσέγγισης ενός ηλεκτρονίου ( μέθοδος Hartree-Fock ) ως η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου σε ένα αυτοσυνεπές πεδίο που δημιουργείται από τον ατομικό πυρήνα με όλα τα άλλα ηλεκτρόνια του ατόμου. Για απλοποίηση, ο υπολογισμός συχνά περιορίζεται στην εύρεση των ιδιοσυναρτήσεων της εξίσωσης Schrödinger για ένα ηλεκτρόνιο στο δυναμικό Coulomb .

ακατέργαστο

Η εξίσωση του Σρέντινγκερ, από μαθηματικής σκοπιάς, είναι μια μερική διαφορική εξίσωση (περιέχει δηλαδή μερικές παραγώγους κάποιας συνάρτησης Ψ) ως προς το χρόνο και ως προς τις χωρικές συντεταγμένες. Η επίλυση της εξίσωσης αυτής οδηγεί (όπως άλλωστε και κάθε διαφορικής εξίσωσης) στον προσδιορισμό των συναρτήσεων-λύσεων (Ψ), που την επαληθεύουν. Η συναρτήσεις αυτές στη Φυσική καλούνται κυματοσυναρτήσεις για να δείξουν πως το σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός «κύματος πιθανότητας», που καθιστά τη συμπεριφορά του μη αιτιοκρατική. Να τονιστεί πως η ανωτέρω εξίσωση λύνεται ακριβώς μόνο στο άτομο του υδρογόνου και στα υδρογονοειδή άτομα [ιον(τ)ισμένα άτομα που περιλαμβάνουν μόνο ένα ηλεκτρόνιο], ενώ για τα πολυηλεκτρονιακά άτομα και τα μόρια η εξίσωση λύνεται αριθμητικά με χρήση Η/Υ και έπειτα από κατάλληλες προσεγγίσεις, που απλοποιούν το μαθηματικό πρόβλημα

$V (r) = — \frac{e^{2}}{4 π ϵ_{0} r}$

$— \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V (r) ψ = E ψ$
ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ) a $a0 = \frac{4 π ϵ_{0} ℏ^{2}}{m e^{2a 0 = \frac{4 π ϵ_{0} ℏ^{2}}{m e^{2}}}}$

1s:

2s: $\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} \begin{pmatrix} 2 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{2}}$ .

2p_x: n=2,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} re^{- \frac{\rho}{2}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi

2p_y: n=2,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} re^{- \frac{\rho}{2}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi

2p_z: n=2,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} re^{- \frac{\rho}{2}} \sigma \upsilon \nu \phi

3s: n=3,

\ell

=0:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{81 \sqrt{3 \pi}} \begin{pmatrix} 27 - 18 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}}

3p_x: n=3,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{2}{81 \sqrt{2 \pi}} r \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi

3p_y: n=3,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{2}{81 \sqrt{2 \pi}} r \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi

3p_z: n=3,

\ell

=1:

\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{2}{81 \sqrt{2 \pi}} r \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \sigma \upsilon \nu \phi

Αυτά είναι λοιπόν τα ατομικά τροχιακά ή αλλιώς οι τροχαιές όπως τις συνέλαβε αρχικά ο Bohr που δεν είναι βέβαια κυκλικές όμως είναι κοντά στην ιδέα που είχαν τότε. Βέβαια εφ όσον τα τροχιακά προκύπτουν από πιο πολύπλοκες εξισώσεις, δεν έχουν το σχήμα που πρότειναν τότε το 1913, όμως η ιδέα τους ήταν γενικά σωστή ώστε τελειοποιήθηκε αργότερα

{\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle.$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}$

$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$

$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ${\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}$

$V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}$

$V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$

${\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}$