Αρχική Σελίδα > Η ΧΗΜΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΥΛΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ:4ο μέρος. Πολυδιάστατο κβαντικό σύστημα Εξίσωση Scrondinger: Κυματοσυναρτήσεων ατομικών τροχιακών πολυατομικών ατόμων και Ενέργεια

Η ΧΗΜΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΥΛΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ:4ο μέρος. Πολυδιάστατο κβαντικό σύστημα Εξίσωση Scrondinger: Κυματοσυναρτήσεων ατομικών τροχιακών πολυατομικών ατόμων και Ενέργεια

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ

ΓΙΑ ΜΟΝΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΑΤΟΜΑ

Η λύση της εξίσωσης Σρέντινγκερ δίνει ένα σύνολο κυματοσυναρτήσεων ψ για το άτομο του υδρογόνου και τα υδρογονοειδή (μονοηλεκτρονικά άτομα)

Καθεμιά από τις οποίες τις κυματοσυναρτήσεις, ικανοποεί τους περιορισμούς των κβαντικών αριθμών, και αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμή ενέργειας Επ του ηλεκτρονίου και αποτελεί το ατομικό τροχιακό

Για το ατομικό τροχιακό η κβαντομηχανική συνάρτηση που επιλέγεται για να περιγράψει την εύρεση ενός ηλεκτρονίου στον χώρο σε κβαντομηχανική κατάσταση είναι η κυρίως σε ακίνητη κατάσταση που είναι η χωρική κυματική συνάρτηση . Το σύμβολό του είναι κυρίως (μικρό φι) ή ψ

Τα ατομικά τροχιακά είναι συναρτήσεις των θέσεων του ηλεκτρονίου ανεξάρτητα αν υπάρχει είτε όχι ηλεκτρόνιο σε αυτό και

Η Ενέργεια του ατόμου δεν είναι συνεχής αλλά παίρνει διακριτές τιμές που καθορίζονται από τον κύριο κβαντικό αριθμό n. Ε_n=- 13,6 ev/n kai προκύπτει από τη σχέση Ε_n=- (mc²z²/8e_n²h² )/n

Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ ΣΕ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΟΛΥΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΑΤΟΜΑ

Εάν συνυπάρχουν δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια σε άτομο η εξίσωση Schrodinger στη στατική της μορφή πρέπει να τροποοιηθεί ώστε νσ περιλαμβάνει και τις απώσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων και χρησιμοποιείται η μη στατική μορφή της

Σε διάστημα n διαστάσεων Rⁿ(μία περίπτπωση είναι άτομο ολλών ηλεκτρονίων ) ν η Hamiltonian τροποποιείταιtonian

Η ΗΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝ ΣΕ ΠΟΛΥΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΑ ΑΤΟΜΑ

Σε σύστημα πολλών σωματιδίων, η Hamiltonian υπολογίζεται ως εξής:

${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}$ η κινητική ενέργεια είναι το άθποισμα των ενεργειών τους και η δυναμική επιρρεάζεται από τις αλληλλεπιδράσεις σε δοθείσα χρονική στιγμή

${\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots,\mathbf {r} _{N},t),$

Εδώ επιλέγεται η μη στατική μορφή της εξίσωσης Schrodinger (χωρική και χρονική διαμόρφωση) οι θέσεις των ηλεκτρονίων καθορίζονται από την χρονική στιγμή

Για την κινητική ενέργεια απαιτείται το τετράγωνο του ανάδελτο

${\begin{aligned}{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\ mathbf {r} _{2},\ldots,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$

Παρ όλα αυτά το πρόβλημα δεν επιλύεται τόσο απλά γιατί η κίνηση των πολλώ σωματιδίων επιρρεάζει την Hamiltonian που πρέπει τώρα να υπολογιστεί

Για τον λόγο αυτό και το δυναμικό κάθε σωματιδίου επιρρεάζεται από την θέση του στην ανάλογη χρονική στιγμή. Έτσι το συνολικό δυναμικό δίνεται από τη σχέση

$V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)$

Η Hamiltonian τώρα

${\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}$

[Εάν πρόκειται για δύο ηλεκτρόνια με κυματοσυναρτήσεις ψ1 και ψ2 η συνύπαρξή τους σε άτομο βάσει της γραμμικότητας της λύσης της εξίσωσης δίνει:

ψ = γ1ψ1 + γ2ψ2 ]

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ ΠΟΛΥΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΩΝ ΑΤΟΜΩΝ

ΕΚΦΥΛΙΣΜΟΣ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ

Η ενέργειες στα ατομικά τροχιακά του υδρογόνου εξαρτώνται μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n . Τροχιακά του υδρογόνου με το ίδιο n λέγονται εκφυλισμένα kai κατατάσσονται στην ίδια στοιβάδα.

Οι ενέργειες πολυηλεκτρονιακών ατόμων εξαρτώνται από τον κύριο αριθμό και από τον δευτερεύονταα l. Αν το και το n και l είναι ίδια έχουμε τροχιακά εκφυλισμένα

ΑΡΣΗ

ΕΚΦΥΛΙΣΜΟΥ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ

Την σειρά τωνν ατομικών τροχιακών από αυτά της χαμηλότερης ενέργειας (1s) προς αυτά με την υψηλότερη ενεργειακή κατάσταση

Εδώ ισχύει ο κανόνας του Klechkowsky "Η συμπλήρωση των τροχιακών σε πολυηλεκτρονιακά άτομα γίνεται από τις χαμηλότερης ενέργειας υποστοιβάδες με το μικρότρο άθροισμα (n+l) προς τις υψηλότερης ενέργειας

Κάθε ηλεκτρόνιο έχει διαφορετική τετράδα των κβαντικών αριθμών (Απαγορευτική αρχή του Pauli)

Τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου τοποθετούνται ώστε κάθε επόμενο ηλεκτρόνιο να καταλαμβάνει ένα ελεύθερο ατομικά τροχιακά με την αμηλότερη ενέργεια (αρχή ελαχίστης ενέργειας)

Η σειρά συμπλήρωσης ατομικών τροχιακών με αυξανόμενη ενέργεια είναι:

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p

ενώ σε κάθε τροχιακό μπορούν να τοποθετηθούνένα έως δύο ηλεκτρόνια με αντιπαράλληλα spin. Tα ατομικά τροχιακά οργανώνονται σε υποεπίπεδα Οι τύποι τους είναι οι εξής: s, p, d, f, με διαφορετικό σχήμα προσανατολισμό και ενέργεια

Η τοποθέτηση των ηλεκτρονίων σε ένα πολυηλεκτρονιακό άτομο γίνεται:

Σύμφωνα με την απαγορευτική αρχή του Pauli

Σύμφωνα με την Αρχή ελαχίστης ενέργειας

Την απαγο

Η απαγορευτική αρχή Pauli (Exclusion Principle) Αρχή ελάχιστης ενέργειας (Aufbau ) Ο κανόνας του H

PHGES

Χαμιλτονιανή (κβαντική μηχανική)

ακατέργαστο

ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΔΟΜΗΣΗΣ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΟΥ ΑΤΟΜΟΥ

Τα ηλεκτρόνια στο άτομο τοποθετούνται σε τροχαιές βάσει της ενέργειάς τους με σειρά από τα τροχιακά μικρότερης ενέργειας προς τα τροχιακά μεγαλύτερης ενέργειας .

Ατομικά τροχιακά με τον ίδιο κύριο κβαντικό αιθμό n αποτελούν στοιβάδα

Ατομικά τροχιακά με τον ίδιο δευτερελυοντα κβαντικό αιθμό l αποτελούν υποστοιβάδα

Δεδομένου ότι, κάθε τροχιακό του ατόμου συμπληρώνεται με δύο ηλεκτρόνια που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, (m_s -1/2 και m_s= -1/2)εάν το τροχιακό είναι συμπληρωμένο, το αλγευρικό άθροισμα των ροπών των δύο ηλεκτρονίων είναι μηδέν

Προφανώς, μια συμπληρωμένη τροχαιά δεν συνεισφέρει στην ολική ροπή του ατόμου (πράγμα επιθυμητό για την συνολική του ευστάθεια)

Σε ένα άτομο που έχει πολλά ηλεκτρόνια, η τοποθέτησή τους ακολουθεί ορισμένους κανόνες:
Κάθε ηλεκτρόνιο του ατόμου είναι εντελώς καθορισμένο

και πρέπει ένας τουλάχιστον από τους 4 κβαντικούς αριθμούς του να είναι διαφορετικός

Ο αριθμός των ηλεκτρονίων στους φλοιούς (στοιβάδες) πρέπει να είναι από ένα έως 2n².
Αν σε έναν εξωτερικό φλοιό (κέλυφος) ο αριθμός των ηλεκτρονίων φτάσει την οριακή τιμή το κέλυφος γεμίζει και αρχίζει να σχηματίζεται ένα νέο κέλυφος.
Κάθε ένα από τα ατομικά τροχιακά της κάθε στοιβάδων συμπληρώνεται ανάλογα: με 2 ηλεκτρόνια (s υποστοιβάδα) 6 ηλεκτρόνια (p υποστοιβάδα), 10 ηλεκτρόνια (d υποστοιβάδα), κ.λ.π Τα ατομικά τροχιακά μιας υποστοιβάδας έχουν ίδιο κύριο και δευτερεύοντα κβαντικό αριθμό

Η υποστοιβάδα s διαθέτει ένα μόνο επίπεδο περιστροφής και συμπληρώνεται με δύο ηλεκτρόνια.

Η υποστοιβάδα p διαθέτει τρία επίπεδα περιστροφής τα x, y, z και συμπληρώνεται με 2x3=6 ηλεκτρόνια.

Η υποστοιβάδα d διαθέτει πέντε επίπεδα περιστροφής και συμπληρώνεται με 2x5=10 ηλεκτρόνια.

Η υποστοιβάδα f διαθέτει επτά επίπεδα περιστροφής και συμπληρώνεται με 2x7=14.

ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ

Εάν σε ένα άτομο υπάρχουν δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια, η εξίσωση Schrodinger πρέπει να τροποποιηθεί

$\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\rho}$ , όπου $\rho = \frac{r}{\alpha_0}$ , με $\alpha_0 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e {q_e}^2}$ « ακτίνα Bohr ».

ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ

Αυτά είναι λοιπόν τα ατομικά τροχιακά ή αλλιώς οι τροχαιές όπως τις συνέλαβε αρχικά ο Bohr που δεν είναι βέβαια κυκλικές όμως είναι κοντά στην ιδέα που είχαν τότε. Βέβαια εφ όσον τα τροχιακά προκύπτουν από πιο πολύπλοκες εξισώσεις, δεν έχουν το σχήμα που πρότειναν τότε το 1913, όμως η ιδέα τους ήταν γενικά σωστή ώστε τελειοποιήθηκε αργότερα

Επαφή