Αρχική Σελίδα > Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Στατιστική Μηχανικη και η θεωρία των πιθανοτήτων για την επίλυση προβλημάτων στη Φυσική που αναφέρονται σε μεγάλο αριθμό σωματιδίων. Οι Στατιστικές κατανομές και η Στατιστική Θερμοδυναμική

Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Στατιστική Μηχανικη και η θεωρία των πιθανοτήτων για την επίλυση προβλημάτων στη Φυσική που αναφέρονται σε μεγάλο αριθμό σωματιδίων. Οι Στατιστικές κατανομές και η Στατιστική Θερμοδυναμική

Δήμητρα Σπανού καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025

Ο Μαξ Μπορν (Max Born) ήταν Γερμανός φυσικός, ο οποίος μοιράστηκε το Νόμπελ Φυσικής το 1954 με τον Βάλτερ Μπότε για την πιθανολογική ερμηνεία της κβαντομηχανικής.

Η ΑΝΑΓΚΗ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

H Στατιστική Μηχανική ή Στατιστική Φυσική, μαζί με την Κλασσική Μηχανική και την κλασσική θεωρία πεδίων είναι ένας από τους τρεις θεμελιώδεις κλάδους της Κλασικής Φυσικής,

Η Στατιστική Μηχανική δίνει στην Φυσική τον τρόπο για να αντιμετωπίσει την μελέτη της συμπεριφοράς μεγάλων πληθυσμών και να συνδέσει τις μικροσκοπικές ιδιότητες σωματιδίων με τα μακροσκοπικά φαινόμενα

ΟΙ πρώτοι Φυσικοι (μαθηματικοί) που εισήγαγαν στατιστικές μεθόδους στην Φυσική ήταν ο Maxwell sto 1860-79 kai Boltzman sto 1870-1884. αυτοί έθεσαν τα θεμέλια της κινητικής θεωρίας των αερίων. Η Κλασσική Στατιστική Μηχανική ιδρύθηκε από τον Gibbs το 1902. Αργότερα στα πλαίσια της Μαθηματικής Φυσικής, εισήγθησαν στην Στατιστική Φυσική ακριβείς μαθηματικες εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής από τον Joseph Liouville που βασίζονταν στη Χαμιλτόνια Μηχανική (αναδιατύπωνει την κλασσική μηχανική χρησιμοποιώντας κσι επεκτείνοντας την Λαγκρατζιανή Μηχανική)

Ενώ τα συστήματα που μελετήθηκαν έως τώρα η μαθηματική τους αντιμετώπιση αφορούσαν καταστάσεις ισορροπίας , το 1946 η μελέτη επεκτείνεται με την κατασκευή της Στατιστικής Μηχανικής μη ισορροπίας από τον Ν.Ν. Bogolyubov.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Στην στατιστική μέθοδο περιγραφής καταστάσεων μακροσκοπικών σωμάτων που βασιζεται στην τυχαία κίνηση των μεμονωμένων μικροσωματιδίων υπάρχει το θέμα της διαρκούς αλλαγής των τιμών των μεταβλητών τους (συντεταγμένες και ταχύτητες ) που δεν είναι δυνατόν να προβλεφθούν οι τιμές των και συμβαίνει αλλαγή και στις μέσες τιμές τους.

Η Στατιστική Φυσική ασχολείται χρησιμοποιεί παραμέτρους που περιγράφουν την κίνηση και την αλληλεπίδραση των μικροσωματιδίων ώστε να προσδιοριστούν οι ιδιότητες των μακροσκοπικών σωμάτων.

Η Στατιστική περιγραφή καταστάσεων ισορροπίας είναι ένας κλάδος της Φυσικής που περιγράφει καταστάσεις ισορροπίας.

Καταστάσεις διεργασιών που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια ανισορροπίας , ιδιαίτερα μεταφοράς αερίων αντιμετωπίζει η φυσική κινητική

Η Στατιστική Μηχανική είναι εφαρμογή της θεωρίας των πιθανοτήτων των Μαθηματικών και περιλαμβάνει μαθηματικά εργαλεία για την αντιμετώπιση μεγάλων πληθυσμών, στην συγκεκριμένη περίπτωση κίνησης μεγάλων πληθυσμών σωματιδίων ή αντικειμένων που υπόκεινται σε μια δύναμη.

Στην Χημεία πραγματοποιεί την σύνδεση μεταξύ των μικροσκοπικών ιδιοτήτων ατόμων και μορίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών.

Έτσι εξηγείται η Θερμοδυναμική σαν φυσικό αποτέλεσμα της Στατιστικής και της Μηχανικής που περιλαμβάνει την κλασσική και την κβαντική τους πλευρά.

Χωρίς να χρειαστεί να περιγράψει ξεχωριστά την συμπεριφορά του καθενός από αυτά, χρησιμοποιόντας μόνο στατιστικά στοιχεία για την πιθανότητες εύρεσής τους σε διάφορες θέσεις ή την κατανομή τους σε διάφορες ταχύτητες , βγαίνουν υπολογισμοί και μαθηματικές φόρμουλες ώστε να υπολογίσουμε μακροσκοπικά μεγέθη του μακρόκοσμου -στον οποίο ανήκουν τα σωμαίδια αυτά- όπως η Πίεση , η θερμοκρασία και άλλα που προκύπτουν στην συνέχεια.

Εκτός από την Χημεία, η Στατιστική Μηχανική παίζει μεγάλο ρόλο και σε άλλες Επιστήμες, την Φυσική Στερεάς κατάστασης, Αστροφυσική, Βιολογία, Ιατρική, Πληροφορική, Κοινωνιολογία, κ.α.

Η Βασική Αρχή της Στατιστικής Μηχανικής είναι το αξίωμα των εξ ορισμού ισων πιθανοτήτων. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα απομονωμένο σύστημα που βρίσκεται σε ισορροπία και όλες οι μικροκαταστάσεις που μπορεί να εμφανίζεται έχουν την ίδια πιθανότητα

Αν οι μικροκαταστάσεις είναι Ω η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε ισορροπία σε μια από αυτές είναι p=1/Ω. Αλλά η ίδια μικροκατάσταση μπορεί να υπάρχει περισσότερες από μια φορές

Στην Στατιστική Μηχανική χρησιμοποιούμε επίσης την ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας που μας δινει σε ποια κατάσταση βρίσκεται το σύστημα. Η τιμή του είναι από ελάχιστη αν όλα τα ρ είναι ίσα έως μέγιστη εάν ένα ρ είναι ίσο με την μονάδα και τα υπόλοιπα μηδέν

$I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle$

ιδέ

Η Ιστορία των Φυσικών Επιστημών. Μέρος Πέμπτο. Πέρα από την Κλασσική Φυσική Ι. Η κβάντωση των φυσικών μεγεθών: Πληρώνει ο Θεός με δόσεις;

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Ανάλογα με τις συνθήκες που βρίσκεται το εκάστοτε σύστημα υπολογίζουμε διαφορετικά τις μικροκαταστάσεις του. Υπάρχουν τέσσερες κατανομές που ονομάζονται επίσης και στατιστικά σύνολα ή στατιστικές ολότητες:

Η μικροκατανομη ( microcanonical ensemble): Χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τις θερμοδυναμικές ιδιότητες ενός απομονωμένου συστήματος. Ο αριθμός των σωματιδίων Ν, ο όγκος V και η Ενέργεια Ε παραμένουν σταθερά Το σύστημα (E,V,N) μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε μικροκατάσταση. Βασίζεται σε ένα από τα αξιώματα της Στατιστικής Φυσικής (που αναφέρθηκε) ότι ένα απομονωμένο σύστημα έχει την ίδια πιθανότητα να βρεθεί σε οποιαδήποτε από τις πιθανές καταστάσεις. H πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε μια μικροκατάσταση δίνεται από την σχέση:

p_{r}={\frac {1}{\Omega (E,V,N)}},

Η κανονική κατανομή ή Γκαουτζιανή (canonical ensemble): Είναι μια ιδεατή περίπτωση στατιστικής κατανομής που χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τις θερμοδυναμικές ιδιότητες ενός συστήματος στο οποίο: ο αριθμός των σωματιδίων Ν, ο όγκος V παραμένουν σταθερά ενώ βρίσκεται σε θερμική ισορροπία και αλληλεπιδρά με λουτρό θερμότητας ώστε η ενέργειά του μπορεί να υφίσταται διακυμάνσεις. Βασίζεται στο Κεντρικό θεώρημα, χρησιμοποιεί συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους οι οποίοι επιβεβαιώνονται πειραματικά δεδομένα. Η πιθαανότητα να βρεθεί ένα σύστημα σε αυτήν την κατάσταση δίνεται από την κατανομή Boltzman $p_{r}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{r}},$ όπου β=1/kβΤ με k την σταθερά του Boltzman Εr είναι η συνολική ενέργεια και Ζ έιναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης που εξασφαλίζει το άθροισμα των πιθανοτήτων να είναι ίσο με την μονάδα. Δίνει γραφικό καμπάνας.

\sum _{r}p_{r}=1\ \ \

Η κανονική κατανομή είναι πολύ σημαντική γιατί εκτός από τα φυσικά,μπορεί να προβλέψει την συμπεριφορά μεγάλου αριθμού φαινομένων όπως οικονομικων, κοινονικών,

Η μεγαλοκατανομη (μεγαλοκανονική συνάρτηση ή μεγαλοκανονική συνάρτηση επιμερισμού)): Είναι στατιστική κατανομής για συστήματα που μπορούν να ανταλλάσουν ενέργεια και ύλη, Είναι βολικό το μεγαλοσύστημα να περιγράφεται σαν ένα μεγάλο κανονικό σύνολο το οποίο είναι ένα σταθμισμένο άθροισμα κανονικών συνόλων ένα για κάθε συστατικό. Η μεγάλη κανονική κατανομή έχει την μορφή: ${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,e^{-\beta \left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)},\quad \left(\beta >0\right)\,,$ και το Ζ είναι $\ {\mathcal {Z}}=\int e^{-\beta \left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)}\,dp\,dq$

Χρησιμοποιείται συχνά και για να εξετάζει πηγές μεγάλων δεδομένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή στατιστικών για τον πληθυσμό και την κοινωνία.

Η Στατιστική Θερμοδυναμική κατανομή (Ισόθερμη- Ισοβαρής) Είναι μηχανική μεγάλων συνόλων σχετικά απλών συστημάτων όπως άτομα σε έναν κρύσταλλο ή μόρια σε ένα αέριο, φωτόνια σε μια δέσμη λέϊζερ, αστέρια σε έναν γαλαξία, αυτοκίνητα σε έναν αυτοκινητόδρομο.

Οι αρχές της θερμοδυναμικής εκφράζουν τις προσεγγιστικές ιδιότητες και την πιθανολογική συμπεριφορά μακροσκοπικών συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών καταστάσεων που όμως οι νόμοι της κλασσικής Μηχανικής καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της κατάστασής τους εάν είναι γνωστές οι αλληλεπιδράσεις των μικροσκοπικών συστατικών τους (συντεταγμένες και ορμή). Στην μακροσκοπική μάζα ο αριθμός των σωματιδίων έχει τάξη μεγέθους του αριθμού του Avogandro.

H ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΚΗ

Ενώ η Κλασσική Θερμοδυναμική περιγράφεται από μακροσκοπικές παραμέτρους όπως η Πίεση P ο όγκος V κ.α. και βασίζεται σε λίγες βασικές αρχές από τις οποίες εξάγονται οι νόμοι της π.χ. PV=nRT,

η Στατιστική Θερμοδυναμική ξεκινάει από την μικροσκοπική περιγραφή και εξάγει νόμους που βασίζονται σε ατομικές ιδιότητες με στατιστικό τρόπο

Ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμιικής καθορίζει την λειτουργία του συστήματος που ονομάζεται εσωτερική ενέργεια U και θεωρείται ότι έχει στατιστικό χαρακτήρα σε ένα σύστημα σε θερμοδυναμική ισορροπία και εξάγεται από τη μέση τιμή της μικροσκοπικής ενέργειας

Επίσης αν Χj είναι οι μεταβλητές δυνάμεις που σχετίζονται με μακροσκοπικές μεταβλητές θέσης στη Στατιστική Μηχανική υπολογίζονται με τον μέσο όρο τυχα'ιων τιμών $X_{j}=\left\langle {\frac {\partial H}{\partial x_{j}}}\right\rangle ;\quad \left(j=1,...,m\right)\,.$ και για να βρούμε το μηχανικό έργο που παράγεται αθροίζουμε $\left(18\right)\,$ $\delta L=\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}\,.$

Αν θεωρήσουμε ότι στο σύστημα υπάρχει μεταβολή στην θερμική ενέργεια $\delta Q\,$

$\left(19\right)\,$ $dU=\delta L+\delta Q\,.$

Ο Δεύτερος Νόμος της Θερμοδυναμικής: Καθορίζει την λειτουργία του συστήμητος S που ονομάζεται Εντροπία. Σε μια μη αναστρέψιμη θερμοδυναμική διαδικασία η συνολική διαφορά εντροπίας σχετίζεται με την θερμότητα που ανταλλάσσεται από το σύστημα ως εξής: $\ dS={\frac {\delta Q}{T}}\,.$

Οι θερμοδυναμικές τιμές της θερμοκρασίας και της Εντροπίας πρέπει να προσδιορίζονται από τις παραμέτρους του στατιστικού συνόλου.

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Στατιστική μηχανική - Βικιπαίδεια

Κανονική κατανομή (στατιστική μηχανική) - Βικιπαίδεια

Μεγαλοκανονική συνάρτηση επιμερισμού - Βικιπαίδεια

Χαμιλτονιανή Μηχανική | Αυτό είναι... Τι είναι η Χαμιλτονιανή μηχανική;Χαμιλτονιανή Μηχανική | Αυτό είναι... Τι είναι η Χαμιλτονιανή μηχανική;

Η εξίσωση Clapeyron-Mendeleev.

ακατεργαστο

Εισαγωγή. Αξιώματα Στατιστικής Φυσικής- Mικροκανονική κατανομή: Ισορροπία μονωμένου Συστήματος.
Κανονική κατανομή: Ισορροπία Συστήματος σε δεξαμενή θερμότητας.Συνάρτηση επιμερισμού, κατανομή Boltz-mann,ενέργεια, σχετική διακύμανση ενέργειας, ελεύθερη ενέργεια Helmholtz. Γενικός ορισμός εντροπίας Προβλήματα με μικροκανονική και κανονική κατανομή.
Παραμαγνητισμός: Παραμαγνητικό υλικό σε δεξαμενή θερμότητας. Ενέργεια, εντροπία, θερμοχωρητικότητα, μαγνήτιση, μαγνητική επιδεκτικότητα. Μονωμένο παραμαγνητικό υλικό. Αρνητική θερμοκρασία. Προβλήματα.
2ος νόμος της Θερμοδυναμικής για απειροστές μεταβολές, ο 3ος νόμος, αδιαβατική ψύξη.
Θερμοχωρητικότητα στερεού, λόγω ταλαντώσεων πλέγματος: Μοντέλο (θεωρία) Einstein. Πυκνότητα καταστάσεων. Μοντέλο Debye. Προβλήματα.
Κλασσικό Ιδανικό Αέριο: Ενέργεια, Συνάρτηση επιμερισμού, εντροπία, θερμοχωρητικότητα, καταστατική εξίσωση κλασσικού ιδανικού αερίου, εντροπία ανάμιξης (Παράδοξο Gibbs). Κριτήριο προσέγγισης κλασσικής προσέγγισης, Κλασσική στατιστική μηχανική. Θεώρημα ισοκατανομής. Προβλήματα.
Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος: Συνάρτηση επιμερισμού φωτονίων, ο νόμος του Planck, ιδιότητες μέλανος σώματος. Προβλήματα.
Ιδανικό Κβαντικό Αέριο: Κβαντική Στατιστική – Μεγαλοκανονική Κατανομή, κατανομή Fermi-Dirac και Bose-Einstein, κλασσικό όριο.
Αέριο φερμιονίων: Μοντέλο των ελευθέρων ηλεκτρονίων στα μέταλλα.
Συμπύκνωση Bose-Einstein:Αέριο μποζονίων σε χαμηλή θερμοκρασία. Προβλήματα κβαντικής στατιστικής.

Επαφή