Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. ΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ: Μέρος 1ο Η Στατιστική Μηχανική: Η θεωρία των πιθανοτήτων για προβλήματα που αναφέρονται σε συστήματα με μεγάλο αριθμό σωματιδίων. Πότε έχουμε κατάσταση ισορροπίας.

Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. ΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ: Μέρος 1ο Η Στατιστική Μηχανική: Η θεωρία των πιθανοτήτων για προβλήματα που αναφέρονται σε συστήματα με μεγάλο αριθμό σωματιδίων. Πότε έχουμε κατάσταση ισορροπίας.

Δήμητρα Σπανού  καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025

 

 

Ο Μαξ Μπορν (Max Born) ήταν Γερμανός φυσικός, ο οποίος μοιράστηκε το Νόμπελ Φυσικής το 1954 με τον Βάλτερ Μπότε για την πιθανολογική ερμηνεία της κβαντομηχανικής.

 

Η ΑΝΑΓΚΗ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 

H Στατιστική Μηχανική ή Στατιστική Φυσική, μαζί με την Κλασσική Μηχανική και  την κλασσική θεωρία πεδίων είναι ένας από τους τρεις θεμελιώδεις κλάδους της Κλασικής Φυσικής,  

Η Στατιστική Μηχανική  δίνει στην Φυσική τον τρόπο για να αντιμετωπίσει την μελέτη της  συμπεριφοράς μεγάλων πληθυσμών και να συνδέσει τις μικροσκοπικές ιδιότητες σωματιδίων με τα μακροσκοπικά φαινόμενα

ΟΙ πρώτοι Φυσικοι (μαθηματικοί) που εισήγαγαν στατιστικές μεθόδους στην Φυσική ήταν ο Maxwell sto 1860-79 kai Boltzman sto 1870-1884. αυτοί έθεσαν τα θεμέλια της κινητικής θεωρίας των αερίων. Η Κλασσική Στατιστική Μηχανική ιδρύθηκε από τον Gibbs το 1902. Αργότερα στα πλαίσια της Μαθηματικής Φυσικής, εισήγθησαν στην Στατιστική Φυσική ακριβείς μαθηματικες εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής από τον Joseph Liouville που βασίζονταν στη Χαμιλτόνια Μηχανική (Hamiltonian) που αναδιατύπωνει την κλασσική μηχανική χρησιμοποιώντας κσι επεκτείνοντας την Λαγκρατζιανή Μηχανική (Lagragian))

 

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Η Στατιστική Φυσική ασχολείται χρησιμοποιεί παραμέτρους που περιγράφουν την κίνηση και την αλληλεπίδραση των μικροσωματιδίων ώστε να προσδιοριστούν οι ιδιότητες των μακροσκοπικών σωμάτων. 

Η Στατιστική Μηχανική είναι εφαρμογή της θεωρίας των πιθανοτήτων των Μαθηματικών και περιλαμβάνει μαθηματικά εργαλεία για την αντιμετώπιση μεγάλων πληθυσμών, στην συγκεκριμένη περίπτωση κίνησης μεγάλων  πληθυσμών σωματιδίων ή αντικειμένων που υπόκεινται σε μια δύναμη.

Στην Χημεία πραγματοποιεί την σύνδεση μεταξύ των μικροσκοπικών ιδιοτήτων ατόμων και μορίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών.

 Έτσι εξηγείται η Θερμοδυναμική σαν φυσικό αποτέλεσμα της Στατιστικής και της Μηχανικής που περιλαμβάνει την κλασσική και την κβαντική τους  πλευρά.

 Χωρίς να χρειαστεί να περιγράψει ξεχωριστά την συμπεριφορά του καθενός από αυτά, χρησιμοποιόντας μόνο στατιστικά στοιχεία για την πιθανότητες εύρεσής τους σε διάφορες θέσεις ή την κατανομή τους σε διάφορες ταχύτητες , βγαίνουν υπολογισμοί και μαθηματικές φόρμουλες ώστε να υπολογίσουμε μακροσκοπικά μεγέθη του μακρόκοσμου -στον οποίο ανήκουν τα σωμαίδια αυτά- όπως η Πίεση , η θερμοκρασία και άλλα που προκύπτουν στην συνέχεια.

 

Εκτός από την Χημεία, η Στατιστική Μηχανική παίζει μεγάλο ρόλο και σε άλλες Επιστήμες, την Φυσική Στερεάς κατάστασης, Αστροφυσική, Βιολογία, Ιατρική, Πληροφορική, Κοινωνιολογία, κ.α.

 

Η Βασική Αρχή της Στατιστικής Μηχανικής είναι το αξίωμα των εξ ορισμού ισων πιθανοτήτων. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα απομονωμένο σύστημα που βρίσκεται σε ισορροπία και όλες  οι μικροκαταστάσεις που μπορεί να εμφανίζεται έχουν την ίδια πιθανότητα

Αν οι μικροκαταστάσεις είναι Ω η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε ισορροπία σε μια από αυτές είναι p=1/Ω. Αλλά η ίδια μικροκατάσταση μπορεί να υπάρχει περισσότερες από μια φορές

Στην Στατιστική Μηχανική χρησιμοποιούμε επίσης την ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας που μας δινει σε ποια κατάσταση βρίσκεται το σύστημα. Η τιμή του είναι από ελάχιστη αν όλα τα ρ είναι ίσα έως μέγιστη εάν ένα ρ είναι ίσο με την μονάδα και τα υπόλοιπα μηδέν

ιδέ 

Η Ιστορία των Φυσικών Επιστημών. Μέρος Πέμπτο. Πέρα από την Κλασσική Φυσική Ι. Η κβάντωση των φυσικών μεγεθών: Πληρώνει ο Θεός με δόσεις;

 

Ενώ τα συστήματα που μελετήθηκαν έως τώρα η μαθηματική τους αντιμετώπιση αφορούσαν καταστάσεις ισορροπίας , το 1946 η μελέτη επεκτείνεται με την κατασκευή της Στατιστικής Μηχανικής μη ισορροπίας από τον Ν.Ν. Bogolyubov.

 

Η ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΣΤΟΣ

Υπάρχει  ανάγκη της περιγραφής της κίνησης των μικροσωματιδίων ενός συστήματος και αυτό γίνεται μόνο με την βοήθεια της στατιστικής επιστήμης η οποία  περιγράφει τον τρόπο που κινούνται τα σωματίδια αυτά. 

Τα μικροσωματίδια κινούνται με  διαφορετικές ταχύτητες σε διάφορες κατευθύνσεις και εάν οι εξωτερικές συνθήκες παραμένουν σταθερές τα μόρια αυτά ανταλλάσουν διαρκώς ενέργεια έως ότου επιτύχουν μια κατάσταση στατιστικής ισορροπίας

Στην  κατάσταση ισορροπίας,  όλες οι παράμετροι του συστήματος έχουν ορισμένες τιμές που παραμένουν σταθερές για αόριστο χρονικό διάστημα υπό αμετάβλητες εξωτερικές συνθήκες.

Σε σχέση με συστήματα μεγάλου αριθμού μικροσωματιδίων 

όπως για παράδειγμα αέριο σε κλειστό δοχείο σημειώνουμε τα εξής: 


α. Τα μόρια του αερίου  είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα σε ολόκληρο τον όγκο του κλειστού δοχείου με σταθερή πυκνότητα και έχουν 

 β. Αλλά και τα  μόρια του αερίου έχουν ταχύτητες ομοιόμορφα κατανεμημένες σε όλες τις κατευθύνσεις.

γ. Στην κατάσταση ισορροπίας ο αριθμός των μορίων που κινούνται σε οποιανδήποτε κατεύθυνση είναι ίδια.

δ. Επίσης είναι πανομοιότυπο και το μέγεθος των γωνιών των διαφόρων κατευθύνσεων

 

Σε διαφορετική περίπτωση, έχουμε ροή αερίου κι αυτό  είναι κατάσταση μη ισορροπίας. 

 

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

 

Η Στατιστική περιγραφή καταστάσεων ισορροπίας είναι ένας κλάδος της Φυσικής που περιγράφει καταστάσεις ισορροπίας.

Καταστάσεις διεργασιών που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια ανισορροπίας , ιδιαίτερα μεταφοράς αερίων αντιμετωπίζει η Φυσική Κινητική

Στη Στατιστική περιγραφή καταστάσεων ισορροπίας  χρησιμοποιούμε την υπόθεση πως οποιεσδήποτε αντίθετα κατευθυνόμενες διαδικασίες πρέπει να αλληλοεξουδετερώνονται. Διαφορετικά το σύστημα οδηγείται σε κατάσταση μη ισορροπίας.

Αρχή της λεπτομερούς ισορροπίας στη σταατιτική απαιτεί οι πιθανότητες των διεργασιών προς τα εμπρός και προς τα πίσω να είναι ίδιες.

Μπορούμε να βρούμε την αρχή αυτήν σε διάφορες περιπτώσεις  όπως στην αρχή της διατήρησης της ορμής και της κινητικής  Ενέργειας.

 

Στην στατιστική μέθοδο περιγραφής καταστάσεων μακροσκοπικών σωμάτων που βασιζεται στην τυχαία κίνηση των μεμονωμένων μικροσωματιδίων υπάρχει το θέμα της διαρκούς αλλαγής των τιμών των μεταβλητών τους (συντεταγμένες και ταχύτητες ) που δεν είναι δυνατόν να προβλεφθούν οι τιμές των και συμβαίνει αλλαγή και στις μέσες τιμές τους 

Όμως εδώ έχει γίνει η παραδοχή της χαοτικής κίνησης των μορίων, όπου τα μόρια συγκρούονται με τις αρχικές τους ταχύτητες  και μετά την σύγκρουση  προσδιορίζεται η πιθανότητα  dP(v1,v2)=f(v1) f(v2)dVv1dVv2  

  Αλλά και η πιθανότητα αντίστροφης διαιδκασίας καθορίζεται από την πιθανότητα στην αρχική σύγκρουση όταν τώρα οι αρχικές  ταχύτητες είναι  v΄1 ,v΄2                dP(v΄1 ,v΄2)=f(v΄1) f(v΄2)dV΄v1dV΄v2 

 f(v) είναι η επιθυμητή συνάρτηση κατανομής ταχύτητας των μορίων αερίου και dV ο όγκος. Και τελικά:

f(v΄1) f(v΄2) = f(v1) f(v2)

 

Συμπληρωματικά ξέρουμε ότι..

Η κατάσταση ισορροπίας είναι η κατάσταση με την ελάχιστη εντροπία που αντιστοιχεί σε ένα ελάχιστο στατιστικό βάρος  (το στατιστικό βάρος καθορίζει τον αριθμό των διαφορετικών κβαντικών καταστάσεων με την ίδια ενέργεια)

 

Δήμητρα Σπανού

 

ΠΗΓΕΣ

Στατιστική μηχανική - Βικιπαίδεια

Κανονική κατανομή (στατιστική μηχανική) - Βικιπαίδεια

Μεγαλοκανονική συνάρτηση επιμερισμού - Βικιπαίδεια

Χαμιλτονιανή Μηχανική | Αυτό είναι... Τι είναι η Χαμιλτονιανή μηχανική;Χαμιλτονιανή Μηχανική | Αυτό είναι... Τι είναι η Χαμιλτονιανή μηχανική;

Η εξίσωση Clapeyron-Mendeleev.

5.3. Η αρχή της λεπτομερούς ισορροπίας | Φυσική Θερμοδυναμική | Bauman Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας. Τμήμα Φυσικής

https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.1.1.html

 

 

 

 

ακατεργαστο

 

 

  • Εισαγωγή. Αξιώματα Στατιστικής Φυσικής- Mικροκανονική κατανομή: Ισορροπία μονωμένου Συστήματος.
  • Κανονική κατανομή: Ισορροπία Συστήματος σε δεξαμενή θερμότητας.Συνάρτηση επιμερισμού, κατανομή Boltz-mann,ενέργεια, σχετική διακύμανση ενέργειας, ελεύθερη ενέργεια Helmholtz. Γενικός ορισμός εντροπίας  Προβλήματα με μικροκανονική και κανονική κατανομή.
  • Παραμαγνητισμός: Παραμαγνητικό υλικό σε δεξαμενή θερμότητας.  Ενέργεια, εντροπία, θερμοχωρητικότητα, μαγνήτιση, μαγνητική επιδεκτικότητα. Μονωμένο παραμαγνητικό υλικό. Αρνητική θερμοκρασία. Προβλήματα.
  • 2ος νόμος της Θερμοδυναμικής για απειροστές μεταβολές, ο 3ος νόμος, αδιαβατική ψύξη.
  • Θερμοχωρητικότητα στερεού, λόγω ταλαντώσεων πλέγματος: Μοντέλο (θεωρία) Einstein. Πυκνότητα καταστάσεων. Μοντέλο Debye. Προβλήματα.
  • Κλασσικό Ιδανικό Αέριο: Ενέργεια, Συνάρτηση επιμερισμού, εντροπία, θερμοχωρητικότητα, καταστατική εξίσωση κλασσικού ιδανικού αερίου, εντροπία ανάμιξης (Παράδοξο Gibbs). Κριτήριο προσέγγισης κλασσικής προσέγγισης, Κλασσική στατιστική μηχανική. Θεώρημα ισοκατανομής. Προβλήματα.
  • Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος: Συνάρτηση επιμερισμού φωτονίων, ο νόμος του Planck, ιδιότητες μέλανος σώματος. Προβλήματα.
  • Ιδανικό Κβαντικό Αέριο: Κβαντική Στατιστική – Μεγαλοκανονική Κατανομή, κατανομή  Fermi-Dirac και Bose-Einstein, κλασσικό όριο.
  • Αέριο φερμιονίων: Μοντέλο των ελευθέρων ηλεκτρονίων στα μέταλλα.
  • Συμπύκνωση Bose-Einstein:Αέριο μποζονίων σε χαμηλή θερμοκρασία. Προβλήματα κβαντικής στατιστικής.