Δήμητρα Σπανού καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025
υπό κατασκευή
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Οι εξωτερικά μακροσκοπικές μεταβολές στην μάζα των σωμάτων βρίσκουν την ερμηνεία τους στον μικρόκοσμο των σωματιδίων της ύλης. Εκεί η μελέτη της συμπεριφοράς των σωματιδίων των κινήσεων και των αλληλεπιδράσεων θα δώσει τα στοιχεία για τον προσδιορισμό των εξωτερικών παραμέτρων.
Αυτά είναι θέματα που αφορούν την Επιστήμη της Στατιστικής που ασχολείται με την συλλογή και ανάλυση δεδομένων που διευκολύνουν την μελέτη και επεξεργασία προβλημάτων διαφόρων κλάδων της επιστήμης . Πιο συγκεκριμένα εδώ η Στατιστική Φυσική συστημάτων σωματιδίων χρησιμοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις, τα στατιστικά στοιχεία και κατανομές στην μελέτη τους.
Η γνώση της κατανομής των σωματιδίων σε ένα σύστημα καθιστά δυνατή την εύρεση των μέσων τιμών διαφόρων χαρακτηριστικών ενός θερμοδυναμικού συστήματος με την βοήθεια της Μαθηματικής Φυσικής
Έτσι δίνεται η δυνατότητα να γιίνει καλύτερα κατανοητή η χημική τους δραστηριότητα. Δ.Σ
ΦΑΣΕΙΣ, ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ, ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ, ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ, ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ
Στη Στατιστική Μηχανική ένα μακροσκοπικό σύστημα αποτελείται από έναν μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών υποσυστημάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους .
Στην ορολογία του Gibbs η μικροσκοπική κατάσταση ενός συστήματος ονομάζεται φάση
Η φάση αναπαρίσταται γεωμετρικά με ένα σημείο (p, q} σε έναν χώρο με διάσταση 2n όπου n είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος
Δίνουν την πυκνότητα πιθανότητας στον χώρο των φάσεων.
Η μηχανική κατάσταση συστήματος καθορίζεται από τις συντεταγμένες (qi) του που είναι όσες και οι βαθμοί ελευθερίας του και τον αριθμό των σωματιδίων (pi) του
Επίσης, η κατάσταση ενός μακροσκοπικού συστήματος σε θερμοδυναμική ισορροπία χαρακτηρίζεται από μικρό αριθμό παραμέτρων, ενώ σε μικροσκοπική ο αριθμός των μηχανικών καταστάσεων που είναι συμβατές με την ίδια θερμοδυναμική κατάσταση είναι τεράστιος .
Στις μικροσκοπικές συνθήκες όπου οι φάσεις αποτελούν συστήματα, που χαρακτηρίζονται από γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένους συζευγμένους παλμούς και
και γενικευμένους συζευγμένους παλμούς 
και εάν δρουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, η συνολική μηχανική τους ενέργεια παραμένει σταθερή ενώ
(οι μη συντηρητικές δυνάμεις που προκαλούν διάχυση της ενέργειας είναι συνέπεια αλληλεπιδράσεων σε μικροσκοπική κλίμακα και εκδηλώνονται μόνο σε μακροσκοπική κλίμακα).
Μια απλή γεωμετρική αναπαράσταση έχει και ο Νόμος της Διατήρησης Ενέργειας που είναι η τροχαιά ενός αντιπροσωπευτικού σημείου που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στην επιφάνεια της σταθερής ενέργειας που καθορίζεται από την Χαμιλτονιανή Μηχανική
Η συνάρτηση ονομάζεται Χαμιλτονιανή του συστήματος και είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος
ονομάζεται Χαμιλτονιανή του συστήματος και είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος
Έτσι, ο Gibbs πρότεινε να υπολογιστούν οι θερμοδυναμικές ιδιότητες του συστήματος να υπολογιστούν στατιστικά από το σύνολο των μικροσκοπικών καταστάσεων
ΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΛΛΟΓΕΣ
Στατιστικη Συλλογή δημιουργούν - αποτελούν σύνολα από συστήματα που αποτελούνται από το ίδιο μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων. - αντιγράφων ενός δεδομένου συστήματος .
Τα συστήματα έχουν τα ίδια μακτοσκοπικά χαρακτηριστικά (T, P, V, N) (σταθερό μακροσκοπικό σύστημα) και στα μικροσκοπικά έχουν όλες τις μικροσκοπικές καταστάσεις .
Οι μικροκαταστάσεις τους χαρακτηρίζονται από σύνολα συντεταγμένων q=q1, q2, ....qn και σωματίδια p=p1, p2, ...pn
Tα Ν σωματίδια του συστήματος σχέτίζονται τους με τα διπλανά Ν-1 περιβάλλοντα υποσυστήματα αναλόγως αν μπορούν ή όχι να ανταλλάσουν ενέργεια και μάζα.
- Ισχύει εδώ το αξίωμα της ισοπιθανότητας των μικροσκοπικών καταστάσεων
- Οι στατιστικές εξαρτώνται από τις συντεταγμένες (χώρος) και την ορμή (ενέργεια).
- Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί στον μεγαλύτερο αριθμό μικροκαταστάσεων δηλαδή εξαρτάται από το αξίωμα του Hamilton
- Οι στατιστικές δεν εξαρτώνται από τον χρόνο
Ανάλογα κατατάσσονται σε:
ΜΙΚΡΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ: Πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα που δεν αλληλεπιδρούν με τα γύρω σώματα . Είναι συστήματα απομονωμένα. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν τέτοια συστήματα. Είναι εξιδανικευμένα
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ: Πολύ μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων που βρίσκονται σε μακροσκοπικά πανομοιότυπες καταστάσεις και ανταλλάσουν ενέργεια αλλά όχι σωματίδια. Είναι κλειστά συστήματα
ΜΕΓΑΛΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ: Πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα που ανταλλάσουν ενέργεια και σωματίδια μεταξύ τους
Η ΜΙΚΡΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ GIBBS
Εισήχθη από τον Gibbs το 1837. Από αυτήν ξεκίνησε ο Maxwell με τις κατανομές σωματιδίων ιδανικού αερίου στην συνέχεια και είναι γνωστή η κατανομή Maxwell- Gibbs
Είναι η κατανομή ισορροπίας πιθανότητων διαφόρων καταστάσεων ενός θερμοδυναμικού συστήματος που αποτελεί συλλογή.
Στις πιθανότητες αυτές η τυχαία μεταβλητή x παίρνει τιμές από ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο τιμών.
Η πιθανότητα πραγματοποίησης της τιμής του x αποτελεί το σύνολο τιμών πιθανοτήτων Pp Ισχύει Pn>0 και ΣPn =1
Εκφράζεται μαθηματικά ως P(x) =(1/Z)*exp(-E(x)/kT
Όπου P(x) είναι η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση x,E(x). Η k είναι η σταθερά του Boltzman και Ζ είναι το στατιστικό άθροισμα και χρησιμεύει ως συντελεστής κανονικοποίησης ώστετο συνολικό άθροισμα των πιθανοτήτων να είναι ίσο με ένα. Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία.ενέργειας, της θερμοκρασίας και της πιθανότητας.
Οι καταστάσεις του είναι εκφυλισμένες, δηλαδή διαφορετικές καταστάσεις μπορούν να αντιστοιχούν σε κάθε τιμή ενέργειας. Η πολλαπλότητα του εκφυλισμού είναι Ν(Ε)
Στο σύστημα έχουμε την έννοια της σχετικής πιθανότητας να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη μικροκατάσταση. Προφανώς η κατάσταση ισορροπίας είναι η κατάσταση με την ελάχιστη εντροπία που αντιστοιχεί σε ένα ελάχιστο στατιστικό βάρος (το στατιστικό βάρος καθορίζει τον αριθμό των διαφορετικών κβαντικών καταστάσεων με την ίδια ενέργεια)
Αυτή η μαθηματική διατύπωση δείχνει την σχέση μεταξύ της ενέργειας, της θερμοκρασίας και του αριθμού σωματιδίων
Η μικροκανονική και η κβαντική κατανομή Gibbs
Είναι μια κατανομή πιθανότητας ισορροπίας
μεγάλου αριθμού συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό σωματιδίων και βρίσκονται σε μακροσκοπικά πανομοιότυπες καταστάσεις . Το σύνολο αυτό ονομάζεται στατιστικό
Πρόκειται για ένα σύστημα απομονωμένο ή ένα σύστημα σε ένα σταθερό εξωτερικό περιβάλλον, η κατάσταση ονομάζεται στατιστικά ισορροπία εάν η συνάρτηση κατανομής δεν εξαρτάται από τον χρόνο
Το σύστημα περιγράφεται από την μικροκανονική κατανομή Gibbs kai Ισχύει η αρχή της ίσης πιθανότητας και το αντίστοιχο στατιστικό σύνολο ονομάζεται μικροκανονικό
Επειδή , σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα δt η ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται ομοίως ανεπαίσθητα, κατά δΕ<<Ε , και γίνεται Ε + δΕ, θεωρούμε πως είναι εξ ίσου πιθανή η υλοποίηση οποιασδήποτε από τις μικροκαταστάσεις με ενέργεια μεταξύ Ε και δΕ+Ε.
Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την κατανομή Gibbs και σύμφωνα με τον γενικό τύπο P(x) =(1/Z)*exp(-E(x)/kT μπορεί να γραφτεί:
dP= Aexp(-E/kT) dΓ Α είναι η κινητική και η δυναμική ενέργειά του
Το σημαντικό είναι ότι είναι δυνατόν να βρεθούν γενικές ιδιότητες γενικών στατιστικών κανονικοτήτων που είναι καθολικές και δεν εξαρτώνται από τη δομή της ύλης και οι κανονικότητες αυτές εντοπίζονται από τη θερμοδυνμική μέθοδο και ισχύουν τα εξής:
- Στις κλασσικές στατιστικές ένα κλειστό και αδιαβατικά είναι και απομονωμένο σύστημα
- Στην κβαντική στατιστική κάθε πραγματικό σύστημα που αποτελείται από άτομα δεν μπορεί να θωρακιστεί τελείως και δέχεται πάντα μια αλληλεπίδραση από τον περιβάλλοντα χώρο. Ένα τέτοιο σύστημα σωματιδίων βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον για αρκeτό χρόνο (εργοδοτικό). Αλλά υπάρχει μια θεμελιώδης αρχή στην φύση που δεν επιτρέπει σε κανένα σύστημα να έχει μια ορισμένη σταθερή τιμή στην Ενέργεια (Αρχή της αβεβαιότητας)
H KANONIKH KATANOMH GIBBS
Είναι μια κατανομή πιθανότητας διαφόρων καταστάσεων κλειστου μακροσκοπικού συστήματος που δεν αλληλεπιδρά και έχει σταθερή ενέργεια. Οι καταστάσεις του είναι εκφυλισμένες, δηλαδή διαφορετικές καταστάσεις μπορούν να αντιστοιχούν σε κάθε τιμή ενέργειας. Η πολλαπλότητα του εκφυλισμού είναι Ν(Ε)
Αν ένα μακροσκοπικό σύστημα βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη στιγμή σε δεδομένη κατάσταση με ενέργεια Ε
(. Κάθε σωματίδιο έχει Κινητική Ενέργεια K=1/2mu2 και δυναμική που οφείλεται σε εξωτερικό δυναμικό πεδίο)
Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα σωματίδιο σε μια κατάσταση ενέργειας Ε + dE είναι
dN(E ,E+ dE)=Np(E)dE
Αν η αθροιστική συνάρτηση κατανομής PDF είναι συνεχώς διαφορίσιμη τότε η PDF είναι η παράγωγος της CDF
ΑΚΑΤΕΡΓΑΣΤΟ
Εάν το εργοδοτικό μακροσκοπικό σύστημα σε μια συγκεκριμένη στιγμή βρίσκεται σε μια δεδομένη κατάσταση με ενέργεια Ε με την πάροδο του χρόνου θα μεταβεί αυθόρμητα σε οποιεσδήποτε άλλες καταστάσεις με την ίδια ενέργεια και θα παραμείνει σε κάθε μια από αυτές τον ίδιο χρόνο.
Η πολλαπλότητα του εκφυλισμού Ν(Ε) είναι ο αριθμός των περιπτώσεων που έχουν ενέργεια Ε.
Σσωματιδίων που βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον για αρκeτό χρόνο (εργοδοτικό).
ΠΗΓΕΣ
Κατανομή ταχύτητας - Εγχειρίδιο χημικού 21
Συνάρτηση κατανομής (στατιστική φυσική) - Βικιπαίδεια
Κατανομές Gibbs, Maxwell και Boltzmann - Βασικές Αρχές Στατιστικής Φυσικής
Κατανομή πιθανοτήτων - Βικιπαίδεια
Μεγαλοκανονική συνάρτηση επιμερισμού - Βικιπαίδεια
Διανομή Gibbs | Επιστήμη | Φανατισμός
Εκθετική κατανομή - Βικιπαίδεια
Microsoft Word - Lecture_06_presentation.doc
Διανομή Gibbs - Βικιπαίδεια, η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια με βίντεο // WIKI 2
Δρ. Γιώργος Μαρκάκης Καθηγητής Βιομετρίας Τ.Ε.Ι. Κρή
Квантовое распределение ключей в оптических транспортных сетях / Хабр
η διασπορα στατιστικη - Αναζήτηση
ακατέργαστο
και
![{\displaystyle f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4faa8c0f00c9957ead018a8e0894a5413407279)
Το β>0, καθορίζεται από τον τύπο και την θερμοκρασία των σωματιδίων. Για άλλες παραμέτρους των σωματιδίων η αναλυτική μορφή της κατανομής θα είναι διαφορετική.
akat;ergasto
H κατανομή Maxwell-Gibbs
Boltzmann Gibbs distribution of the total magnetisation for N = 1000 and different set of triples (K, J, h).
η συνάρτηση του Lev Landrau
Στην μελέτη των κατανομών διακρίνουμε κάποια χρήσιμα μεγέθη :
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ FERMI DIRAC
Ο μέσος αριθμός σωματιδίων σε μια κατάσταση εξαρτάται από την ενέργεια της ε, το χημικό δυναμικό του συστήματος μ, την θερμοκρασία β=1/kΒT και το είδος του σωματίου
Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL- BOLTZMAN
ΙΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΟΥΝ
Στις στατιστικές Maxwell-Boltzman σε υψηλές θερμοκρασίες (και περιβάλλοντος) και χαμηλές συγκεντρώσεις σωματιδίων
για Λ>>>(V/N)1/3
ΠΗΓΕΣ
Τι είναι: Μια λεπτομερής εξήγηση της κατανομής Gibbs
ΔΙΑΝΟΜΗ GIBBS • Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια - ηλεκτρονική έκδοση
F(x)=P(X≤x)=∫x−∞f(t)dt
Στη μονοδιάστατη περίπτωση είναι η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή Χ θα λάβει μικρότερη τιμή από x που είναι ένας πραγματικός αυθαίρετος αριθμός
ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗ ΦΥΣΙΚΗ
H κατανομή Maxwell-Gibbs
Boltzmann Gibbs distribution of the total magnetisation for N = 1000 and different set of triples (K, J, h).
ακατέργαστο
Θα προσδιορίσουμε την πιθανότηταμιας κατάστασης υποσυστήματος από το διάνυσμα της θέσης του r to διάνυσμα της ορμής του p. H πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκεται μέσα σε έναν στοιχειώδη όγκο dV (σχετίζεται με την θέση του στις καρτεσιανές) με ενέργεια από E έως Ε+ dE (σχετίζεται με την ορμή του στις καρτεσιανές)) είναι: dx.dy.dz.dpx.dpy.dpz
Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την κατανομή Gibbs που μπορεί να γραφτεί
dP= Aexp(-E/kT) dΓ Α είναι η κινητική και η δυναμική ενργειά του
dΓ είναι ο στοιχειώδης όγκος στον χώρο των φάσεων ή τον χώρο των θέσεων - ορμών dΓ = drdp/(2πh)3
Στις καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται: dP= Aexp(-E/kT) dx.dy.dz.dpx.dpy.dpz/(2πh)3
Από εδώ φτάνουμε
Κατά την απεικόνiση της κατάστασης κάθε ενέργεια αντιστοιχεί σε ένα κελί και ο συνδυασμός τους σε μια συγκεκριμένη επιφάνεια
Η πιθανότητα της κατάστασης του συστήματος w(Εi) εκφράζεται από την μικροκατανομή Gibbs w(Ei) = ZN(Ei)
Διανομή Gibbs | Επιστήμη | Φανατισμός
- Για ένα υποσύστημα με μεγάλο αριθμό σωματιδίων, η κανονική κατανομή Gibbs έχει ένα απότομο μέγιστο. Ένα τέτοιο υποσύστημα βρίσκεται τις περισσότερες φορές στην πιο πιθανή κατάσταση με την αντίστοιχη ενέργειά του. Εάν το υποσύστημα είναι ένα μόνο μόριο ενός ιδανικού αερίου, τότε η κανονική κατανομή Gibbs περνά στην κατανομή Boltzmann. Η κανονική κατανομή Gibbs χρησιμοποιείται για την εύρεση του μέσου όρου Φυσική ποσότητα χαρακτηρίζοντας την κατάσταση του συστήματος και ανάλογα με την ενέργειά του:
- Με συνεχείς αλλαγές κατάστασης
- Υπολογισμός σας επιτρέπει να βρείτε θερμοδυναμικές συναρτήσεις και την εξίσωση κατάστασης ενός δεδομένου συστήματος.
