Δήμητρα Σπανού καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Οι εξωτερικά μακροσκοπικές μεταβολές στην μάζα των σωμάτων βρίσκουν την ερμηνεία τους στον μικρόκοσμο των σωματιδίων της ύλης. Εκεί η μελέτη της συμπεριφοράς των σωματιδίων των κινήσεων και των αλληλεπιδράσεων θα δώσει τα στοιχεία για τον προσδιορισμό των εξωτερικών παραμέτρων.
Αυτά είναι θέματα που αφορούν την Επιστήμη της Στατιστικής που ασχολείται με την συλλογή και ανάλυση δεδομένων που διευκολύνουν την μελέτη και επεξεργασία προβλημάτων διαφόρων κλάδων της επιστήμης . Πιο συγκεκριμένα εδώ η Στατιστική Φυσική συστημάτων σωματιδίων χρησιμοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις, τα στατιστικά στοιχεία και κατανομές στην μελέτη τους.
Η γνώση της κατανομής των σωματιδίων σε ένα σύστημα καθιστά δυνατή την εύρεση των μέσων τιμών διαφόρων χαρακτηριστικών ενός θερμοδυναμικού συστήματος με την βοήθεια της Μαθηματικής Φυσικής
Έτσι δίνεται η δυνατότητα να γιίνει καλύτερα κατανοητή η χημική τους δραστηριότητα. Δ.Σ
Την βασική αρχή της στατιστικής φυσικής που ισχύει και στην κλασσική και στην κβαντική φυσική
Όταν Εi συστημα πανομοιότυπων φερμιονίων με ενέργειες στην κατάσταση ι (που υποδηλώνει το σύνολο των κβαντικών αριθμών μαζί και το σπιν)
διατυπώνεται ως εξής:
Η πιθανότητα ανίχνευσης ενός συστήματος που αποτελείται από πανομοιότυπα σωματίδια φερμιονίων με ενέργειες στην κατάσταση ι είναι
|
|
C σταθερά κανονικότητας, μ το χημικό δυναμικό. Ο αριθμός των σωματιδίων πρέπει να είναι σταθερός και ίσος με 
Η μικροκανονική και η κβαντική κατανομή Gibbs
Είναι μια κατανομή πιθανότητας ισορροπίας
μεγάλου αριθμού συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό σωματιδίων και βρίσκονται σε μακροσκοπικά πανομοιότυπες καταστάσεις . Το σύνολο αυτό ονομάζεται στατιστικό
Πρόκειται για ένα σύστημα απομονωμένο ή ένα σύστημα σε ένα σταθερό εξωτερικό περιβάλλον, η κατάσταση ονομάζεται στατιστικά ισορροπία εάν η συνάρτηση κατανομής δεν εξαρτάται από τον χρόνο
Το σύστημα περιγράφεται από την μικροκανονική κατανομή Gibbs kai Ισχύει η αρχή της ίσης πιθανότητας και το αντίστοιχο στατιστικό σύνολο ονομάζεται μικροκανονικό
Επειδή , σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα δt η ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται ομοίως ανεπαίσθητα, κατά δΕ<<Ε , και γίνεται Ε + δΕ, θεωρούμε πως είναι εξ ίσου πιθανή η υλοποίηση οποιασδήποτε από τις μικροκαταστάσεις με ενέργεια μεταξύ Ε και δΕ+Ε.
Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την κατανομή Gibbs και σύμφωνα με τον γενικό τύπο P(x) =(1/Z)*exp(-E(x)/kT μπορεί να γραφτεί:
dP= Aexp(-E/kT) dΓ Α είναι η κινητική και η δυναμική ενέργειά του
Το σημαντικό είναι ότι είναι δυνατόν να βρεθούν γενικές ιδιότητες γενικών στατιστικών κανονικοτήτων που είναι καθολικές και δεν εξαρτώνται από τη δομή της ύλης και οι κανονικότητες αυτές εντοπίζονται από τη θερμοδυνμική μέθοδο και ισχύουν τα εξής:
- Στις κλασσικές στατιστικές ένα κλειστό και αδιαβατικά είναι και απομονωμένο σύστημα
- Στην κβαντική στατιστική κάθε πραγματικό σύστημα που αποτελείται από άτομα δεν μπορεί να θωρακιστεί τελείως και δέχεται πάντα μια αλληλεπίδραση από τον περιβάλλοντα χώρο. Ένα τέτοιο σύστημα σωματιδίων βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον για αρκeτό χρόνο (εργοδοτικό). Αλλά υπάρχει μια θεμελιώδης αρχή στην φύση που δεν επιτρέπει σε κανένα σύστημα να έχει μια ορισμένη σταθερή τιμή στην Ενέργεια (Αρχή της αβεβαιότητας)
Η κατανομή Gibbs σε κβαντική κατάσταση
Η μικροκατανομή ανάλογα με τις διαστάσεις της μπορεί να θεωρηθεί και κβαντική
Η κατανομή Gibbs που καθορίζει την σχετική πιθανότητα ότι το σύστημα βρίσκεται σε κβαντική κατάσταση είναι
Όπως είπαμε.
σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα δt η ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται ομοίως ανεπαίσθητα, κατά δΕ<<Ε , και γίνεται Ε + δΕ, θεωρούμε πως είναι εξ ίσου πιθανή η υλοποίηση οποιασδήποτε από τις μικροκαταστάσεις με ενέργεια μεταξύ Ε και δΕ+Ε. Ισχύει η αρχή της ίσης πιθανότητας
Στην κβαντική περίπτωση έχουμε ένα μετρήσιμο σύνολο κβαντικών επιπέδων Ei (i=0, 1, 2, ,,,,,,,άπειρο) και αντί για πυκνότητα κατανομής λαμβάνεται υόψη η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατάσταση
Η προϋπόθεση της κατανομής σε επίπεδα συνολικά να έχει άθροισμα ένα δηλαδή , ως εκ τούτου,
ΠΗΓΕΣ
Κατανομή Boltzmann: Βαρομετρικός τύπος, Γραφική παράσταση, Συμπέρασμα
Διανομή Maxwell-Boltzmann | Επιστήμη | Φανατισμός