Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. ΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ: Μέρος 2ο Οι Στατιστική Φυσική. Οι στατιστικές κατανομές

Δήμητρα Σπανού  καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025

εικόνα :Johann Carl Friedrich Gauß‎‎, 

υπό κατασκευή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι εξωτερικά μακροσκοπικές μεταβολές στην μάζα των σωμάτων βρίσκουν την ερμηνεία τους στον μικρόκοσμο των σωματιδίων της ύλης.  Εκεί  η μελέτη της  συμπεριφοράς των σωματιδίων των κινήσεων και  των αλληλεπιδράσεων θα δώσει τα στοιχεία για τον προσδιορισμό των εξωτερικών παραμέτρων. 

Αυτά  είναι θέματα που αφορούν την Επιστήμη της Στατιστικής που ασχολείται με την συλλογή και ανάλυση δεδομένων που διευκολύνουν την μελέτη και επεξεργασία προβλημάτων διαφόρων κλάδων της επιστήμης . Πιο συγκεκριμένα εδώ η Στατιστική Φυσική συστημάτων σωματιδίων χρησιμοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις, τα  στατιστικά στοιχεία και κατανομές στην μελέτη τους. 

Η γνώση της κατανομής των σωματιδίων σε ένα σύστημα καθιστά δυνατή την εύρεση των μέσων τιμών διαφόρων χαρακτηριστικών ενός θερμοδυναμικού συστήματος με την βοήθεια της Μαθηματικής Φυσικής

 Έτσι  δίνεται η δυνατότητα να γιίνει καλύτερα κατανοητή η χημική τους δραστηριότητα.  Δ.Σ

ΝΟΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΗΤΑΣ ΜΟΡΙΩΝ 

Η κατανομή αυτή των μορίων δεν είναι τυχαία αλλά υφίσταται περιορισμούς και περιγράφεται από τον νόμο κατανομής ταχυτήτων

Σύμφωνα με τον  νόμο αυτόν οι ταχύτητες των  μικροσωματιδίων αερίου είναι διαφορετικές  αλλά η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί από μια δεδομένη συνάρτηση.

Η συνάρτηση εξαρτάται από τις  δεδομένες εξωτερικές συνθήκες κυρίως από την θερμοκρασία και την μάζα των μορίων- μικροσωματιδίων,

και διαμορφώνται υπό  συνθήκες θερμικής ισορροπίας .

Ο νόμος της κατανομής ταχυτήτων χρησιμοποιείται στην πρόβλεψη φυσικών και χημικών ιδιοτήτων αερίου καθώς και τον προσδιορισμό των ρυθμών χημικής και των σταθερών της αντίδρασης

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ 

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Η κατανομή (διανομή) αναφέρει τον τρόπο που ένας μεγάλος αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου είναι διανεμημένο ή μοιρασμένο. 

Η γνώση της συνάρτησης κατανομής  αποτελεί μια από τις θεμελιώδεις έννοιες της Στατιστικής Φυσικής γιατί  καθορίζει πλήρως τις πιθανοτικές ιδιότητες του υπό εξέταση συστήματος 

Στην κατανομή που απαιτείται κατά την μελέτη  της κίνησης των μορίων ιδανικού αερίου και κατά τις ελαστικές συγκρόύσεις  μεταξύ τους προκύπτει το εξής ερώτημα:

Γνωρίζουμε ότι, οι ταχύτητες αυτές των τυχαίων μορίων μεταβάλλονται κατά την σύγκρουσή τους  από  v_i σε v_i΄και αυτό, κατ' αρχήν, φαίνεται να επιρρεάζει την κατανομή ταχυτήτων των μορίων 

 Όμως  λόγω της υπόθεσης του μοριακού χάους και της ομοιομορφίας όλων των μορίων, μπορεί να θεωρήσουμε ότι συνολικά ο αριθμός των μορίων με ταχύτητες αυτές που είχαν πριν την σύγκρουση είναι ίδιος με των αριθμό των μορίων που έχουν τις ίδιες ταχύτητες μετά τις συγκρούσεις τους..

Ανάλογα με τις συνθήκες που βρίσκεται το εκάστοτε σύστημα υπολογίζουμε διαφορετικά τις μικροκαταστάσεις του. 

Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τυχαία φαινόμενα ονομάζεται θεωρία των πιθανοτήτων

Υπάρχουν τέσσερες κατανομές που ονομάζονται επίσης και στατιστικά σύνολα ή στατιστικές ολότητες: 

Α. Η μικροκατανομη ( microcanonical ensemble): Χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τις θερμοδυναμικές ιδιότητες ενός απομονωμένου συστήματος. Ο αριθμός των σωματιδίων Ν, ο όγκος V και η Ενέργεια Ε παραμένουν σταθερά Το σύστημα (E,V,N) μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε μικροκατάσταση. 

Βασίζεται σε ένα από τα αξιώματα της Στατιστικής Φυσικής (που αναφέρθηκε) ότι ένα απομονωμένο σύστημα έχει την ίδια πιθανότητα να βρεθεί σε οποιαδήποτε από τις πιθανές καταστάσεις. H πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε μια μικροκατάσταση δίνεται από την σχέση:

  όπου Ω (Ε,V, N) είναι ο συνολικός αριθμός των καταστάσεων του συστήματος και ονομάζεται στατιστικό βάρος του συστήματος

Β. Η κανονική κατανομή ή Γκαουτζιανή (canonical ensemble):  Είναι μια ιδεατή περίπτωση στατιστικής  κατανομής που χρησιμοποιείται για  να περιγράψουμε τις θερμοδυναμικές ιδιότητες ενός συστήματος στο οποίο:  ο αριθμός των σωματιδίων Ν, ο όγκος V  παραμένουν σταθερά ενώ βρίσκεται σε θερμική ισορροπία και αλληλεπιδρά με λουτρό θερμότητας ώστε η ενέργειά του μπορεί να υφίσταται διακυμάνσεις.

 Βασίζεται στο Κεντρικό θεώρημα, χρησιμοποιεί συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους οι οποίοι επιβεβαιώνονται πειραματικά δεδομένα. 

 Η πιθαανότητα να βρεθεί ένα σύστημα σε αυτήν την κατάσταση δίνεται από την κατανομή Boltzman  όπου β=1/kβΤ με k την σταθερά του Boltzman Εr είναι η συνολική ενέργεια και Ζ έιναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης που εξασφαλίζει το άθροισμα των πιθανοτήτων να είναι ίσο με την μονάδα. Δίνει γραφικό καμπάνας.

Η κανονική κατανομή είναι πολύ σημαντική γιατί  εκτός από τα φυσικά,μπορεί να προβλέψει την συμπεριφορά μεγάλου αριθμού φαινομένων όπως οικονομικων, κοινονικών, 

 

 

Γ. Η μεγαλοκατανομη  (μεγαλοκανονική συνάρτηση ή μεγαλοκανονική συνάρτηση επιμερισμού)):  

Είναι στατιστική  κατανομής για συστήματα που μπορούν να ανταλλάσουν ενέργεια και ύλη, Είναι βολικό το μεγαλοσύστημα να περιγράφεται σαν ένα μεγάλο κανονικό σύνολο το οποίο είναι ένα σταθμισμένο άθροισμα κανονικών συνόλων ένα για κάθε συστατικό. Η μεγάλη κανονική κατανομή έχει την μορφή:   και το Ζ είναι 

Χρησιμοποιείται συχνά και για να  εξετάζει πηγές μεγάλων δεδομένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή στατιστικών για τον πληθυσμό και την κοινωνία.

Δ. Η Στατιστική Θερμοδυναμική κατανομή (Ισόθερμη- Ισοβαρής) Είναι μηχανική μεγάλων συνόλων σχετικά απλών συστημάτων όπως άτομα σε έναν κρύσταλλο ή μόρια σε ένα αέριο, φωτόνια σε μια δέσμη λέϊζερ, αστέρια σε έναν γαλαξία, αυτοκίνητα σε έναν αυτοκινητόδρομο.

Οι αρχές της θερμοδυναμικής εκφράζουν τις προσεγγιστικές ιδιότητες και την πιθανολογική συμπεριφορά μακροσκοπικών συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών καταστάσεων που όμως οι νόμοι της κλασσικής Μηχανικής καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της κατάστασής τους εάν είναι γνωστές οι αλληλεπιδράσεις των μικροσκοπικών συστατικών τους (συντεταγμένες και ορμή). Στην μακροσκοπική μάζα ο αριθμός των σωματιδίων έχει τάξη μεγέθους του αριθμού του Avogandro.

H ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΚΗ

Ενώ η Κλασσική Θερμοδυναμική περιγράφεται από μακροσκοπικές παραμέτρους όπως η Πίεση P ο όγκος V κ.α. και  βασίζεται σε λίγες βασικές αρχές από τις οποίες εξάγονται οι νόμοι της π.χ. PV=nRT,

η Στατιστική Θερμοδυναμική ξεκινάει από την μικροσκοπική περιγραφή και εξάγει νόμους που βασίζονται σε ατομικές ιδιότητες με στατιστικό τρόπο

Ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμιικής καθορίζει την λειτουργία του συστήματος που ονομάζεται εσωτερική ενέργεια U και θεωρείται ότι έχει στατιστικό χαρακτήρα σε ένα σύστημα σε θερμοδυναμική ισορροπία και εξάγεται από τη μέση τιμή της μικροσκοπικής ενέργειας 

Επίσης αν Χj είναι οι μεταβλητές δυνάμεις που σχετίζονται με μακροσκοπικές μεταβλητές θέσης στη Στατιστική Μηχανική υπολογίζονται με τον μέσο όρο τυχα'ιων τιμών  και για να βρούμε το μηχανικό έργο που παράγεται αθροίζουμε   

Αν θεωρήσουμε ότι στο σύστημα  υπάρχει μεταβολή στην θερμική ενέργεια    τότε η συνολική μεταβολή της Εσωτερικής Ενέργειας είναι

Ο Δεύτερος Νόμος της Θερμοδυναμικής: Καθορίζει την λειτουργία του συστήμητος S που ονομάζεται Εντροπία. Σε μια μη αναστρέψιμη θερμοδυναμική διαδικασία η συνολική διαφορά εντροπίας σχετίζεται με την θερμότητα που ανταλλάσσεται από το σύστημα ως εξής: 

Οι θερμοδυναμικές τιμές της θερμοκρασίας και της Εντροπίας πρέπει να προσδιορίζονται από τις παραμέτρους του στατιστικού συνόλου.

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Ο Νόμος της Κατανομής Μοριακών Ταχυτήτων: Αρχές και Πρακτικές Εφαρμογές