Η ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ .ΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. Μέρος 5ο Στατιστική Φυσική. Συναρτήσεις Κατανομής Μηχανικής και Θερμοδυναμικής. Κανονική Κατανομή Maxwell,

Δήμητρα Σπανού  καθηγήτρια χημικός, συνταξιούχος Δευτερο/ιας Εκπ/σης από 30-6-2025

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι εξωτερικά μακροσκοπικές μεταβολές στην μάζα των σωμάτων βρίσκουν την ερμηνεία τους στον μικρόκοσμο των σωματιδίων της ύλης.  Εκεί  η μελέτη της  συμπεριφοράς των σωματιδίων των κινήσεων και  των αλληλεπιδράσεων θα δώσει τα στοιχεία για τον προσδιορισμό των εξωτερικών παραμέτρων. 

Αυτά  είναι θέματα που αφορούν την Επιστήμη της Στατιστικής που ασχολείται με την συλλογή και ανάλυση δεδομένων που διευκολύνουν την μελέτη και επεξεργασία προβλημάτων διαφόρων κλάδων της επιστήμης . Πιο συγκεκριμένα εδώ η Στατιστική Φυσική συστημάτων σωματιδίων χρησιμοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις, τα  στατιστικά στοιχεία και κατανομές στην μελέτη τους. 

Η γνώση της κατανομής των σωματιδίων σε ένα σύστημα καθιστά δυνατή την εύρεση των μέσων τιμών διαφόρων χαρακτηριστικών ενός θερμοδυναμικού συστήματος με την βοήθεια της Μαθηματικής Φυσικής

 Έτσι  δίνεται η δυνατότητα να γιίνει καλύτερα κατανοητή η χημική τους δραστηριότητα.  Δ.Σ

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Στη Στατιστική Μηχανική η κανονική κατανομή χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει συστήματα σε θερμοδυναμική ισορροπία, σε σταθερή θερμοκρασία, όγκο  με σταθερό αριθμό σωματιδίων που ανταλλάσει ενέργεια με το περιβάλλον. Αυτή η κατανομή παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία των στατιστικών συνόλων και αποτελεί βάση για την περιγραφή πολλών φυσικών διεργασιών όπως η θερμική αγωγιμότητα,  η διάχυση και οι αντιδράσεις χημικής ισορροπίας

Η κανονική κατανομή συστήματος με ενέργεια Ει καθορίζεται από τον τύπο:  P(E_i) = 1/Z exp(-βE_i)  όπου  β=1/k_bT με k_b σταθερά Boltzman και Ζ είναι κι αυτή συνάρτηση κατανομής που ονομάζεται στατιστικό άθροισμα το οποίο κανονικοποιεί την κατανομή ώστε το άθροισμα όλων των περιοχών των πιθανών καταστάσεων να είναι ίσο με 1       Ζ = ∑ie−βΕi

Η συνάρτηση κατανομής Ζ είναι σημαντική γιατί από αυτό το σύνολο εξαρτώνται θερμοδυναμικά μεγέθη του συστήματος όπως η πίεση, η ελεύθερη ενέργεια , η εντροπία και η πίεση

• ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΤΟΥΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΔΙΝΟΥΝ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
• Η μέση ενέργεια του συστήματος ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των δυνατών ενεργειών: ⟨E⟩=ΣP(Ei)Ei=1/ZΣEiexp(-βΕi)
• Η ελεύθερη ενέργεια F του συστήματος ως F= -k_βΤλ_νΖ  H ελεύθερη ενέργεια καθορίζει το έργο που μπορεί να επιτελέσει το σύστημα υπό σταθερή θερμοκρασία
• Η Εντροπία S ενός συστήματος σε κανονικό σύνολο μπορεί να εκφραστεί με την ελεύθερη ενέργεια f και την μέση ενέργεια ⟨E⟩

Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ (ΕΣ) ΤΟΥ MAXWELL

Πρόκειται για διάφορες κατανομές πιθανοτήτων που περιγράφουν την στατιστική συμπεριφορά παραμέτρων των σωματιδίων ιδανικού αερίου (τα σωματίδια δεν αλληλεπιδρούν και τα μεγέθη τους είναι αμεληταία) σε καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας

Η κατανομή Maxwell ισχύει μόνο για ιδανικά αέρια, αφού στα πραγματικά υπάρχουν αλληλεπιδράσεις όπως δυνάμεις van der waals, κβαντικές ή αλληλεπιδράσεις ανταλλαγής.

Παίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλούς τομείς επιστήμης και τεχνολογίας όπως η αστροφυσική, η αεροδυναμική, η διαστημική τεχνολογία, η ενέργεια κ.α.

Λόγω του τεράστιου αριθμού των σωματιδίων είναι αδύνατον να προσδιοριστούν οι ταχύτητές τους σε οποιαδήποτε στιγμή και έτσι η μοριακή ταχύτητα θεωρείται σαν μια τυχαία μεταβλητή. Η τυχαία φύση της κίνησης επιτρέπει 

να υιοθετήσουμε νόμους κανονικής κατανομής στην μελέτη τους

Πήρε το όνομά τους από τον διαπρεπή Φυσικό James Clerk Maxwell που περιέγραψε πρώτη φορά κατανομή το 1860

Αρχικά στις κατανομές αυτές  δόθηκαν για την ταχύτητα των μορίων σε συνεχείς κατανομές  και αργότερα ανακαλύφθηκαν κατανομές και για άλλα μεγάθη όπως  η ποσότητα των  σωματιδίων, η ενέργεια, η ορμή, οι πιθανότητες κ.λ.π. 

Για παράδειγμα, οι πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό των μορίων που έχουν μια δεδομένη ταχύτητα ονομάζονται συνάρτηση κατανομής ταχύτητας 

Για να προσδιοριστούν οι ιδιότητες ενός ιδανικού αερίου σε ισορροπία πρέπει να γνωρίζουμε την συνάρτηση κατανομής της ταχύτητας.