Η κυματική Εξίσωση: Εξίσωση ελατηρίου, μηχανική ταλάντωση χωρίς - με τριβή και με απόσβεση. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις LC, LCR

Η κυματική Εξίσωση: Εξίσωση ελατηρίου, μηχανική ταλάντωση χωρίς - με τριβή και με απόσβεση. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις LC, LCR

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

υπό κατασκευή

 

 

α. Εξίσωση ελατηρίου

Αποτέλεσμα εικόνας για οριζοντιο ελατηριο διαφορικη εξισωσηΟι δυνάμεις στον ταλαντωτη είναι η τάση Τ = -kx  (Η Δύναμη που ασκείται στο ελατήριο για να επιμηκυνθει κατά x είναι kx) 

 Η δύναμη επαναφοράς προσδίδει επιτάχυνση α F επ = mα.
H μετατόπιση είναι x 
H ταχύτητα στον ταλαντωτη είναι η πρώτη παράγωγος της μετατόπισης dx/dt =y (ταχύτητα)
Η επιτάχυνση στον αρμονική ταλαντωτή θεωρείται η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ίση με α= d2x/dt2 
 
Η δύναμης επαναφοράς είναι ky ( k σταθερά του ελατηρίου)ενώ η  Γνωρίζουμε πως η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος του διαστήματος ως προς χρόνο. Άρα  F επ = md2x/dt2)
 
 F επ -Τ =0
md2x/dt2   - kx  =0

β. Εξίσωση Εκκρεμούς (αρμονικός τακαντωτής)

 

 

 

γ. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις LC

Παράδειγμα το κύκλωμα RC 

Electrical SystemΚύκλωμα L C Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

UL +Uc =0

αν q=y   x=t                 

Η Επαγωγική τάση που προκείται  UL = Εεπ =  -L.dI / dt.   = -Ld2q / dt 2      (dy/dx = dI / dt) Το ηλεκτρικό ρεύμα που διαρέει το κύκλωμα  είνα    I = dq / dt  

Hτάση στα άκρα του πυκνωτή είναι Uc = q/C

αντικαθιστώντας έχουμε q/C  -Ld2q / dt 2 =0  

 

2. 2ης τάξης τύπου y΄΄ +  p1y΄ + poy =0

Παράδειγμα 

Κύκλωμα R L C Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Electrical System

UR+UL +Uc =0

 

αν q=y   x=t                

-Η Επαγωγική τάση που προκείται Εεπ =  -L.dI / dt.  = IR + IRE

  dy/dx = .dI / dt

Το ηλεκτρικό ρεύμα που διαρέει το κύκλωμα  είνα    I = dq / dt   και 

-η Τάση στα άκρα της αντίστασης είναι UR = IR= dq / dt .R

Αντικαθιστώντας έχουμε    Εεπ = -  L. (d )(dq / dt)/ dt   --> -  L. (d 2q / dt2)

-H τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι Uc = dq / dt .R

H ΔΕ γίνρται -  L. (d 2q / dt2)  + dq / dt .R  + dq / dt .R =0       (αy΄΄ + βy΄+γy =0)

 

Στο πρόβλημα, του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση

Σύστημα μάζας- ελατηρίου ισχύει ο νόμος του Hooke και υπάρχει ένας γραμμικός όρος απόσβεσης. Η Δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου είναι ανάλογη με την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας και η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας της κίνησης dy/dx =y΄.

Fελ = -ky και Fαπόσβεσης = -αy΄

Η συνολική δύναμη είναι F = Fελ  + Fαπόσβεσης   --> ma =  -ky  -αy΄ όμως a =d2y/dt και y΄ =dy/dt και έχουμε την ΔΕ

md2y/dt2  -αdy/dt - ky =0

Στο πρόβλημα του αρμονικού ταλαντωτή καταλήγουμε στην διαφορική εξίσωση Στο πρόβλημα του αρμονικού ταλαντωτή καταλήγουμε στην διαφορική εξίσωση     αν  πρόκειται για συνάρτηση    της μετατόπισης  σε  σχέση με τον χρόνο     

H μετατόπιση είναι x 

-Η δύναμη στον ταλαντωτη είναι F= mα. 
Η επιτάχυνση στον αρμονική ταλαντωτή θεωρείται η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ίση με α= d2x/dt2 όπου  F= m d2x/dt2
Η επιτάχυνση στον αρμονική ταλαντωτή θεωρείται επίσης  η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας α= dy/dt  
-Η δύναμης επαναφοράς T είναι ky ( k σταθερά του ελατηρίου) T = -ky
-H ταχύτητα στον ταλαντωτη είναι η πρώτη παράγωγος της μετατόπισης dx/dt =y (ταχύτητα)
Η απόσβεση N λόγω τριβών ή άλλης εξωτερικής αιτίας, θεωρείται ανάλογη της ταχύτητας (b.dy/dx ) b σταθερά απόσβεσης  N=(b.dy/dx
Έτσι
               
      
m d2x/dt2= -b.dy/dx - kx        
 για m=1 έχουμε
dy/dt  = -b/m(dx/dt)- (k/m) x 
dy/dt  = = -b(dx/dt)- k x  
dy/dt  = -by- k x  
 
επειδή b2<< 4k  προσεγγοστικά
 
dy/dt = - [x(b(y/x)+ k )]/y
 
θέτουμε y/x =R(x)  οπ'οτε y=R(x)x
μετασχηματίζουμε
dy/dt = R + x (dR/dx)  και 
ολοκληρώνουμε
 και καταλήγουμε σε τελική λύση 
1/2 ln[y2/x2  +b.y/x +k] - b/2 . 1/(k-b24)1/2 tan-1 [(y/x + b/2 )/(k- b2/4)1/2] = -lnx + c

 

                                                                                   Î£Ï‡ÎµÏ„ική εικόνα

 

 2ης τάξης τύπου y΄΄ +  p1y΄ + poy = f(x)

Εξαρτημένη ταλάντωση

Κίνηση αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση που δέχεται εξωτερική διέγερση f(x)

αν   x=t   το  f(x) είναι  f(t)

δουλρ΄ύοντας ανάλογα έχουμε 

md2y/dt2  -αdy/dt - ky =f(t)