ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ: Τα κύματα: Το μηχανικό κύμα και η Η Κυματική Εξίσωση. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα .

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

υπό κατασκευή

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Υπάρχουν φαινόμενα στη φυσική που χαρακτηρίζονται από κυκλικές αλλαγές και οι  φυσικές ποσότητες που τα χαρακτηρίζουν το φαινόμενο μεταβάλλονται περιοδικά  στον χώρο και στον χρόνο. Τα φαινόμενα αυτ χαρακτηρίζονται περιοδικά. Τέτοια φαινόμενα συναντάμε στη φύση όπως είναι η αλλαγή των εποχών, το πέταγμα των πουλιών, η καρποφορία, η εκπομπή ακτινοβολίας από τα παλσαρ

 Τέτοια φαινόμενα επίσης συναντάμε στην μηχανική, όταν μελετάμε την κίνηση του ελατηρίου, του εκκρεμούς, το έμβολο σε κινητήρες εσωτερικής καύσης, δονήσεις του φλοιού της γης  σε σεισμούς, κατακόρυφη ταλάντωση σώματος βυθισμένου σε υγρό κ.α όπου έχουμε περιοδική μετατροπή της κινητικής και της μηχανικής ενέργειας.

παρόμοια, στον ηλεκτρομαγνητισμό,  έχομε ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις,  (κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος, ταλαντώσεις πεδίου) και ηλεκτρομαγνητικές δονήσεις.

Περιοδικότητα επίσηε έχουμε και με την διάδοση κυμάτων:

Σε μηχανικά κύματα όπως  η διάδοση του ήχου ή 

ηλεκτρομαγνητικά όπως τα  σε ραδιοκύματα, μικροκύματα, υπέρυθρη ακτινοβολία, ορατό φως, υπεριώδης ακτινοβολία, ακτίνες Χ, ακτίνες γ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ 

Όπως είπαμε στις περιοδικές κινήσεις αλλάζουν κυκλικά. Όταν πρόκειται για ταλαντώσεις οι τιμές των φυσικών μεγεθών  αλλάζουν περιοδικά στον χρόνο, ενώ στα κύματα οι τιμές των φυσικών μεγεθών αλλάζουν περιοδικά στον χώρο και στον χρόνο

Οι ταλαντώσεις αλλά και στα κύματα, οι τιμές των φυσικών μεγεθών αλλάζουν κυκλικά. 

Στις ταλαντώσεις η φυσική ποσότητα ταλαντώνεται μεταξύ δύο σημείων μεγίστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, αφού οι χωρικές σσυντεταγμένες είναι σταθερές.

Σστα κύματα  έχουμε μια ορισμένη κατανομή της φυσικής ποσότητας στον χώρο, αφού με εναλλαγη μεγίστων και ελαχίστων.

Οι ταλαντώσεις είναι μια κυκλική διαδικασία που επαναλαμβάνεται με την πάροδο του χρόνου. Αν θεωρήσουμε ένα σημείο που κινείται κατά μήκος ενός μοναδιαίου κύκλου, τότε η προβολή του πάνω σε διάμετρο του κύκλου, χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνηση των ταλαντώσεων

Στις ταλαντώσεις υπάρχει μια κατάσταση ισορροπίας και  συμβαίνει διαρκώς  μια διαδικασία αλλαγής καταστάσεων κοντά σε σημείο ισσορροπίας που επαναλαμβάνεται στον χρόνο. Σχετίζονται σχεδόν πάντα με τον μετασχηματισμό της ενέργειας από μια μορφή σε άλλη.

Εάν οι τιμές των φυσικών μεγεθών που χαρακτηρίζουν το ταλαντευόμενο σύστημα επαναλαμβάνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα ονομάζονται περιοδικές.  

Εάν οι διακυμάνσεις δίνονται από τις σχέσεις   ή  

ονομάζονται αρμονικές ταλαντώσεις

Στις αρμονικές ταλαντώσεις ισχύει η εξίσωση        

         .    (ω είναι η κυκλική συχνότητα)

Οι ταλαντώσεις σχετίζονται στενά με τα κύματα και γι αυτό η θεωρία που έχει επικρατήσει είναι η θεωρία των ταλαντώσεων και των κυμάτων που  ασχολειται με την μελέτη περιοδικών φαινομένων

Οι ελεύθερες  ταλαντώσεις που συμβαίνουν χωρίς περιοδικές εξωτερικές επιδράσεις και η συχνότητά τους λέγεται ιδιοσυχνότητα 

Διεγερμένες ταλαντώσεις συμβαίνουν υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής επιρροής

Ταλάντωση που προκαλείται σε ένα σύστημα από περιοδική εξωτερική δύναμη που προσφέρει ενέργεια στο σύστημα και ονομάζεται διεγέρτης

ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

 

Κύματα είναι μια αλλαγή σε ορισμένες καταστάσεις φυσικών ποσοτήτων στον χώρο και στον χρόνο, η οποία είναι δυνατόν να κινείται, να απομακρύνεται να ταλανταύεται συνήθως σύμφωνα με τους περιοδικούς νόμους

 

Ακόμη, κατά την διάδοση των κυμάτων έχουμε μεταφορά ενέργειας αλλά όχι μεταφορά μάζας

 

 

 

Σε φυσικές διαδικασίες, το κύμα μπορεί να έχει διαφορετική προέλευση: Από μια μηχανική ή χημική ή ηλεκτρομαγνητική ή βαρυτική ή πυκνότητα πιθανότητας μεταβολή, 

 

Τα κύματα όμως παρ ότι διαφορετικά, παρουσιάζουν μια μαθηματική ομοιότητα των φυσικών νόμων που τα περιγράφουν, οι οποίοι αναφέρονται και σαν μαθηματικές εξισώσεις.

Οι εξισώσεις αυτές όταν πρόκειται για συνεχή συστήματα είναι συνήθως μερικές διαφορικές εξισώσεις (περιέχουν άγνωστες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και των παραγώγων τους) στον χώρο φάσεων του συστήματος (δηλαδή ο χώρος που σε κάθε σημείο του αντιστοιχεί σε μία και μόνο κατάσταση από όλες τις πιθανές ).

 

Μια τέτοια εξίσωση που αναφέρεται σε  γραμμικά διαδιδόμενα κύματα (κύματα με μικρό πλάτος) είναι

 

ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΟΙ κυματικές διεργασίες προκαλούνται από μια κοινή ταλάντωση των στοιχείων ενός δυναμικού συστήματος.

Αυτή η ταλάντωση μπορεί να προέρχεται

 

α. Από μια εντοπισμένη πηγή (πομπός κεραία, διαπασόν κ.λ.π.)

 

β. Αυθόρμητη παραγωγή ταλαντώσεων από άλλους παράγοντες όπως υδροδυναμική αστάθεια σε όγκο, υψηλή ταχύτητα ανέμου πάνω στο νερό κ.α.

 

γ.  Μετάβαση κυμάτων ενός τύπου σε κύματα άλλου τύπου . Παράδειγμα από ηλεκτρομαγνητικά κύματα σε στρεό μπορεί να δημιουργηθούν ηχητικά κύματα

 

ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

 

Η διαταραχή που προκαλεί η ταλάντωση μπορεί να διαδοθεί μέσω ενός μέσου διάδοσης ώστε η κυματική διαταραχή έχει τις ιδιότητες όλων  των ταλαντώσεων των στοιχείων του μέσου διάδοσης αλλά ταυτόχρονα  και του συνόλου των ταλαντώσεων αυτών

 

Τα στοιχεία αυτά είναι, η περίοδος Τ, η συχνότητα f το μήκος κύματος λ και οι σχέσεις τους : Τ= 1/f,  f= ω/2π, 

 

Την εξάρτηση της  χωρικής και χρονική περιοδικότητας των κυμάτων δίνει η εξίσωση των κυμάτων  f= c/λ 

 

 

 

ΤΥΠΟΙ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΒΑΣΕΙ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΔΙΑΔΟΣΗΣ

 

1. τα ελαστικά κύματα που είναι ελαστικές διαταραχές (παραμορφώσεις) που διαδίδονται λόγω της δράσης των ελαστικών δυνάμεων του μέσου (στερεά, υγρά, αέρια) . Αν τα σωματίδια του μέσου διάδοσης ταλαντεύονται η διάδοση του κύματος είναι εγκάρσια 

2. τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που είναι μια διαταραχή ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που διαδίδεται μέσω διάδοσης της διαταραχής αυτής στο διαστήματος ή στο πλάσμα

 

3. το Βαρυτικό κύμα που είναι αλλαγές στο βαρυτικό πεδίο που διαδίδεται σαν κύμα

 

 

 

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

Η κυματική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που περιγράφει την διάδοση των κυμάτων στον χώρο και στον χρόνο. 

Συσχετίζουν τον χώρο και τον χρόνο καθώς περιγράφουν την διάδοση διαταραχής χωρίς παραμόρφωση.

 Εξίσωση κύματος y(x,t) =f(x, -υt)   

 

Κάθε φορά που η ενέργεια μεταφέρεται περιοδικά μεταξύ δυο διαφορετικών μορφών της, (δυναμική-κινητική ή ηλεκτρική- μαγνητική) η εξίσωση κύματος χρησιμοποιείται για να περιγράψει αυτήν την διαδικασία

Συσχετίζουν τον χώρο και τον χρόνο καθώς περιγράφουν την διάδοση διαταραχής χωρίς παραμόρφωση.

Σύμφωνα με το θεώρημα του νόμου της διατήρησης έχουμε 

md²x(t)/dt²  +kx(t) =0

όπου, y΄ =υ=dx/dt

παραγωγίζοντας έχουμε   θ y(x,t)/θt =-υ θy(x-t)/θx

 

  όπου βλέπουμε ότι ο χωρικός ρυθμός μεταβολής της y είναι ίσος με τον χρονικό ρυθμό μεταβολής της

από την  θx(x,t)/θt = - υθy(x,t)/θx

  όπου βλέπουμε ότι ο χωρικός ρυθμός μεταβολής της y είναι ίσος με τον χρονικό ρυθμό μεταβολής της διαταραχής

και παραγωγίζοντας για δεύτερη φορά, καταλήγουμε  θ²y(x,t)/θx² = 1/υ² . θ²y(x,t)/θt² . που είναι η διαφορική εξίσωση κύματος

 

Είναι μια από τις θεμελιώδεις εξισώσεις της φυσικής και χρησιμοποιείται σε πολλά είδη κυμάτων όπως μηχανικά, ηλεκτρομαγνητικά, ηχητικά

Σε αντίθεση με την εξίσωση ταλάντωσης  όπου έχουμε παραγώγιση μόνο ως προς τον χρόνο, εδώ πρόκειται για μια μερική διαφορική εξίσωση που παραγωγίζεται ως προς τον χώρο και τον χρόνο

Για την πολυδιάστατη ομοιογενή κυματική εξίσωση γράφεται ως 

 ενώ στην μονοδιάστατη  .

που περιέχει την δεύτερη παράγωγο της συντεταγμένης στον χρόνο και την δεύτερη παράγωγο στη συντεταγμένη

Αν έχουμε μια δεδομένη εξωτερική επιρροή όπως μια δύναμη τότε μιλάμε για την ανομοιογενή εξίσωση που είναι  

 

Για το επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα η εξίσωση που διαδίδεται στην κατεύθυνση x η Ένταση του ηλεκτρικού πεδίου λαμβάνεται στην κατεύθυνση ψ

κι έτσι μπορούμε να γράψουμε την κυματική εξισωση για την κατεύθυνση ψ , Ε_ψ, ως εξής: