Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 2ο μέρος. Κβαντικοί τελεστές Τελεστής Hamilton. Τα ανάδελτα ∇ . Συστήματα συντεταγμένων της κίνησης σε εξίσωση Στροντιγκερ Καρτεσιανές συντεταγμένες και σφαιρικές πολικές συντεταγ

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 2ο μέρος. Κβαντικοί τελεστές Τελεστής Hamilton. Τα ανάδελτα ∇ . Συστήματα συντεταγμένων της κίνησης σε εξίσωση Στροντιγκερ Καρτεσιανές συντεταγμένες και σφαιρικές πολικές συντεταγ

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Η ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

Στην κλασσική Φυσική τα γνωστά μεγάθη των οποίων η μέτρηση δίνει έναν αριθμό είανι τα παρατηρήσιμα μεγέθη (θέση, ορμή, χρόνος κ.α.). Για να αντιστοιχίσουμε ένα από τα παρατηρήσιμα μεγέθη σε μέγεθος της Κβαντομηχανικής, χρησιμοποιούμε τους τελεστές της Κβαντομηχανικής

ΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Ο ΤΕΛΕΑΤΗΣ HAMILTON

Γενικά τελεστής είναι ο κανόνας που μια συνάρτηση σχετίζεται με μια άλλη συνάρτηση και απαιτούνται σύνθετοι υπολογισμοί για τον εκάστοτε τελεστή.

Στην κβαντομηχανική οι βασικοί τελεστές από τους οποίους προέρχονται όλοι οι άλλοι είναι οι εξής:

Ο τελεστής Ηamilton Χαμιλτονιανή ( Hamiltonian ) είναι "Τελεστής άθροισμα" Hamilton ή η είναι δηλαδή κβαντικός τελεστής της κινητικής ενέργειας και ο κβαντικός τελεστής της δυναμικής ενέργειας και αντιστοιχεί στο άθροισμα των ενεργειών για την κβαντομηχανική.

Ο τελεστής ολικής ενέργειας λέγεται τελεστής Hamilton

Για να τον υπολογίσουμε στην κβαντομηχανική βρίσκουμε τον ανάλογο στην κλασσική φυσική

Στην κλασσική Μηχανική η κινητική ενέργεια είναι Ε=!/2 mu² = 1/2m (-m²u²)=1/2mp² (p είναι η ορμή)

Ο τελεστής στην κβαντομηχανική για την ορμή της ${\hat {p}}_{x}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\mathrm {\hbar } }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}$

Στην κλασσική φυσική ο τελεστής Hamilton είναι

Ο τελεστής Hamilton στην κβαντομηχανική ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$

Ο τελεστής Ηαμιλτον σε καρτεσιανές συντεταγμένες x, y, z. Τα ανάδελτα ∇

Τα ανάδελτα ∇ (γενικά) είναι ένας διανυσματικός διαφορικός τελεστής των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Εάν εφαρμόσουμε τον αναδέλτα για να έχουμε τον τελεστή Hamilton σε καρτεσιανές x, y, z, παίρνουμε τον

τελεστής Laplace είναι το ανάδελτα όταν πρόκειται για συνάρτηση 3 διαστάσεων του χώρου x, y, z.

και στις 3 διαστάσεις στο γίνεται ${\hat {\mathbf {p} }}=-\mathrm {i} \hbar \nabla$

έτσι,

Η Κινητική Ενέργεια στην Κβαντομηχανική, για ένα σωματίδιο m, στις 3 διαστάσεις γίνεται

${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$

Η hamiltonian (για τρεις διαστάσεις γίνεται ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$

Παραδείγματα στην Κβαντομηχανική, που χρησιμοποιείται η Hamiltonian

1. Για το ελεύθερο σωματίδιο που κινείται σε χώρο ελεύθερο πεδίων δηλαδή με μηδενική Δυναμική ενέργεια σε τρεις διαστάσεις

2. Για απλό αρμονίκό ταλαντωτή Η κίνηση είναι μονοδιάστατη, Η δυναμική ενέργεια $\omega ^{2}={\frac {k}{m}},$

$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},$

Ο τελεστης Hamilton, σε μία διάσταση ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}.$

Η ενέργεια είναι κβαντισμένη και παίρνει διακεκριμένες τιμές

E_n = ω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2, )

Συστήματα συντεταγμένων των κυματοσυναρτήσεων της κίνησης σε εξισώσεις Στροντιγκερ

(Η Κινητική Ενέργεια μπορεί να αποδοθεί σε καρτεσιανές ή σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες χρησιμοποιείται το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση

Σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες r, t ) χρησιμοποιείται η απόσταση r (r=|r|),η γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z καιη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy. )

nΔΙΑΣΤΑΤΟΣ - ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΣΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Εάν η $\Psi \left({\vec {r}},t\right)$ κυματοσυνάρτηση δίνεται για έναν nδιάστατο χώρο και κάθε σημείο ${\vec {r}}({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},\ldots ,{x}_{n})$ σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t

το Δ στην εξίσωση Schrodinger ( $-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\Psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ({\vec {r}},t),\qquad (1)$

αντικαθίσταται από τον τελεστή αναδέλτα στο τετράγωνο

$\Delta \equiv {\nabla }^{\,2}\!={{\partial }^{2} \over \partial {x}_{1}^{2}}+{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{2}^{2}}+{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{3}^{2}}+\ldots +{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{n}^{2}}.$

Αν η κυματοσυνάρτηση είανι σε χώρο τριών συντεταγμένων δηλαδή η ΔΨ στο καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένων, τότε, αντικαθίσταται από την

$\Delta \Psi ={{\μερικό }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}},$

και το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις ο οποίος δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση είναι

και η εξίσωση Schrodinger θα πάρει την μορφή

$-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi =i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},$

Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ -ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

θεωρούμε 'οτι το κέντρο μάζας του ατόμου ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του πυρήνα ( γιατί η μάζα του είναι πολύ μεγαλύτερη) τον οποίο θεωρούμε ακίνητο σχετικά με το ηλεκτρόνιο, χάριν ευκολίας.

Η θέση του ηλεκτρονίου (το άνυσμα θέσης) καθορίζεται από την απόσταση r (r=|r|) και από την γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z και από τη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy. Η σχέση x,y,z (καρτεσιανές) και r,θ,φ (πολικές) είναι:

H στάσιμη εξίσωση Schrodinger σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι

η λύση της γράφεται σαν το γινόμενο ακτινικής με γωνιακές συναρτήσεις

ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ),

οι ακτινική και οι γωνιακές συναρτήσεις που το γινόμενό τους δίνει την στάσιμη Schrodinger πολικές συντςταγμένες είναι:

Ο για την γωνιακή είναι:

H ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ

Η στάσιμη σε σφαιρικές συντεταγμένες

Εξαρτημένη από τον χρόνο γενική εξίσωση Scrodinger

Η ολική Ενέργεια -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις χρονοεξαρτώμενη λόγω της εξάρτησης του δυναμικού από τον χρόνο (σε όποιες περιπτώσεις συμβαίνει) .

Kατά την άποψη του Scrodinger η Χαμιλτονιανή είναι "γενήτρια " χρονικής εξέλιξης

ώστε εφαρμόζοντας την παρακολουθούμε την εξέλιξη του συστήματος στον χρόνο.

Η κατάσταση του συστήματος εξελίσεται σύμφωνα με την εξίσωση και δίνεται από

${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),$

'η

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)\ ,$

Η σωματιδιακή εξίσωση Schrondinger στην κοινή της μορφή, είναι γνωστή σαν:

και η εξάρτηση από τον χρόνο είναι μόνο την δυναμική της ενέργεια

akatergaso

Κατά την κίνηση σωματιδίου σε κουτί ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κατά την κλασσική φυσική οι τιμές της ενέργειάς του είναι συνεχείς και εξαρτώνται από την πιθανότητα να βρεθεί σε διάστημα μεταξύ x και x+dx . Στην πραγματικότητα όμως και στην κβαντική φυσική μπορεί να πάρει μόνο κβαντισμένες τιμές ώστε: Enx = h2 n2/4

Η Συνάρτηση Ψ είναι συνάρτηση κύματος. Η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στον στοιχειώδη όγκο dv γύρω από το σημείο r ην χρονική στιγμή t εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Ψ((r,t) που έχει μορφή μιγαδικής εξίσωσης

Ψ(r,t) =Ψ_R(r,t) + iΨ_i(r,t)

Δηλαδή, η συνάρτηση Ψ(r,t) προσδιορίζεται από δύο συναρτήσεις, Ψ_R(r,t) που είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και την iΨ_i(r,t) το φανταστικό μέρος , είναι μια κυματοσυνάρτηση της Κβαντικής Μηχανικής και επίσης, προσδιορίζεται η απόλυτη τιμή της που έχει ιδιαίτερη σημασία

(Για να δούμε την αντιστοιχιση με συναρτήσεις που περιγράφουν αντίστοιχα περιοδικά φαινόμενα στην κλασσική φυσική ας θυμηθούμε την κυματική εξίσωση παλώμενης χορδής : u₁(x,t) = A₁sin(πx/l) cos.(nαx/l) και για ανώτερη αρμονική u_n(x,t) = Ansin(nπx/l) cos.(nnαx/l)n

Ακόμα, για μια πιο πολύπλοκη κίνηση της χορδής, θα παραχθεί σύνθετος ήχος από πολλές αρμονικές (ιδιοσυχνότητες) συγχρόνως . Η συνάρτηση που περιγράφει τότε την κίνηση της χορδής είναι: u(x,t) = Α₁u₁(x,t) Α₂u₂(x,t) .= Σu_n(x,t)

ακατεργαστο

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle .$

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

και λύνεται σαν διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών.

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες

(ο πρώτος όρος για την κινητική (3 διαστάσεις) και ο δεύτερος για την δυναμική ενέργεια) και όπως φαίνεται η Δυναμική ενέργεια μπορεί να είναι και χρονοεξαρτώμενη

ενώ, η εξίσωση για μία διάσταση(μιας μεταβλητής ) είναι

Για μια εξίσωση δύο μεταβλητών παίρνει την μορφή

u(x,y)=X(x)Y(y)

Η εξίσωση Schrodinger και η ενέργεια σε με πολικές * συντεταγμένες είναι

Εάν η κυματοσυνάρτηση είανι ανεξάρτητη από τον χρόνο

έχουμε την

Στατική μορφή της εξίσωσης Schrodinger Ĥφ(r) = Eφ(r)

Η Στατική μορφή της εξίσωσης Schrodinger όταν η δυναμική ενέργεια ελιναι αναξάρτητη από τον χρόνο δηλαδή V(r) η εξίσωση τότε είναι

Ĥφ(r) = Eφ(r) [φ(r) η ψ(r)]

(Η θεωρία της κυματοειδούς φύσης των ηλεκτρονίων του Schrodinger που δίνουν την χωρική κατανομή του φορτίου του ηλεκτρονίου που θεωρείται σαν στατικό ηλεκτρικό κύμα και γι αυτόν τον λόγο χρησιμοποιείται η στατική της μορφή)

αλλά και η στατιστκή ερμηνεία του Max Born που δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο - σωματίδιο σε διάφορα σημεία του χώρου στον οποίο κινείται,

δίνουν μια νέα εικόνα για την δομή του ατόμου αυτήν των ατομικών τροχιακών

Η θεωρία των ατομικών και μοριακών τροχιακών πρότεινε Robert Sanderson Mulliken, το 1932

ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER

Αν και σε ρεαλιστικά προβλήματα η εξίσωση Schrodinger δεν επιλύεται ακριβώς, υπάρχουν ορισμένα προβλήματα που επιλύονται με τη χρησιμοποιησή της, κυρίως αυτά που μελετώνται με τη βοήθεια της κβαντομηχανικής όπως:

Το ελεύθερο σωματίδιο

Το απειρόβαθο πηγάδι

Το σωματίδιο σε δακτύλιο

Το δυναμικό δέλτα

Το σκαλοπάτι δυναμικού

Ο αρμονικός ταλαντωτής

Το άτομο του υδρογόνου

ΠΗΓΕΣ

https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov

Ατομικά τροχιακά και κβαντικοί αριθμοί – Η ηλεκτρονική τάξη Χημείας (sch.gr)

6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)

https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov

Ηλεκτρονική δομή - Βικιπαίδεια (wikipedia.org)

6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)

Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7_%CE%A3%CF%81%CE%AD%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BD%CE%B3%CE%BA%CE%B5%CF%81

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C_%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%87%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C

https://www.slideserve.com/koen/se-pa-e-ed-s-ea-dafe-ea-t-a-ta-ap-t-ea-des-s-vb

https://docplayer.gr/45953129-5-organometallikes-enoseis-ton-mm.html

https://www.slideserve.com/rufin/3271136#google_vignette

Σφαιρικές συντεταγμένες (r, θ, φ)

Сферические гармоники

https://slideplayer.gr/slide/17116331/

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές - Διαδικτυακή Παρουσίαση

Решение для атома водорода - презентация онлайн

Орбитали имеющие сферическую форму 60 фото - Pla

https://mycourses.ntua.gr/courses/CHEM1047/document/%EA%E5%F6%DC%EB%E1%E9%EF_3.pdf

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%84%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CF%84%CF%89%CF%84%CE%AE%CF%82_(%CE%BA%CE%B2%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%BC%CE%B7%CF%87%CE%B1%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AE)

Уравнение Шрёдингера, волновая функция - online presentation

en.ppt-online.org|1024 × 767 jpeg

|8 χρόνια πριν

Κάντε κλικ εδώ για να επιλέξετε ένα μέρος αυτής της εικόνας και να πραγματοποιήσετε αναζήτηση σχετικά με αυτό

Αναζήτηση μ

Релятивистская квантовая механика: релятивистское уравнение Шр

Уравнение Шрёдингера, волновая функция - online presentation

en.ppt-online.org|1024 × 767 jpeg

|8 χρόνια πριν

Κάντε κλικ εδώ για να επιλέξετε ένα μέρος αυτής της εικόνας και να πραγματοποιήσετε αναζήτηση σχετικά με αυτό

Αναζήτηση μ

Επαφή