Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 1ο μέρος ΟΙ αρχές της Κβαντομηχανικής. Μέθοδος Schrodinger, . Η κυματοσυνάρτηση Ψ στην Κβαντική μηχανική. .Η αρχή της Υπέρθεσης (Επαλληλίας) στην κβαντομηχανική Oι εξισώσεις Schrodinger στη φυσική και στη Χημεία

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 1ο μέρος ΟΙ αρχές της Κβαντομηχανικής. Μέθοδος Schrodinger, . Η κυματοσυνάρτηση Ψ στην Κβαντική μηχανική. .Η αρχή της Υπέρθεσης (Επαλληλίας) στην κβαντομηχανική Oι εξισώσεις Schrodinger στη φυσική και στη Χημεία

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

Αφιερώνω στον Μανώλη Μ.

Υποτίθεται ότι η φύση κατά τελείως τυχαίο τρόπο αποφάσισε σε ποια εκ των δύο κλασικών καταστάσεων θα καταρρεύσει. Οι πιθανότητες για αυτό καθορίζονται από τους συντελεστές των δύο καταστάσεων όταν αυτές σχηματίζουν την υπέρθεση. Αν και η μέθοδος αυτή είναι συμβατή με το κβαντικό φορμαλιστικό πλαίσιο, εν τούτοις παραμένει μυστηριώδης ο χρόνος και ο τρόπος που συμβαίνει η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης.

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%B2%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%85%CF%80%CE%AD%CF%81%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7

ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Η Κβαντομηχανική είναι μια θεωρία της Φυσικής που μέχρι στιγμής μελετά και ερμηνεύει συμπεριφορά υλικών αντικειμένων που τα μοντελοποιεί ως μεμονωμένα σωματίδια ή ως συστήματα ορισμένου αριθμού σωματιδίων

Εσάγωντας νέους νόμους και έννοιες μέσω των οποίων έχει καταφέρει να περιγράφει περιοχές της φυσικής όπως η ατομική φυσική, η φυσική στερεάς κατάστασης, η πυρηνική φυσική και η φυσική στοιχειωδών σωματιδίων αλλά και συυναφείς επιστήμες όπως η Κβαντική Χημεία

Μέσω της Στατιστικής Μηχανικής μπόρεσαν ακόμα να υπολογιστούν μεγάλα θερμοδυναμικά μεγέθη όπως η Εντροπία, η Εσωτερική ενέργεια, το χημικό δυναμικό κ.α.Ε.

Οι έννοιες της Κβαντικής Μηχανικής είναι τριών ειδών: Οι Συναρτήσεις καταστάσεως, τα παρατηρήσιμα μεγέθη και οι τελεστές

Συνάρτηση καταστάσεως είναι μια μαθηματική συνάρτηση για το υπό εξέταση σύστημα που περιέχει κάθε δυνατή πληροφορία. Στις συναρτήσεις καταστάσεως της Κβαντομηχανικής έχουμε συντεταγμένες τις συντεταγμένες θέσεως (x1. x2...y1, y2...z1, z2...xn) για 1, 2, n σωματίδια και τον χρόνο t

Παρατηρήσιμα μεγέθη: Στην κλασσική Φυσική τα γνωστά μεγάθη των οποίων η μέτρηση δίνει έναν αριθμό είανι τα παρατηρήσιμα μεγέθη (θέση, ορμή, χρόνος κ.α.).

Τελεστές : Είναι το σύμβολο για την εκτέλεση μιας ορισμένης μαθηματικής εργασίας σε μια συνάρτηση. Για να αντιστοιχίσουμε ένα από τα παρατηρήσιμα μεγέθη σε μέγεθος της Κβαντομηχανικής, χρησιμοποιούμε τους τελεστές της Κβαντομηχανικής

Από τις διαμορφώσεις της Κβαντικής θεωρίας οι σπουδαιότερες είναι η Μηχανική των Μητρών του Heisenberg η Κυματομηχανική του Schrodinger και η Συμβολική μέθοδος του Dirac

Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ ΚΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΣΗΜΑΣΙΑ

Η κυματοσυνάρτηση είναι μια από τις κεντρικές έννοιες της κβαντικής μηχανικής . Είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που περιγράφει πλήρως την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος.

Περιγράφεται από εξίσωση κύματος και δίνει τις κυματικές ιδιότητες ηλεκτρονίου σε συνάρτηση με τη θέση, τη μάζα του, την ολική του ενέργεια και την δυναμική του ενέργεια ανάλογη με

την εξίσωση κύματος στην κλασσική μχανική ανάλογη με την γενική εξίσωση κύματος θx(x,t)/θt = - υθy(x,t)/θx

Τα συνηθισμένα γράματα είναι το ψ ή Ψ (psi) και είναι μια συνάρτηση βαθμών ελευθερίας και γι αυτό το πεδίο ορισμού δεν είναι μοναδικό.. Παράδειγμα, μπορεί να θεωρηθθεί συνάρτηση όλων των συντεταγμένων θέσεων σωματιδίων στο χώρο συντεταγμένων θέσης ( ${\vec {r}}=(x,y,z)$

Όταν το σύστημα έχει εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας (π.χ. η συνιστώσα z του σπιν) η κυματοσυνάρτηση για κάθε πιθανή τιμή αυτών των βαθμών ελευθερίας εκχωρεί έναν μιγαδικό αριθμό.

Ψ(r,t) =ψ(r,t) + i φ(r, t)

Έτσι, η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στον στοιχειώδη όγκο dv γύρω από το σημείο r ην χρονική στιγμή t εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Ψ((r,t) που έχει μορφή μιγαδικής εξίσωσης

Ψ(r,t) =Ψ_R(r,t) + iΨ_i(r,t)

Δηλαδή, η συνάρτηση Ψ(r,t) προσδιορίζεται από δύο συναρτήσεις, Ψ_R(r,t) που είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και την iΨ_i(r,t) το φανταστικό μέρος , είναι μια κυματοσυνάρτηση της Κβαντικής Μηχανικής που οι τιμές της είναι θετικές και αρνητικές. Όμως αυτό δεν έχει νόημα όταν δίνουμε τιμές πιθανότητας εύρεσης σωματιδίου σε ορισμένη θέση. .Ετσι,

, προσδιορίζεται η απόλυτη τιμή της που είναι θετική . έχει ιδιαίτερη σημασία και κυρίως το τετράγωνο αυτής |Ψ(r)|² που παίρνει πάντα θετικές τιμές και

το οποίο μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί σωματίδιο που περιγράφει η συνάρτηση σε έναν στοιχειώδη όγκο dV(r) γύρω από τη θέση r

Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΙΘΑΝΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Η συνάρτηση $\Psi \left({\vec {r}},t\right)$ που περιγράφει την κατάσταση ενός συστήματος και εν γένει είναι μιγαδική, δεν δίνει ακριβώς μια καθορισμένη τροχαιά αλλά παρέχει πληροφορίες σχετικά με την πιθανότητα εύρεσης σωματιδίων σε διαφορετικές καταστάσεις.

Μια μιγαδική συνάρτηση

Το τετράγωνο του μέτρου της Ψ ( $\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}$

$P$ (r, t)dV = |Ψ(r, t)|² δV δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο μέσα σε όγκο dV στη δεδομένη χρονική στιγμή

$(για διακριτά φάσματα απλώς πιθανότητα)$

$Αν χωρίσουμε το σύνολο του όγκου σε στοιχειώδεις όγκους dV και σε κάθε σημείο βρούμε την τιμή της Ψ για κάποια χρονική στιγμή πρέπει το άθροισμα των$ |Ψ|²dV να είναι ίσο με τη μονάδα

∑ |Ψ|²dV = 1 Η σχέση αυτή ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης

$Όμως εάν πρόκειται για μιγαδική συνάρτηση το τετράγωγό της είναι μιγαδικός αριθμός και δεν εκφράζει πιθανότητα, αντίθετα από το τετράγωνο του μέτρου γινόμενο της μιγαδικής κυματοσυνάρτησης με την συζυγή της$ ψ∗(x,y,z,t) (καρτεσιανές συντεταγμένες) και

ο συζυγής αριθμός ενός μιγαδικού ax + ibx είναι ax - ibx

$P(x,y,z,t)dV= |$ ψ(x,y,z,t)|² = ψ(x,y,z,t)⋅ψ∗(x,y,z,t) είναι η πιθανότητα να βρεθεί σωματίδιo σε μικρό όγκο dV γύρω από το σημείο r ή (x,y,z) σε καρτεσιανές συντεταγμένες

P(x,y,z,t)dV ή $P$ (r, t)dV

$Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ (ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ) ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ$

$Η αρχή της υπέρθεσης κβαντικών κυματοσυναρτήσεων είναι βασική θεωρία για την κβαντομηχανική αλλά και την κλασσική φυσική των κυμάτων$

Στην κλασσική Φυσική υπάρχουν εξισώσεις που περιγράφουν περιοδικά φαινόμενα όπως η κυματική εξίσωση παλώμενης χορδής

: u₁(x,t) = A₁sin(πx/l) cos.(nαx/l) και για ανώτερες αρμονικές

u_n(x,t) = Ansin(nπx/l) cos.(nnαx/l)n

Ακόμα, για μια πιο πολύπλοκη κίνηση της χορδής, θα παραχθεί σύνθετος ήχος από πολλές αρμονικές (ιδιοσυχνότητες) συγχρόνως . Η συνάρτηση που περιγράφει τότε την κίνηση της χορδής είναι: u(x,t) = Α₁u₁(x,t) + Α₂u₂(x,t) +.. .= Σu_n(x,t

Ανάλογα, στην Κβαντική Μηχανική, κάθε κβαντική κατάσταση μπορεί να περιγραφεί σαν άθροισμα πολλαπλών διακριτών κβαντικών καταστάσεων. Στην εξίσωση Schrodinger εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε διάφορες θέσεις διαφορετικές χρονικές στιγμές. Η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης ως προς τον χρόνο που περιγράφεται από αυτήν την διαφορική εξίσωση είναι ομαλή και συνεχής και στα μαθηματικά λέγεται μοναδιστική.

$Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητές της " κάθε επαλληλία διαφορετικών συναρτήσεων " αποτελεί λύσεις της εξίσωσης Schrodinger που σημαίνει ότι ένα κβαντικό σύστημα που μπορεί να βρίσκεται δικριτά σε δύο διαφορετικές καταστάσεις μπορεί να βρίσκεται και σε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των καταστάσεων.$

Αν σε μια κατάσταση, Ψ₁(x) δίνει αποτέλεσμα 1 και Ψ₂(x) δίνει αποτέλεσμα 2 Κάθε γραμμικός συνδιασμός τους αΨ₁ + βΨ₂ (α ,β σταθερές) περιγράφει μια κατάσταση όπου η ίδια μέτρηση δίνει είτε αποτέλεσμα 1 ή αποτέλεσμα 2

Αν δούμε το θέμα με αντίθετη φορά και ισχύει ότι:

$σύμφωνα με την κβαντική θεωρία ένα τραμπουλόχαρτο που ισορροπει στην κόψη βρίσκεται σε μια υπερθεση δύο καταστάσεων: Της εμπρόστιας όψης και της οπίστιας όψης μπορεί η υπέρθεση αυτή να θεωρηθεί σαν γραμμικός συνδυασμός δύο άλλων κβαντικών καταστάσεων$

$.$

Υποτίθεται ότι η φύση τελείως τυχαία αποφάσισε ποια από τις δύο καταστάσεις θα υπάρξει. Όμως τελικά οι πιθανότητες καθορίζονται από τους συντελεστές των δύο καταστάσεων (και ανάλογα βέβαια με το επιδιοκώμενο αποτέλεσμα!)

Στο πάνω πλαίσιο υποθέτει για ευκολία ότι ο συντελεστής Β=0

Aν θεωρήσουμε τώρα ένα σύστημα αποτελούμενο από δύο μέρη και κάθε μέρος περιγράφεται πλήρως από μια κυματοσυνάρτηση. Τότε και όλο το σύστημα μπορεί να περιγράφεται πλήρως και η κατανομή πιθανότητας στο σύστημα αυτό στο σύνολό του πρέπει να ισούται με το γινόμενο πιθανοτήτων για τα μέρη του. Ψ_1,2(x₁,x₂)= Ψ₁(x₁).Ψ₂(x₂)

Aλλά δεν ισχύει το αντίστροφο κι αν όλο το σύστημα μπορεί να περιγράφεται πλήρως δεν σημαίνει ότι κάθε ένα από τα δύο μέρη του σύστημα μπορεί να περιγράφεται πλήρως

Παράδειγμα της υπέρθεσης κβαντικών καταστάσεων απότελούν οι ενεργειακές καταστάσεις ενός ηλεκτρονίου του ατόμου του υδρογόνου, που μπορεί να βρίσκεται στην θεμελιώδη (1) ή στην διεγερμένη κατάσταση(2). Εκτός όμως από αυτές κάθε κανονικοποιημένος γραμμικός συνδυασμός της θεμελιώδους και της διεγερμένης αποτελεί έγκυρη κβαντική κατάσταση και εδώ πρόκειται για κβαντική υπέρθεση των καταστάσεων αυτών οι οποίες αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Schrodinger. Αυτό το άθροισμα αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης

Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΠΟΙΟΥΔΗΠΟΤΕ ΤΙΜΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ fn ΣΕ ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ

Η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι ένας γραμμικός συνδιασμός συναρτήσεων Ψ1, Ψ2, ...Ψn

¨Όμως αφού ισχύει Ψ = α1Ψ1 +α2Ψ2 + αn Ψn = Σ α_n Ψ_n . ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε, όχι την πιθανότητα να βρεθεί στην Ψn

Εάν θεωρήσουμε μια τιμη n για το μέγεθος fn και την ιδιοσυνάρτηση Ψn . Προφανώς η πιθανότητα να βρεθεί το μέγεθος αυτό στην Ψn είναι μονάδα.

Επίσης να προσδιορίσουμε στις διγραμμικές εκφράσεις των Ψ ή την συζυγή της Ψ* και επίσης ως προς ως τα α_n και α*_n και οι εκφράσεις να είναι θετικές

Γνωρίζουμε ότι, η πυκνότητα πιθανότητας ανίχνευσης ενός συστήματος σε μικρό όγκο dV στο σημείο r είναι :

$P$ (r, t)dV = |Ψ(r, t)|² dV ή για καρτεσιανές συντεταγμένες P(x,y,z,t)dV= |ψ(x,y,z,t)|²

Όταν το σύστημα έχει εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας (π.χ. η συνιστώσα z του σπιν) η κυματοσυνάρτηση για κάθε πιθανή τιμή αυτών των βαθμών ελευθερίας εκχωρεί έναν μιγαδικό αριθμό και η πιθανότητα αυτή γίνεται:.

|ψ(x,y,z,t)|² = ψ(x,y,z,t)⋅ψ∗(x,y,z,t)

Εάν θεωρήσουμε μια τιμη n για το μέγεθος fn και την ιδιοσυνάρτηση Ψn . Προφανώς η πιθανότητα να βρεθεί το μέγεθος αυτό στην Ψn είναι μονάδα και μηδέν αν η Ψn απουσιάζει.

Έτσι αυτό που μπορεί να μας δώσει την πιθανότητα της ύπαρξης της τιμής fn του μεγέθους f στην συνάρτηση είναι το τετράγωνο του μέτρου α_n δηλαδή

|αn|² . Από το σημείο αυτό με μαθηματικούς υπολογισμούς εισάγουμε την έννοια του τελεστή φυσικού μεγέθους σε συνάρτηση ώστε να κάνουμε εφικτή την μετατροπής της σε μιαν άλλη που το κάθε μέγεθος έχει την ανάλογη παρουσία και αξία.

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ SCHRODINGER ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ

Με την Κβαντική Χημεία περιγράφεται την δομή και τις ενεργειακές στάθμες των ατόμων και των μορίων

Οι χημικές ιδιότητες των ουσιών είναι αποτέλεσμα της ηλεκτρονιακής δομής των ατόμων και των μορίων τους

Εδώ αναπτύσεται κυρίως η μέθοδος του Schrodinger επειδή είναι περισσότερο χρησιμοποιούμενη στη Χημεία γιατί με αυτήν μπορεί να υπολογιστεί η ηλεκτρονιακή δομή και τα ηλεκτρόνια που εμπλέκονται από την λύση της εξίσωσης Schrodinger, παρ ότι ακριβής και αναλυτική λύση είναι δυνατή μόνο για συστήματα που μοιάζουν με το υδρογόνο (υδρογονοειδή).

Ένα απλοποιημένο μοντέλο που χρησιμοποιείται είναι το τροχιακό που χρησιμοποιεί απλούς κανόνες δομής όπως κανόνας του Hund (ελαχίστης ενέργειας) ή κανόνας της οκτάδας ή του ευγενούς αερίου (χημική σταθερότητα) ή και η διαμόρφωση του Περιοδικού πίνακα μπορεί να αιτιολογηθεί με την κβαντομηχανική.

Για πιο πολύπλοκα συστήματα αναπτύσσονται κάποιες προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης όπως η μέθοδος γραμμικών συνδυασμών LKAO ή μέθοδος δεσμού σθένους VS. Με γραμμικό συνδυασμό πολλών ατομικών τροχιακών υπολογίζονται τα μοριακά τροχιακά όπου ο υπολογισμός της δομής τους ανάγεται επίσης σε προσεγγιστική λύση της εξίσωσης όπου οι υπολογισμοί είναι πλέον ιδιαίτερα πολύπλοκοι και αποτελούν αντικείμενο της Μοριακής Φυσικής

ΠΩΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΚΥΜΑΤΟΣ - ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

H εξίσωση Schrodinger είναι πιο περίπλοκη από τις εξισώσεις Hamilton οι οποίες είναι συστήματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Η εξίσωση Schrodinger είναι μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση . Αυτό σημαίνει ότι εάν το κύμα αποτελείται από τις συναρτήσεις Φ και Ψ που ικανοποιούν την εξίσωση Schrodinger,*

Είναι μια μιγαδική συνάρτηση και εξαρτάται από τις συντεταγμένες και τον χρόνο.

Μπορεί να γραφεί σαν άθποισμα του ψ(r,t) που είναι το πραγματικό μέρος και το iφ(r,t) είναι το φανταστικό μέρος

* Εάν οι συναρτήσεις Φ και Ψ ικανοποιούν την εξίσωση Schrodinger, τότε ικανοποιείται και από οποιονδήποτε συνδυασμό όπως αΨ + βΦ όπου α και β είναι μιγαδικοί αριθμοί. Έτσι δεν παραβιάζεται η γραμμική υπέρθεση των κυματοσυναρτήσεων και ορίζουν ένα χώρο Hilbert στον οποίο επιτρέπεται για δύο στοιχεία του χώρου x, y να ορίζουν το (x,y) κι αυτό να ορίζεται με κουκκίδες.

Χρησιμοποιείται στην θεμελιώδη πιθανολογική ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής που συσχετίζει τις πιθανότητες μεταβάσεων με το γινόμενο των κουκκίδων

Στον χώρο Hilbert ισχύουν κανόνες όπως:

Ννόμος μετατόπισης . $(y,x)=(x,y)$

Διανεμητικό δίκαιο $(x_{1}+x_{2},y)=(x_{1},y)+(x_{2},y)$

$(\λάμδα x,y)=\λάμδα (x,y)$ για οποιονδήποτε αριθμό λ

Το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο αυτό είναι ένα μέτρο επικάλυψης μεταξύ των αντίστοιχων φυσικών καταστάσεων και χρησιμοποιείται στην πιθανολογική ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής.

Η εξίσωση Schrodinger ορίζει πως εξελίσσονται οι κυματοσυναρτήσεις με την πάροδο του χρόνου και συμπεριφέρεται ποιοτικά όπως για κύματα χώρου ή κύματα επιφανείας ή γραμμικά (σαν εξίσωση κύματος αλλάζει διαστάσεις) . Αυτό εξηγεί το όνομα κυματοσυνάρτηση και οδηγεί στην διαδικότητα κύματος- σωματιδίου.

Για όλα τα κβαντικά συστήματα που καταλαμβάνουν οριοθερημένες περιοχές του χώρου,

λύσεις στην εξίσωση Schrondinger υπάρχουν μόνο για ένα μετρήσιμο σύννολο τινών της Ενέργειάς τους και είναι ένα μετρήσιμο σύνολο κυματοσυναρτήσεων Ψn που τα μέλη τους αριθμούνται με ένα σύνολο κβαντικών αριθμών n .

H κανονική κατάσταση είναι αυτή με την χαμηλότερη ενέργεια αλλά δεν είναι μηδέν

Ένα φυσιολογικό επίπεδο ενέργειας δεν μπορεί να εκφυλιστεί

Για περιπτώσεις μονοδιάστατης κίνησης σύμφωνα με το θεώρημα της ταλάντωσης αυτό δεν ισχύει και έχουμε ενεργειακό εκφυλισμό.

Η κυματασυνάρτηση Ψn δίνει ένα διακριτό φάσμα που αντιστοιχεί στο (n+1)στο μέγεθος από το μέγεθος της ιδιοτιμής Εn που μετατρέπεται σε μηδέν με (πεπερασμένες τιμές της συντεταγμένης x) n φορές

Η εξίσωση Schrondinger είναι συμμετρική και στις δύο κατευθύνσεις του χρόνου. Όταν αλλάζει το πρόσημο του χρόνου ταυτόχρονα η κυματοσυνάρτηση Ψ αντικαθίσταται από ένα σύνθετο συζυγές Ψ*

ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

Θα πρέπει να βρεθεί τώρα, μια αντίστοιχη κυματική εξίσωση που να περιγράφει την κίνηση σωματιδίου εάν υποθέσουμε ότι μπορεί να συμπεριφερθεί σαν κύμα

Αυτή έχει λύση μια συνάρτηση (κάτω) αντίστοιχης μορφής με την ηλεκτρομαγνητική $\Psi (\mathbf {r} ,t)=ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }+be^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }\ ,$

p = ορμή, E=Ενέργεια, a, b= πλάτη ταλαντωσης r=άνυσμα θέσης

Με την χρήση μαθηματικών (1η παράγώγιση ως προς την θέση και 2η παραγώγιση ως προς χρόνο) καταλήγουμε στην ${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),$

Οι εξισώσεις Schrodinger που βρίσκουν εφαρμογή σε σωματίδια των οποίων ο αριθμός πρέπει να παραμένει σταθερός Δεν πρέπει να κινούνται με πολύ υψηλές ταχύτητες. Να είναι σωματίδια όχι φωτόνια

Συσχετίζουν την κυματική και σωματιδιακή συμπεριφορά και ανοίγουν τον δρόμο για την κβαντομηχανική

Με αυτές τις εξισώσεις, υπολογίζεται η Ενέργεια του ηλεκτρονίου ενός ατόμου, και η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου αυτού σε ορισμένο χώρο

Συστήματα συντεταγμένων των κυματοσυναρτήσεων της κίνησης σε εξισώσεις Στροντιγκερ

(Η Κινητική Ενέργεια μπορεί να αποδοθεί σε καρτεσιανές ή σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες χρησιμοποιείται το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση

Σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες r, t ) χρησιμοποιείται η απόσταση r (r=|r|),η γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z καιη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy. )

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Φυσικοχημεία. Βασική θεώρηση Νικόλαος Κατσάνος

Θεωρητική Φυσική ΙΙΙ Κβαντική Μηχανική. Λεβ Λανταου Ευγκενι Λιφσιτς

Κυματοσυνάρτηση - Βικιπαίδεια

Κβαντομηχανική - Βικιπαίδεια

https://ylikonet.gr/2025/03/30/%CE%BA%CF%85%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7-%CF%88

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%B2%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%85%CF%80%CE%AD%CF%81%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7

ακατεργαστο

Η εξίσωση Schrödinger και η σημασία της - εξηγείται με κατανοητό τρόπο

Αρχικά υποθέτουμε μια μονοδιάστατη κυματοσυνάρτηση χωρίς εξωτερικό δυναμικό, η οποία είναι ανάλογη με την κλασική κυματική εξίσωση:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {x}{\lambda}-\dfrac {t}{T}\right) \right]$

ή με άλλα λόγια:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {2\pi}{\lambda}\cdot x - \dfrac {2\pi}{T}\cdot t \right)$

Σε αυτό, αντικαθιστούμε: $\dfrac {2\pi}{T}=\omega$ (κυκλική συχνότητα) και $\dfrac {2\pi}{\lambda}=k$ (αριθμός κύματος)

Για λόγους απλότητας, ας ορίσουμε το πλάτος σε: $\psi_{0}=1$ . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα:

$\psi(x,t)=sin\left(kx-\omega t\right)$

Όπως έχουμε ήδη δείξει (βασικά βλ. παραπάνω, ενότητες 3. / 4.), αυτή η κυματοσυνάρτηση μπορεί εναλλακτικά να γραφτεί ως μιγαδική e-συνάρτηση:

$\psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$

Οι ποσότητες $k$ (αριθμός κύματος) και $\ωμέγα$ (κυκλική συχνότητα) που εμφανίζονται σε αυτή τη συνάρτηση πρέπει τώρα να εκφράζονται με τη βοήθεια των ποσοτήτων ορμής και ενέργειας, αντίστοιχα. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τις ακόλουθες σχέσεις:

1) $\λάμδα=\dfrac {h}{p}$ ή $p=\DFRAC {h}{\λάμδα}$ (DeBroglie)

Με $\dfrac {2\pi}{\lambda}=k$ ή $\lambda=\dfrac {2\pi}{k}$ αποτελέσματα για την ορμή

$p=\dfrac {h}{2\pi}\cdot k=\hbar k$ και έτσι για τον αριθμό κύματος

$k=\DFRAC {p}{\hbar}$ (1)

2) $Ε=hf$ (Πλανκ)

Με $\omega=\dfrac {2\pi}{T}=2\pi f$ και συνεπώς $f=\DFRAC {\ωμέγα}{2\pi}$ αποτελέσματα για την ενεργειακή

$E=\dfrac {h}{2\pi}\cdot \omega=\hbar \omega$ και, επομένως, για την κυκλική συχνότητα

$\omega=\dfrac {E}{\hbar}$ (2)

Εισάγουμε τώρα τις εναλλακτικές εκφράσεις (1) και (2) στην κυματοσυνάρτηση και έτσι λαμβάνουμε

$\large {\psi(x,t)=e^{i\left(\frac {p}{\hbar}x-\frac {E}{\hbar}t\right)}=e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}}$

Επαφή