Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 3ο μέρος. Εξίσωση Scrondinger. Χρονοεξαρτώμενη και μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Scrondinger. Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες κίνησης σωματιδίου. Παραδείγματα: Ελεύθερα κινούμενο σωματίδιο. Απλός Αρμονικός τ

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 3ο μέρος. Εξίσωση Scrondinger. Χρονοεξαρτώμενη και μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Scrondinger. Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες κίνησης σωματιδίου. Παραδείγματα: Ελεύθερα κινούμενο σωματίδιο. Απλός Αρμονικός τ

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

ΧΡΟΝΟΕΞΑΡΤΩΜΕΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER

Kατά την άποψη του Scrodinger η Χαμιλτονιανή είναι "γενήτρια " χρονικής εξέλιξης

ώστε εφαρμόζοντας την παρακολουθούμε την εξέλιξη του συστήματος στον χρόνο.

Η κατάσταση του συστήματος εξελίσεται σύμφωνα με την εξίσωση και δίνεται από

${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),$ ή για σωματιδιακές καταστάσεις

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)\ ,$ ή

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).$

και η εξάρτηση από τον χρόνο αφορά το σκέλος της την δυναμική της ενέργεια

AΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER

Η ολική Ενέργεια -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις ανεξάρτητη από τον χρόνο (δηλαδή είναι ανεξάρτητο το δυναμικό από τον χρόνο)

Στη στατική εξίσωση Schrodinger ο χρόνος εισέρχεται στην εξίσωση μόνο μέσω της πρώτης παραγώγου στην δεξιά πλευρά

Σε περίπτωση που V ανεξάρτητο χρόνουη η εξίσωση Schrodinger και Κυματοσυνάρτηση είναι $\widehat{H}\psi=E\psi$ ή

και οι λύσεις είναι συναρτήσεις ψ ανεξάρτητες χρόνου

Στην περίπτωση αυτή, η Hamiltonian σε τρεις διαστάσεις γίνεται:

: ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$ και η εξ'ισωση Schrodinger

ενώ σε σφαιρικές συντεταγμένες

{\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

Συστήματα συντεταγμένων των κυματοσυναρτήσεων της κίνησης σε εξισώσεις Στροντιγκερ

(Η Κινητική Ενέργεια μπορεί να αποδοθεί σε καρτεσιανές ή σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες χρησιμοποιείται το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση

Σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες r, t ) χρησιμοποιείται η απόσταση r (r=|r|),η γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z καιη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy. )

nΔΙΑΣΤΑΤΟΣ - ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

ΤΟ ΑΝΑΔΕΛΤΑ ∇

Εάν η $\Psi \left({\vec {r}},t\right)$ κυματοσυνάρτηση δίνεται για έναν n-διάστατο χώρο και κάθε σημείο ${\vec {r}}({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},\ldots ,{x}_{n})$ σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t

το ανάδελτα Δ δίνει στην εξίσωση Schrodinger ( $-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\Psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ({\vec {r}},t),\qquad (1)$

Τα ανάδελτα ∇ (γενικά) είναι ένας διανυσματικός διαφορικός τελεστής των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

αντικαθίσταται από τον τελεστή αναδέλτα στο τετράγωνο

$\Delta \equiv {\nabla }^{\,2}\!={{\partial }^{2} \over \partial {x}_{1}^{2}}+{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{2}^{2}}+{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{3}^{2}}+\ldots +{{\partial }^{2} \over \partial {x}_{n}^{2}}.$

Αν η κυματοσυνάρτηση είανι σε χώρο τριών συντεταγμένων δηλαδή η ΔΨ στο καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένων, τότε, αντικαθίσταται από την

$\Delta \Psi ={{\μερικό }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}},$

και το ανάδελτα (τελεστής Laplace) για 3 διαστάσεις ο οποίος δρα μόνο στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτηση είναι

και η εξίσωση Schrodinger θα πάρει την μορφή

$-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi =i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},$

Εάν εφαρμόσουμε τον αναδέλτα για να έχουμε τον τελεστή Hamilton σε καρτεσιανές x, y, z, παίρνουμε τον

τελεστής Laplace είναι το ανάδελτα όταν πρόκειται για συνάρτηση 3 διαστάσεων του χώρου x, y, z.

Η Κινητική Ενέργεια και η ορμή στην κλασσική φυσική δεν είναι κβαντισμένεςστην

και στις 3 διαστάσεις στο γίνεται ${\hat {\mathbf {p} }}=-\mathrm {i} \hbar \nabla$

έτσι,

Η Κινητική Ενέργεια στην Κβαντομηχανική, για ένα σωματίδιο m, στις 3 διαστάσεις γίνεται

${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$

Η hamiltonian (για τρεις διαστάσεις γίνεται ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$

Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ -ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

θεωρούμε 'οτι το κέντρο μάζας του ατόμου ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του πυρήνα ( γιατί η μάζα του είναι πολύ μεγαλύτερη) τον οποίο θεωρούμε ακίνητο σχετικά με το ηλεκτρόνιο, χάριν ευκολίας.

Η θέση του ηλεκτρονίου (το άνυσμα θέσης) καθορίζεται από την απόσταση r (r=|r|) και από την γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z και από τη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy. Η σχέση x,y,z (καρτεσιανές) και r,θ,φ (πολικές) είναι:

H στάσιμη εξίσωση Schrodinger σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι

η λύση της γράφεται σαν το γινόμενο ακτινικής με γωνιακές συναρτήσεις

Ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ),

οι ακτινική και οι γωνιακές συναρτήσεις που το γινόμενό τους δίνει την στάσιμη Schrodinger πολικές συντςταγμένες είναι:

Ο για την γωνιακή είναι:

ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER

Ας εξετάσουμε τα απλούστερα παραδείγματα επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger για στάσιμες καταστάσεις που σχετίζονται άμεσα με χημικά προβλήματα. Η φύση των ληφθέντων λύσεων της εξίσωσης επηρεάζεται σημαντικά από τις οριακές συνθήκες των προβλημάτων. Συγκεκριμένα, καθορίζουν εάν το φάσμα ιδιοτιμών της Χαμιλτονιανής θα είναι διακριτό ή συνεχές.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRÖDINGER ΓΙΑ ΤΑ ΠΙΟ ΑΠΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, Μονοδιάστατο μοντέλο ενός ελεύθερου σωματιδίου - ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

Η κυματοσυνάρτηση Ψ(x,y,z,t) είναι λύση της εξίσωσης

Αν και σε ρεαλιστικά προβλήματα η εξίσωση Schrodinger δεν επιλύεται ακριβώς, υπάρχουν ορισμένα προβλήματα που επιλύονται με τη χρησιμοποιησή της, κυρίως αυτά που μελετώνται με τη βοήθεια της κβαντομηχανικής όπως:

Το ελεύθερο σωματίδιο

Το απειρόβαθο πηγάδι

Το σωματίδιο σε δακτύλιο

Το δυναμικό δέλτα

Το σκαλοπάτι δυναμικού

Ο αρμονικός ταλαντωτής

Το άτομο του υδρογόνου

Η μη χρονικά εξαρτημένη εξίσωση Schrodinger βρίσκει εφαρμογή σε πολλές περιπτώσεις κίνησης σωματιδίων όπως για παράδειγμα τo ελεύθερο σωματίδιο και ο αρμονικός ταλαντωτής :

ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΩΜΑΤΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Ένα ελεύθερο σωματίδιο είναι ένα σωματίη που η δυναμική του ενέργεια είναι σταθερή σε όλα τα σημεία του χώρου

Για ευκολία συνήθως, ορίζουμε σαν ένα ελεύθερο σωμάτιο που κινείται σε μια ενιαία χωρική διάσταση και χώρο ελεύθερο πεδίων αρα η Δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν,

Στην κλασσική Φυσική η κινητική ενέργεια του σωματιδίου αυτού (Eκιν=1/2mu_x²) και η ορμή του (p_x=mu_x) και η σχέση ενέργειας- ορμής Εκιν=p_x²/2m

Η εξίσωση Schrodinger είναι μη χρονοεξαρτώμενη

{\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

δηλαδή η Χαμιλτονιανή αποτελείται μόνο από την κινητική του ενέργεια και η με Μηδενική Δυναμική Ενέργεια

και επειδή είναι μη χρονοεξαρτώμενη η μερική παράγωγος ως προς τον χρόνο είναι σταθερή

Η εξίσωση Schrodinger για ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση δίνει χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και:

η οποία μπορεί να γραφεί και σαν $\psi''(x) + \dfrac {8 \pi^{2}m}{h^{2}}\, E\, \psi(x)=0$

που Ψ_Ε(x) είναι οι μερικές λύσεις δίνονται για την κυματοσυνάρτηση ψ(x)

που γράφεται και αναλυτικά κάτω .Oι C1 και C2 είναι αυθαίρετες σταθερές

και η γενική λύση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δύο κυμάτων με αντίθετες ορμές διαφορετικών κατευθύνσεων

Ας περιοριστούμε στην εξέταση ενός κύματος που τρέχει προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x:

όμως λόγω της συνθήκης κανονικοποίησης που εδώ πρόκειται για μιγαδική συνάρτηση

και παίρνει την μορφή αυτή

που όμως το ολοκλήρωμα αποκλίνει,

ώστε η ψ(x) πρέπει να τροποποιηθεί

και να οριστεί η σταθερά L που είναι η διάρκεια της περιοδικότητας. Η τιμή του L μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα μεγάλη

έτσι γίνεται

akatergasto

Από τη συνθήκη περιοδικότητας, kL=2πn βρίσκουμε όπου n = 0, ±1, ±2,...; k=2πn/L

Τώρα, χάρη στην αντικατάσταση που χρησιμοποιείται k1 = 2δηλαδή η έκφραση για την ενέργεια του σωματιδίου και η κυματοσυνάρτηση του αποκτούν μια πιο συγκεκριμένη μορφή

Η συνθήκη περιοδικότητας καθιστά το ενεργειακό φάσμα ενός σωματιδίου διακριτό, αλλά στο /,—><>o το φάσμα είναι συνεχές.

AΠΛΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

Το μοντέλο της κίνησης του απλού ταλαντωτή χρσηιμοποιείται στη Χημεία για να περιγράψει τις δονήσεις των ατόμων στα μόρια,

Η κίνηση ενός σωματιδίου που η δυναμική του ενέργεια είναι ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης από τη θέση ισορροπίας

$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},$ $\omega ^{2}={\frac {k}{m}},$ το k είναι μια σταθερά ακαμψίας , το x η παραμόρφωση.

και ανεξάρτητη χρόνου περιγράφεται στην κβαντομηχανική από την μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger

Η εξίσωση Schrodinger που είναι μη χρονοεξαρτώμενη

{\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

Ο τελεστης Hamilton, σε μία διάσταση

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}

Οι συναρτήσεις- λύσεις , δηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή είναι οι συναρτήσεις Hermite

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}{\sqrt {\pi }}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\ \ \ n=0,1,2,...

Αυτή εξαπλουστεύεται

Κανονικοποιημένες λύσεις αυτής της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δίνονται από ιδιοτιμές της ενέργειας Εn

Όπως προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης Schrodinger το ενεργειακό φάσμα του Κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι διακριτό

Oi ενεργειακές στάθμες ισαπέχουν κατά ħω μεταξύ τους και οι ιδιοτιμές δίνονται από

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\ \ \ n=0,1,2,...

En = ωο(n+1/2) n=1, 2, 3,...

Στο σχήμα έχουμε 8 από τις συναρτήσεις

Η μπλε καμπύλη μέσα την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί σωματίδιο στην συγκεκτιμένη θέση

Ενδεικτικά μεταφέρω πίνακα Ιδιοσυναρτήσεων που περιέχει επίσης και τον αριθμό των κόμβων που είναι τα σημεία που μηδενίζεται η γωνιακή συνάρτηση

Κβαντικός αριθμός n	Ιδιοσυνάρτηση ψ_n (ħ=m=ω=1)	Ιδιοτιμή E_n
0	$\psi _{0}(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}$	$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$
1	$\psi _{1}(x)={\sqrt[{4}]{\frac {4}{\pi }}}\,xe^{-x^{2}/2}$	$E_{1}={\frac {3}{2}}\hbar \omega$
2	$\psi _{2}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{2}-1)e^{-x^{2}/2}$	$E_{2}={\frac {5}{2}}\hbar \omega$
3	$\psi _{3}(x)={\frac {1}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{3}-3x)e^{-x^{2}/2}$	$E_{3}={\frac {7}{2}}\hbar \omega$
4	$\psi _{4}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(4x^{4}-12x^{2}+3)e^{-x^{2}/2}$	$E_{4}={\frac {9}{2}}\hbar \omega$

Ο τελεστης Hamilton, σε μία διάσταση

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}

και η εξίσωση Schrodinger

Oi ενεργειακές στάθμες ισαπέχουν κατά ħω μεταξύ τους και οι ιδιοτιμές δίνονται από

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\ \ \ n=0,1,2,...

En = ωο(n+1/2) n=1, 2, 3,...

Σε τρεις διαστάσεις που ο τελεστής Χάμιλτον είναι

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

Διαβάστε περισσότερα: https://dimitra-spanoy.webnode.gr/products/kvantiki-chimeia-2o-meros-kvantikoi-telestes-telestis-hamilton-ta-anadelta-%e2%88%87-exisosi-scrondinger-exisosi-schrodinger-gia-to-ilektronio/

PHGES

Φυσικοχημεία Βασική θεώρηση Ν, Α. Κατσάνου

Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

Μονοδιάστατη στάσιμη εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

Αρμονικός ταλαντωτής (κβαντομηχανική) - Βικιπαίδεια

Κβαντικός αριθμός n	Ιδιοσυνάρτηση ψ_n (ħ=m=ω=1)	Ιδιοτιμή E_n	Αριθμός κόμβων	Ισοτιμία
0	$\psi _{0}(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}$	$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$	0	+1
1	$\psi _{1}(x)={\sqrt[{4}]{\frac {4}{\pi }}}\,xe^{-x^{2}/2}$	$E_{1}={\frac {3}{2}}\hbar \omega$	1	-1
2	$\psi _{2}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{2}-1)e^{-x^{2}/2}$	$E_{2}={\frac {5}{2}}\hbar \omega$	2	+1
3	$\psi _{3}(x)={\frac {1}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{3}-3x)e^{-x^{2}/2}$	$E_{3}={\frac {7}{2}}\hbar \omega$	3	-1
4	$\psi _{4}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(4x^{4}-12x^{2}+3)e^{-x^{2}/2}$	$E_{4}={\frac {9}{2}}\hbar \omega$	4	+1

Επαφή