Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 3ο μέρος.. Εξίσωση Scrondinger. Χρονοεξαρτώμενη και μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Scrondinger με ορισμένες εφαρμογές της. Εξίσωση Schrodinger για το ηλεκτρόνιο

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 3ο μέρος.. Εξίσωση Scrondinger. Χρονοεξαρτώμενη και μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Scrondinger με ορισμένες εφαρμογές της. Εξίσωση Schrodinger για το ηλεκτρόνιο

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Εξαρτημένη από τον χρόνο γενική εξίσωση Scrodinger

Η ολική Ενέργεια -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις χρονοεξαρτώμενη λόγω της εξάρτησης του δυναμικού από τον χρόνο (σε όποιες περιπτώσεις συμβαίνει) .

Kατά την άποψη του Scrodinger η Χαμιλτονιανή είναι "γενήτρια " χρονικής εξέλιξης

ώστε εφαρμόζοντας την παρακολουθούμε την εξέλιξη του συστήματος στον χρόνο.

Η κατάσταση του συστήματος εξελίσεται σύμφωνα με την εξίσωση και δίνεται από

${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),$

'η

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)\ ,$

Η σωματιδιακή εξίσωση Schrondinger στην κοινή της μορφή, είναι γνωστή σαν:

και η εξάρτηση από τον χρόνο είναι μόνο την δυναμική της ενέργεια

Μη εξαρτημένη από τον χρόνο γενική εξίσωση Scrodinger

Η ολική Ενέργεια -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις ανεξάρτητη από τον χρόνο (ανεξάρτητο το δυναμικό από τον χρόνο)

Στην περίπτωση αυτή, η Hamiltonian σε τρεις διαστάσεις γίνεται:

: ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$

Για ένα σωματίδιο, στην απλή της μορφή η εξίσωση Schrodinger είναι

{\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

η κυματοσυνάρτηση ψ (x, y, z) στην hamiltonian μορφή του

η ολική ενέργεια (κινητική + δυναμική)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).$ και $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)\ ,$

Η μη χρονικά εξαρτημένη εξίσωση Schrodinger βρίσκει εφαρμογή σε πολλές περιπτώσεις κίνησης σωματιδίων όπως για παράδειγμα:

1. Για απλό αρμονικό ταλαντωτή

V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},

\omega ^{2}={\frac {k}{m}},

Η ενέργεια είναι κβαντισμένη και παίρνει διακεκριμένες τιμές

E_n = ω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2, )

Ο τελεστης Hamilton, σε μία διάσταση

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}

και η εξίσωση Schrodinger

Oi ενεργειακές στάθμες ισαπέχουν κατά

ħω μεταξύ τους και οι ιδιοτιμές δίνονται από

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\ \ \ n=0,1,2,...

En = ωο(n+1/2) n=1, 2, 3,...

2. Για ελεύθερο σωματίδιο που κινείται σε μια ενιαία χωρική διάσταση και χώρο ελεύθερο πεδίων

δηλαδή η Χαμιλτονιανή αποτελείται μόνο από την κινητική του ενέργεια και η με Μηδενική Δυναμική Ενέργεια

σε τρεις διαστάσεις που ο τελεστής Χάμιλτον είναι

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

Η εξίσωση Schrodinger για ελεύθερο σωματίδιο:

παίρνει τη μορφή :

{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\,,

και επειδή είναι μη χρονοεξαρτώμενη η μερική παράγωγος ως προς τον χρόνο είναι σταθερή

d²Ψ/dx² + k²Ψ =0

Kai η Ενέργεια είναι κβαντισμένη: Οι τιμές του k είναι διακριτές k=2mE/h²

3. Σωματίδιο μέσα σε κιβώτιο

Στο κιβώτιο κάνει μονοδιάστατη κίνηση

με Δυναμικό

V(x) =0 στο διάστημα κίνησης σωματιδίου 0

V(x) =i άπειρο eξω από το κιβώτιo

H Eνέργεια κβαντισμένη, παίρνει διακριτές τιμές $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}\,.$

n= 1, 2, 3,...-1, -2, -3...

4. Σωματίδιο σε ένα τρισδιάστατο κιβώτιο

Όπως στο kιβώτιο αλλά 3 διαστάσεις όπουV=0 για 0,x

H Eνέργεια κβαντισμένη, παίρνει διακριτές τιμές. Αν : Ex=n²h²/8ma² . Ey=n²h²/8mb² . Ez=n²h²/8mc² .

Eολ= Ex +Ey +Ez =h²/8ma² ( n_x²/a2 +n_y²/b² +n_z²/c²) nx, ny, nz παίρνουν τιμές 1, 2, 3...

στο τρισδιάστατο κιβώτιο υπάρχουν εκφυλισμένες στάθμες ενέργειας.

nx=2 ny =nz=1

nx=nz=1 ny=2

nx=ny=1 nz=2 κ.λ.π.

αλλά έχουν όλες την ίδια ενέργεια αν το κουτί είναι κυβικό a=b=c

και η εξίσωση Scrodinger είναι:

$— \frac{ħ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V (r) ψ = E ψ$

5. Περιστρεφόμενος αλτήρας

Χρησιμοποιείται για περιστρεφόμενα διατομικά μόρια και η κινητική ενέργεια πρέπει να αποδοθεί σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες

Στον περιστρεφόμενο αλτήρα, η περιστροφή του διατομικού μορίου ισοδυναμεί με μάζες ατόμων m1 και m2 iισοδυναμεί με την περιστροφή μιας μόνο μάζας μ περί το κέντρο μάζας του μορίου

μ=m₁m₂/(m₁+m₂)

H ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟ

Η εξίσωση Schrodinger περιγράφει την εξέλιξη (χωρική, χρονική) της κβαντικής κατάστασης ενός συστήματος και για την σύγχρονη φυσική, έχει ανάλογη σημασία του 2ου νόμυ του Νεύτωνα στην Κλασσική Μηχανική

Η εξίσωση του E. Schrodinger στηρίζεται στην κυματοσυνάρτηση Ψ προκύπτει από την υπόθεση de Broglie για στάσιμα κύματα .

Περιγράφει την κίνηση του ηλεκτρόνιου με την εφαρμογή των συνθηκών σωματιδίου μέσα σε κλωβό, δηλαδή σε χώρο που χρειάζεται άπειρη ενέργεια για να διαφύγει . Λαμβάνεται υπ όψη η κυματική φύση και εισάγωνται ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς συναρτήσεις

Περιγράφει την εξάρτηση των κβαντομηχανικών συστημάτων από τον χώρο και από τον χρόνο και παίζει κεντρικό ρόλο στην κβαντομηχανική θεωρία, ανάλογο με τον νόμο του Νεύτωνα στην κλασσική μηχανική.

Η θεωρία της κυματοειδούς φύσης των ηλεκτρονίων του Schrodinger που δίνουν την χωρική κατανομή του φορτίου του ηλεκτρονίου που θεωρείται σαν στατικό ηλεκτρικό κύμα και γι αυτόν τον λόγο χρησιμοποιείται η στατική της μορφή

Στην κυματοειδή εξίσωση του Schrodinger, το σωματίδιο

περιγράφεται από εξίσωση κύματος και δίνει τις κυματικές ιδιότητες ηλεκτρονίου σε συνάρτηση με τη θέση, τη μάζα του, την ολική του ενέργεια και την δυναμική του ενέργεια ανάλογη με την εξίσωση κύματος στην κλασσική μχανική ανάλογη με την γενική εξίσωση κύματος θx(x,t)/θt = - υθy(x,t)/θx

To ηλεκτρόνιο για τον E. Schrodinger δεν αποτελεί ένα σωματίδιο, αλλά, ένα ηλεκτρικά φορτισμένο νέφος.

Υποθέτουμε ότι, ο Scrodinger κατέληξε στην εξίσωση αυτή αφού πήρε υπ όψην του την θεωρία των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και υπολόγισε την ηλεκτρική συνιστώσα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (1) και λαμβάνοντας υπ όψη την θεωρία του de Broglie ως προς τον κυματοωματιδιακό διϊσμό, και τις εξισώσεις των στάσιμων κυμάτων, καταλήγει στην κυματική εξίσωση (2) που είναι η

Κυματική εξίσωση για το ηλεκτρομαγνητικό κύμα

$\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E}$

Κυματική εξίσωση για κίνηση σωματιδίου

Θα πρέπει να βρεθεί τώρα, μια αντίστοιχη κυματική εξίσωση που να περιγράφει την κίνηση σωματιδίου εάν υποθέσουμε ότι μπορεί να συμπεριφερθεί σαν κύμα και να έχει λύση μια συνάρτηση (κάτω) αντίστοιχης μορφής με την ηλεκτρομαγνητική $\Psi (\mathbf {r} ,t)=ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }+be^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }\ ,$

p = ορμή, E=Ενέργεια, a, b= πλάτη ταλαντωσης r=άνυσμα θέσης

Με την χρήση μαθηματικών (1η παράγώγιση ως προς την θέση και 2η παραγώγιση ως προς χρόνο) καταλήγουμε στην ${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),$

Οι εξισώσεις Schrodinger που βρίσκουν εφαρμογή σε σωματίδια των οποίων ο αριθμός πρέπει να παραμένει σταθερός Δεν πρέπει να κινούνται με πολύ υψηλές ταχύτητες. Να είναι σωματίδια όχι φωτόνια

Συσχετίζουν την κυματική και σωματιδιακή συμπεριφορά και ανοίγουν τον δρόμο για την κβαντομηχανική

Με αυτές τις εξισώσεις, υπολογίζεται η Ενέργεια του ηλεκτρονίου ενός ατόμου, και η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου αυτού σε ορισμένο χώρο

PHGES

Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 3ο μέρος.. Εξίσωση Scrondinger. Χρονοεξαρτώμενη και μη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Scrondinger με ορισμένες εφαρμογές της. Εξίσωση Schrodinger για το ηλεκτρόνιο

Επαφή