Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 4ο μέρος. Η κυματοσυνάρτηση Ψ στην Κβαντική Μηχανική. Η αρχή της Υπέρθεσης στην κλασσική και την κβαντική φυσική Η επίλυση της εξίσωσης Scrondinger ως εξίσωσης ιδιοτιμών Συνθήκη Κανονικοποίηση και κβάντωση μεγεθών

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 4ο μέρος. Η κυματοσυνάρτηση Ψ στην Κβαντική Μηχανική. Η αρχή της Υπέρθεσης στην κλασσική και την κβαντική φυσική Η επίλυση της εξίσωσης Scrondinger ως εξίσωσης ιδιοτιμών Συνθήκη Κανονικοποίηση και κβάντωση μεγεθών

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Η θεωρία της κυματοειδούς φύσης των ηλεκτρονίων του Schrodinger που δίνουν την χωρική κατανομή του φορτίου του ηλεκτρονίου που θεωρείται σαν στατικό ηλεκτρικό κύμα και γι αυτόν τον λόγο χρησιμοποιείται η στατική της μορφή)

αλλά και η στατιστκή ερμηνεία του Max Born που δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο - σωματίδιο σε διάφορα σημεία του χώρου στον οποίο κινείται,

δίνουν μια νέα εικόνα για την δομή του ατόμου αυτήν των ατομικών τροχιακών

Η θεωρία των ατομικών και μοριακών τροχιακών πρότεινε Robert Sanderson Mulliken, το 1932

ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ ΣTHN ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER

Η Κυματοσυνάρτηση Ψ είναι συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση Schrodinger της κβαντικής μηχανικής και ουσιαστικά είναι εξίσωση κύματος.

Περιέχει πληροφορία για την κίνηση ενός σωματίου στον χώρο βάσει της θεωρίας του de Broglie για τον κυματοσωματιδιακό διϊσμό, όπου το μήκος κύματος του κύματος-σωματιδίου είναι . και

Σύμφωνα με την στατιστική ερμηνεία του Max Born η συνάρτηση αυτή (παρ ότι δεν έχει πραγματικά φυσικό περιεχόμενο) δίνει την πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου σε έναν στοιχειώδη όγκο

Όταν το σύστημα έχει εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας (π.χ. η συνιστώσα z του σπιν) η κυματοσυνάρτηση για κάθε πιθανή τιμή αυτών των βαθμών ελευθερίας εκχωρεί έναν μιγαδικό αριθμό και αυτή γίνεται: Ψ(r,t) =Ψ_R(r,t) + iΨ_i(r,t)

, Ψ_R(r,t) =πραγματικό μέρος iΨ_i(r,t)= το φανταστικό μέρος

Έτσι, η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στον στοιχειώδη όγκο dv γύρω από το σημείο r ην χρονική στιγμή t εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Ψ((r,t) που έχει μορφή μιγαδικής εξίσωσης

Ψ(r,t) =Ψ_R(r,t) + iΨ_i(r,t) με τιμές της είναι θετικές και αρνητικές.(όχι φυσική σημασία όμως

το τετράγωνο αυτής |Ψ(r)|² που παίρνει πάντα θετικές τιμές και

μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί σωματίδιο που περιγράφει η συνάρτηση σε έναν στοιχειώδη όγκο dV(r) γύρω από τη θέση r

Σημείωση:Αντίστοιχα στην κλασσική Φυσική υπάρχουν εξισώσεις που περιγράφουν περιοδικά φαινόμενα όπως η κυματική εξίσωση παλώμενης χορδής

: u₁(x,t) = A₁sin(πx/l) cos.(nαx/l) και για ανώτερες αρμονικές

u_n(x,t) = Ansin(nπx/l) cos.(nnαx/l)n

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

Παράδειγμα από την Κλασσική Φυσική : για μια πιο πολύπλοκη κίνηση της χορδής, θα παραχθεί σύνθετος ήχος από πολλές αρμονικές (ιδιοσυχνότητες) συγχρόνως . Η συνάρτηση που περιγράφει τότε την κίνηση της χορδής είναι: u(x,t) = Α₁u₁(x,t) + Α₂u₂(x,t) +.. .= Σu_n(x,t)

Στην Κβαντική Φυσική η αρχή της Υπέρθεσης ή επαλληίας, είναι από τις σημαντικότερες ιδιότητές της:

Κάθε επαλληλία διαφορετικών συναρτήσεων αποτελεί λύσεις της εξίσωσης Schrodinger που σημαίνει ότι ένα κβαντικό σύστημα που μπορεί να βρίσκεται δικριτά σε δύο διαφορετικές καταστάσεις μπορεί να βρίσκεται και σε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των καταστάσεων.

Αν σε μια κατάσταση, Ψ₁(x) δίνει αποτέλεσμα 1 και Ψ₂(x) δίνει αποτέλεσμα 2 Κάθε γραμμικός συνδιασμός τους

Ψ_1,2(x) αΨ₁ + βΨ₂ (α ,β σταθερές) περιγράφει μια κατάσταση όπου η ίδια μέτρηση δίνει είτε αποτέλεσμα 1 ή αποτέλεσμα 2

Υποτίθεται ότι η φύση τελείως τυχαία αποφάσισε ποια από τις δύο καταστάσεις θα υπάρξει. Όμως τελικά οι πιθανότητες καθορίζονται από τους συντελεστές των δύο καταστάσεων (και ανάλογα βέβαια με το επιδιοκώμενο αποτέλεσμα!)

ΟΙ ΙΔΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ψn(x) ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Εn

H Στατική εξίσωση Schrodinger

Στη στατική εξίσωση Schrodinger ο χρόνος εισέρχεται στην εξίσωση μόνο μέσω της πρώτης παραγώγου στην δεξιά πλευρά

Σε περίπτωση που V ανεξάρτητο χρόνουη η εξίσωση Schrodinger και Κυματοσυνάρτηση είναι

Εάν στην εξίσωση Schrodinger η Δυναμική Ενέργεια είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο ( V = V(r) )η λύση της εξίσωσης μπορεί να γίνει με χωρισμό μεταβλητών

Οι ιδιοσυναρτήσεις της κυματοσυνάρτησης της εξίσωσης Schrodinger Ψn(x) που λαμβάνονται από την εξίσωση Schrodinger έχουν διαφορετική Ενέργεια. με διακριτό φάσμα τιμών

ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Το τετράγωνο του μέτρου της Ψ ( $\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}$

$P$ (r, t)dV = |Ψ(r, t)|² δV δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο μέσα σε όγκο dV στη δεδομένη χρονική στιγμή

(για διακριτά φάσματα απλώς πιθανότητα)

Αν χωρίσουμε το σύνολο του όγκου σε στοιχειώδεις όγκους dV και σε κάθε σημείο βρούμε την τιμή της Ψ για κάποια χρονική στιγμή πρέπει το άθροισμα των |Ψ|²dV να είναι ίσο με τη μονάδα

∑ |Ψ|²dV = 1 Η σχέση αυτή ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης

Όμως εάν πρόκειται για μιγαδική συνάρτηση το τετράγωγό της είναι μιγαδικός αριθμός και δεν εκφράζει πιθανότητα, αντίθετα από το τετράγωνο του μέτρου γινόμενο της μιγαδικής κυματοσυνάρτησης με την συζυγή της ψ∗(x,y,z,t) (καρτεσιανές συντεταγμένες) και

ο συζυγής αριθμός ενός μιγαδικού ax + ibx είναι ax - ibx

P(x,y,z,t)dV= |ψ(x,y,z,t)|² = ψ(x,y,z,t)⋅ψ∗(x,y,z,t) είναι η πιθανότητα να βρεθεί σωματίδιo σε μικρό όγκο dV γύρω από το σημείο r ή (x,y,z) σε καρτεσιανές συντεταγμένες

P(x,y,z,t)dV ή $P$ (r, t)dV

H ΕΞΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ

ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Oι διάφορες στάσιμες καταστάσεις οι οποίες χαρακτηρίζονται από τις ιδιοσυναρτήσεις έχουν διαφορετικές ειδικές ενεργειακές τιμές. Η ενεργειακή τιμή που προσδιορίζεται από την ιδιοσυνάρτηση Ψn(x) ονομάζεται ενεργειακή ιδιοτιμή Εn. και από τις οριακές συνθήκες.

Η ιδιοσυνάρτηση Ενέργειας είναι η Y_ν(x)

Για να προχωρήσουμε σε εξεύρεση λύσης πρέπει πρώτα να καθορίσουμε τις οριακές συνθήκες

ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΣΙΜΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER ΜΕ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΟΧΙ ΜΗΔΕΝ

Εάν θεωρήσουμε την συνήθης στάσιμη εξίσωση Schrodinger (μονοδιάστατη) όπως διατυπώνεται σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης και ας καθορίσουμε τις οριακές συνθήκες .

Βάσει αυτών καθορίζονται οι λύσεις της κβαντομηχανικής από την προϋπόθεση ότι οι οριακές συνθήκες δίνονται από

Δίνεται ο γενικός τρόπος όπου α1, α2, β1, β2, γ1, γ2 σταθερές

όμως λόγω της συνθήκης κανονικοποίησης

πρέπει να οριστεί σταθερά κανονικοποίησης C

Η οποία ορίζεται με διαδικασία η οποία καταλήγει στο γενικό αποτέλεσμα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΑΣΙΜΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER ΜΕ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΗΔΕΝ

Η εξίσωση Schrodinger είναι μη χρονοεξαρτώμενη

{\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

δηλαδή η Χαμιλτονιανή αποτελείται μόνο από την κινητική του ενέργεια και η με Μηδενική Δυναμική Ενέργεια

και επειδή είναι μη χρονοεξαρτώμενη η μερική παράγωγος ως προς τον χρόνο είναι σταθερή

Η εξίσωση Schrodinger για ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση δίνει χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και:

που Ψ_Ε(x) είναι οι μερικές λύσεις δίνονται για την κυματοσυνάρτηση ψ(x)

Εδώ όμως φαίνεται ότι η ενέργεια μπορεί να πάρει όλες τις τιμές πάνω από το μηδέν και η ιδιοτιμή ανήκει σε συνεχές φάσμα. Εδώ τότε η σταθερά C καθορίζεται υπό την προϋπόθεση ότι:

όπου δ(x) η συνάρτηση δέλτα Dirac

από αυτό έχουμε v= ( 2E/m)^1/2 . v η ταχύτητα σωματιδίων

v²= 2E/m και Ε=mv²/2

που είνα η γενική λύση και είναι μια υπέρθεση επιπέδων κυμάτων

Αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω για την περίπτωση σωματιδίου σε φρεάτιο δυνσμικού και οι οριακές συνθήκες είναι 0 V(x) = 0 . Έξω από το διάστημα αυτό είναι άπειρο

η εξίσωση Schrodinger είναι x.a το V(x) = ∞

ψ(0) =0 και ψ(α) =0 και από εδώ αν θέσουμε ψ(α) =0 καταλήγουμε σε λύσεις της μορφής

σχέση ου δίνει τις ιδιοτιμές της ενέργειας

Στην θεμελιώδη κατάσταση n=1 το σωματίδιο είναι εντοπισμένο και η πυκνότητα πιθανότητας |Ψ₁(x)|² παίρνει εκεί τις υψηλότερες τιμές

Στη διεγερμένη κατάσταση n=2 έχουμε Ε2 .

για =n έχουμε

Υπάρχουν κι άλλες ιδιοτιμές της ενέργειας όλες πολλαπλάσια της Ε1 που προκύπτουν από τους γραμμικούς συνδυασμούς της Ε1 και Ε2, αλλά οι ενεργειακές τιμές στάσιμων κατάστασεων είναι μετρήσιμες

Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται κβάντωση και το n κβαντικός αριθμός

Από αυτά ακολουθούν οι ενεργειακές ιδιοτιμές En (επίσης ιδιοτιμές παίρνουν και η ορμή και η γωνιακή ορμή)

ΠΗΓΕΣ

Φυσικοχημεία Βασική Θεώρηση Ν. Α. Κατσάνου

Η κβαντική συνάρτηση του Schrödinger: Ένα πεδίο δυνατοτήτων - Αποδομώντας την πραγματικότητα

file:///C:/Users/user/Downloads/%CE%A3%CE%A6_06_%CE%9A%CE%B2%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%B7_%CE%9C%CE%B7%CF%87%CE%B1%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%B7%20(1).pdf

Ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές

Μονοδιάστατη στάσιμη εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

Η λύση της σταθερής εξίσωσης Σρέντινγκερ μπορεί να παρασταθεί ως το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

ψ(x, y, z, t) = ψ₁(x, y, z) · e^(-iEt/ħ), όπου η πρώτη είναι η συνάρτηση των συντεταγμένων και η δεύτερη η συνάρτηση του χρόνου, E = σταθερή – η ολική ενέργεια του σωματιδίου για πεδίο σε κατάσταση σταθερότητας.

Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ

Από τις διαμορφώσεις της Κβαντικής θεωρίας οι σπουδαιότερες είναι η Μηχανική των Μητρών του Heisenberg η Κυματομηχανική του Schrodinger και η Συμβολική μέθοδος του Dirac

Εδώ αναπτύσεται κυρίως η μέθοδος του Schrodinger επειδή είναι περισσότερο χρησιμοποιούμενη στη Χημεία γιατί με αυτήν μπορεί να υπολογιστεί η ηλεκτρονιακή δομή και τα ηλεκτρόνια που εμπλέκονται από την λύση της εξίσωσης Schrodinger, παρ ότι ακριβής και αναλυτική λύση είναι δυνατή μόνο για συστήματα που μοιάζουν με το υδρογόνο (υδρογονοειδή).

Αλλά και η στατιστκή ερμηνεία του Max Born που δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο - σωματίδιο σε διάφορα σημεία του χώρου στον οποίο κινείται, δίνουν μια νέα εικόνα για την δομή του ατόμου αυτήν των ατομικών τροχιακών

Η θεωρία των ατομικών και μοριακών τροχιακών πρότεινε Robert Sanderson Mulliken, το 1932

Από την θεωρία του Schrodinger βρίσκεται η ολική Ενέργεια του σωματιδίου (ηλεκτρονίου), -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις χρονοεξαρτώμενη λόγω της εξάρτησης του δυναμικού από τον χρόνο (σε όποιες περιπτώσεις συμβαίνει) .Για δυναμικό σταθερό η δυναμική ενέργεια και η ολική , είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο

Την εξίσωση (2) την υποκαθιστούμε στην (1): στατική εξίσωση Σρέντινγκερ.

Επαφή