Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 7ο Β μέρος. Στάσιμες καταστάσεις Η επίλυση της Εξίσωσης Schrodinger για το άτομο υδρογόνου και υδρογονοειδών.

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 7ο Β μέρος. Στάσιμες καταστάσεις Η επίλυση της Εξίσωσης Schrodinger για το άτομο υδρογόνου και υδρογονοειδών.

Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER ΓΙΑ ΤΟ ΥΔΡΟΓΟΝΟ

Η επίλυση της εξίσωσης Schrodinger για το άτομο του υδρογόνου προσδιορίζει τις επιτρεπόμενες ενεργειακές στάθμες και τις κυματοσυναρτήσεις (τροχιακά) του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα

Στην περίπτωση του ηλεκτρονίου έχουμε τις τρεις χωρικές συντεταγμένες και ηψ εξαρτάται από x,y,z

Θεωρούμε ότι το κέντρο μάζας του ατόμου ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του πυρήνα ( γιατί η μάζα του είναι πολύ μεγαλύτερη) τον οποίο θεωρούμε ακίνητο σχετικά με το ηλεκτρόνιο, χάριν ευκολίας.

H δυναμική ενέργεια δεν είναι μηδέν αλλά το δυναμικό Coulomb που είναι η ελκτική δύναμη μεταξύ πρωτονίου και ηλεκτρονίου και εξαρτάται από την απόσταση r από τον πυρήνα

$E_{pot}=-\dfrac {e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$ Έτσι $E_{pot}\, \sim \, \dfrac {1}{r}$

Η εξίσωση Schrodinger για το άτομο του υδρογόνου μπορεί να δοθεί για καρτεσιανές συντεταγμένες και γίνεται

$-\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}\left(\dfrac {\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)-\dfrac {1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac {e^{2}}{r}\psi=E \psi$

και για πολικές συντεταγμένες και είναι

MΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΕ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Όμως η πιο βολική μέθοδος για την περιγραφή είναι η αντικατάσταση των καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z) με σφαιρικές πολικές συντεταγμένες (r, θ, φ)

Δεδομένου ότι το δυναμικό στο άτομο του υδρογόνου είναι ακτινικά συμμετρικό χρησιμοποιούνται συνήθως σφαιρικές συντεταγμένες

Η θέση του ηλεκτρονίου (το άνυσμα θέσης) καθορίζεται από την απόσταση r (r=|r|) και από την γωνία θ μεταξύ του r και του άξονα z και από τη γωνία φ μεταξύ του άξονα x και της προβολής του r στο επίπεδο xy.

$x=r\cdot sin\, \theta \cdot cos \, \phi$ , $y=r\cdot sin\, \theta \cdot sin \, \phi$ , $z=r\cdot cos \θήτα$

και ο συντελεστής Laplace είναι

Η εξίσωση Schrodinger γίνεται

και αντικαθιστώντας Το Δυναμικό U(r)ψ και την m με την ανηγμένη μάζα μ =m₁m₂/m₁+m₂ . (μάζα ηλεκτρονίου και μάζα πυρήνα)

γίνεται

Η λύση ψ(r,θ,φ) της εξίσωσης Schrodinger δίνεται μετρεις απλούστερες εξισώσεις σαν συνδυασμός τριών συνάρτηση της είναι γινόμενο ακτινικής με γωνιακές συναρτήσεις

η λύση της είναι γινόμενο ακτινικής με γωνιακές συναρτήσεις

Ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ) = R_nl(r)Θ_lm(θ) Φ_lm (φ)

R_nl(r) είναι το ακτινικό μέρος

Y_lm(θ,φ) είναι το περιτροφικό μέρος που διακρίνεται σε Θ_lm(θ) Φ_lm (φ) όπου το

1. Το μέτρου της γωνιακής ορμής είναι η Θ_lm(θ)

2 Η. Προβολή του μέτρου της γωνιακής ορμής στον άξονα περιστροφής είναι η Φ_lm (φ)

Διακρίνουμε τους ακτινικούς και τους περιστροφικούς (γωνιακούς ) τελεστές

του συνολικού τελεστή

Δηλαδή και ο συνολικός τελεστής Laplace χωρίζεται σε ακτινικό και γωνιακό

ΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER ΓΙΑ ΤΟ ΥΔΡΟΓΟΝΟ

Το περιστροφικό τμήμα της παραπάνω εξίσωση Y(θ,φ) παραπάνω εξί έχει υπολογιστεί στην εξίσωση Schrodinger για περιστρεφόμενο αλτήρα και έτσι αρκεί να απομονώσουμε την R _nl(r) από την Ψ(r,θ,φ). Αυτό γίνεται βάζοντας μπροστα από κάθε όρο τα μέρη που δεν επιρεάζονται από τη μερική παράγωγό της. ¨οπου υπάρχει μερική παραγώγηση των Θ_lm(θ) Φ_lm (φ) εφαρμόζω τον τελεστή τ

Το περιστροφικό τμήμα της παραπάνω εξίσωση Y(θ,φ)

γίνεται

η Y(θ,φ) αναλύεται σε

Y(θ,φ)= Θ(θ).Φ(φ)

αντικατάσταση των μερικών τιμών στην εξίσωση Schrodinger

ΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER ΓΙΑ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Δουλεύυμε πρώτα με το περιστροφικό μέρος της γενικής λύσης της σφαιρικής εξίσωσης Laplace

Επeιδή συμβαίνει το τεράγωνο του μέτρου της γωνιακής ορμής να καθορίζεται από τις ιδιοτιμές του τελεστή Legengre

(Η εξίσωση Legrendre είναι τυπική εξίσωση για ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές )

και eίναι πανομοιότυπη με την εξίσωση τελεστή για ιδιοτιμές για τον τετραγωνικό τελεστή κβαντικής γωνιακής ορμής L^² .

( Θυμόμαστε ότι, ο τελεστής κβαντικής ορμής με μετατροπές μας δίνει τον τελεστή Legendre)

Λύσεις της εξίσωσης Legendre είναι και οι λύσεις της εξίσωσης του κβαντικού τελεστή του τετραγώνου της γωνιακής ορμής

Θυμόμαστε ότι, η εξίσωση Legendre έχει προέλεθει με μετασχηματισμούς από την εξίσωση Laplace για σφαιρικές συντεταγμένες

είναι και λύσεις της εξίσωσης

1. τελεστή στις ιδιοτιμές του μέτρου της γωνιακής ορμής Θ(θ)

2. Προβολή του μέτρου της γωνιακής ορμής στον άξονα περιστροφής Φ(φ)

Από την εξίσωση Laplace με μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε μια νέα διαφορική εξίσωση που περιλαμβάνει μόνο το γωνιακό (περιστροφικό) τμήμα του Laplacian και ονομάζεται εξίσωση Legrendre

Αν το μέτρο της γωνιακής ορμής είναι το Ζ αυτό είναι κβαντισμένο και καθορίζεται από τις ιδιοτιμές του τελεστή Legendre

Διαπιστώνουμε ότι το τετράγωνο του μέτρου της γωνιακής ορμής σε σχέση με τον κβαντικό αριθμό l του τελεστή τηε εξίσωσης Legendre

Αντίστοιχα για την χωρική περιστροφή οι προβολές του μέτρου της γωνιακής ορμής

είναι κι αυτό κβαντισμένο και καθορίζεται από τον κβαντικό αριθμό m που είναι ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος από το ένα σύμφωνα με την σχέση που βλέπουμε

Οι γωνιακοί παράγoντες της γενικής λύσης Υ(θ,φ) ονομάζονται σφαιρικές αρμονικές (σφαιρικές συναρτήσεις)

Ο ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ m_l

από το δεύτερο μέρος θέτω ίσο με -m_l²Φ =θ²Φ/θφ²

μπορώ να δώσω την συνάρτηση Φ = Asin(m_lφ) Φ=Αcos(m_lφ)

Η γωνία φ μπορεί να είναι από 0 έως 2π Η συνάρτηση Φ πρέπει να είναι περιοδική με περίοδο 2π . Αυτό είναι δυνατό μόνο αν m_l = ...-3. -2..-1. 0, 1, 2, 3... Το ml είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός

ΤΟ ΑΚΤΙΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SCHRODINGER ΓΙΑ ΤΟ ΥΔΡΟΓΟΝΟ

Το ακτινικό μέρος της γενικής λύσης της σφαιρικής εξίσωσης Laplace επιλέγεται σαν μια συνάρτηση ισχύος μιας ακτινικής μεταβλητής ενώ ταυτόχρονα, ο εκθέτης l θεωρείται ότι είναι ένας ακέραιος μη αρνητικός αριθμός γιατί μόνο τότε παρατηρείται συμμετρία της γενικής λύσης .

από την σκυματοσυνάρτηση Schrodinger για το άτομο του υδρογόνου

που δίνεται και σαν Ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ)

απομονώνω την ακτινική R(r)

ο συνολικός τελεστής Laplace ο ακτινικός και ο γωνιακός είναι

Στην Ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ) εφαρμόζω τον ολικό τελεστή

και εφαρμόζουμε τον ακτινικό τελεστή και κάνουμε κάποιους μετασχηματισμούς

(χωρίζω όρους και κιαιρώ με Υ(θ,φ)

( εφόσον παραπάνω, από την επεξεργασία της γωνιακής κατέληξameσε διαφορική εξίσωση που περιλαμβάνει μόνο το γωνιακό τμήμα της Laplacia και ονομάζεται εξίσωση Legendre

)

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Από την θεωρία του Schrodinger βρίσκεται η ολική Ενέργεια του σωματιδίου (ηλεκτρονίου), -(κινητική και δυναμική για ένα σωματίδιο m ) όπως υπολογίζεται και από τον συντελεστή Χαμιλτον, είναι σε πολλές περιπτώσεις χρονοεξαρτώμενη λόγω της εξάρτησης του δυναμικού από τον χρόνο (όχι σε περιπτώσεις υδρογόνου- υδρογονοειδών) .Για δυναμικό σταθερό η δυναμική ενέργεια και η ολική , είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο και η εξίσωση Schrodinger γίνεται στατική

Η ολική Ενέργεια είναι το άθποισμα της κινητικής και της δυναμικής για τρεις διαστάσεις

$— \frac{ħ^{2}}{2 m} {∇ 2 + V (r) = Eή αναλυτικότερα Ε n =- (mc 2 z 2 /8e n 2 h 2) / n}^{}$

Για το άτομο του υδρογόνου με αντικατάσταση έχουμε

Ε= -13,6/n² eV

στη θεμελιώδη κατάσταση n=1 γίνεται

Ε= -13,6 eV που είναι η ενέργεια ιοντισμού, δηλαδή η ενέργεια που χρειάζεται το ηλεκτρόνιο του υδρογόνο για να απομακρυνθεί σε άπειρη απόσταση

και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης για το Schrodinger για το υδρογόνο ισουται με

(—ħ^2/2m)∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Για να οριστεί πλήρως ένα τροχιακό απαιτούνται οι 3 από τους 4 κβαντικούς αριθμούς: οι n, l, m_l .

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

Η κίνηση του ηλεκτρονίου στην επιφάνεια μιας σφαίρας

Προσδιορίζεται η συνάρτηση ψ(x,y,z) στη θεμελιώδη κατάσταση (n=1) του ατόμου του υδρογόνου

$\psi_{1}=\DFRAC {1}{\sqrt{\pi a^{3}}}\, e^{-\frac {r}{a}} \περίπου 1,47 \cdot 10^{15}\, e^{-\frac {r}{5,29 \cdot 10^{-11}m}} m^{-\frac {3}{2}}$

Στη συνέχεια αναλύουμε την κίνηση του ηλεκτρονίου και την θεωρούμε σαν την κίνηση ενός σωματιδίου στην επιφάνεια μιας άκαμπτης σφαίρας.

kai θα δείξουμε ότι η κινητική του ενέργεια είναι κβαντισμένη

Αν θεωρήσουμε το διάνυσμα της γωνιακής ορμής L της τροχιακής κίνησης του ηλεκτρονίου το οποίο κατευθύνεται κάθετα στα διανσματα της επιτάχυνσης g και της ορμής του p.

Το διάνυσμα όμως της γωνιακής ορμή L είναι κβαντισμένο και καθορίζεται από τον τύπο

Ακόμη αν η γωνία μεταξύ επιτάχυνσης g και ορμής q είναι 90ο είναι L=mru

Σε περιπτώσεις που υπάρχουν δύο μάζες που περιστρέφονται στο σύστημα θέτουμε την ανηγμένη μάζα μ=m₁m₂/m₁+m₂ και θεωρούμε ότι περιστρέφεται γύρω από κέντρο μάζας.

Επειδή έχουμε περιστροφική κίνηση χρειαζόμαστε την ροπή αδρανείας που είναι I=μd² ή I=m₁d² .

Η κινητική ενέργεια δίνεται από Τ= L²/2I, kai γίνεται T=L²/2m₁d² .

Το ίδιο κάνουμε και με την περίπτωση της περιστροφής του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα και επειδή η ανηγμένη μάζα του συστήματος αυτού (άτομο υδρογόνου) είναι κοντά στην μάζα του ηλεκτρονίου m₁ και όχι του πρωτονίου μ=m₁m₂/m₁+m₂ ~ m₁

Ο τελεστής Laplace ( x,y,z καρτεσιανές) και r,θ,φ (πολικές) είναι:

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2

Αρχικά υποθέτουμε μια μονοδιάστατη κυματοσυνάρτηση χωρίς εξωτερικό δυναμικό, η οποία είναι ανάλογη με την κλασική κυματική εξίσωση:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {x}{\lambda}-\dfrac {t}{T}\right) \right]$

ή με άλλα λόγια:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {2\pi}{\lambda}\cdot x - \dfrac {2\pi}{T}\cdot t \right)$

Σε αυτό, αντικαθιστούμε: $\dfrac {2\pi}{T}=\omega$ (κυκλική συχνότητα) και $\dfrac {2\pi}{\lambda}=k$ (αριθμός κύματος)

Για λόγους απλότητας, ας ορίσουμε το πλάτος σε: $\psi_{0}=1$ . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα:

$\psi(x,t)=sin\left(kx-\omega t\right)$

Όπως έχουμε ήδη δείξει (βασικά βλ. παραπάνω, ενότητες 3. / 4.), αυτή η κυματοσυνάρτηση μπορεί εναλλακτικά να γραφτεί ως μιγαδική e-συνάρτηση:

$\psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$

Γνωρίζουμε ήδη μια πιθανή συνάρτηση λύσης, δηλαδή την κυματοσυνάρτηση για στάσιμα κύματα:

$\psi(x)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {2\pi x}{\lambda}\right)$

Η συνθήκη πρέπει να ισχύει για στάσιμα κύματα με δύο σταθερά άκρα:

$L=n\cdot \dfrac {\λάμδα}{2}$ ή $\lambda=\dfrac {2L}{n}$

Εισάγεται στην κυματοσυνάρτηση, το αποτέλεσμα είναι

$\psi(x)=\psi_{0} \cdot sin \left( \dfrac {\pi x}{L}n\right)$

ΠΗΓΕΣ

Φυσικοχημεία Βασική θεώρηση Ν.Α. Κατσάνος

Εξίσωση Schrödinger για ένα άτομο υδρογόνου: Μετάβαση σε σφαιρικές συντεταγμένες και διαχωρισμός μεταβλητών - Γενική Φυσική

Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια

Η εξίσωση Schrödinger και η σημασία της - εξηγείται με κατανοητό τρόπο

Εξίσωση Schrödinger για ένα άτομο υδρογόνου: Μετάβαση σε σφαιρικές συντεταγμένες και διαχωρισμός μεταβλητών - Γενική Φυσική

Κεφάλαιο 2

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 7ο Β μέρος. Στάσιμες καταστάσεις Η επίλυση της Εξίσωσης Schrodinger για το άτομο υδρογόνου και υδρογονοειδών.

Επαφή