Δήμητρα Σπανού, χημικός, μόνιμη καθηγήτρια στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης από το 2010, συνταξιούχος από 30-6-2025
H στατική κυματοσυνάρτηση ψ για το υδρογόνο και τα υδρογονοειδή
Η κυματοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου ψn,l,m (r, θ, φ) που είναι το πλάτος της πιθανότητας εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε ένα σημείο στο χώρο και το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης δίνει την πυκνότητα πιθανότητας [ψ,l,m (r, θ, φ)]2 περιγράφει την κατανομή πιθανότητας ηλεκτρονίων σε διαφορετικά σημεία του χώρου δίνονται με τη χρήση σε σφαιρικές συντεταγμένες λόγω ακτινικής συμμετρίας
Μεταβλητές είναι η απόσταση r από τον πυρήνα και οι γωνίες θ και η γωνία φάσης φ.
'Ετσι, η απλούστερη κυματοσυνάρτηση, αυτή ενός ατόμου υδρογόνου χωρίζεται σε τρία συστατικά: ακτινική, γωνιακή και φάση. Ψ(r, θ, φ)
Ψ(r, θ,φ) = Rnl(ιη) .Θlm(θ) . Φlm(φ)
Η λύση του ακτινικού μέρους έχι αποτέλεσμα μια συνάρτηση R(r) που εξαρτάται μόνο από την απόσταση r ενώ η λύση του γωνιακού μέρους
Y( θ,φ) που είναι το γινόμενο των γωνιακών συνάρτησεων Θ(θ) . Φ(φ) που περιγράφει την γωνιακή κατανομή πιθανότητας του ηλεκτρονίου
η Ακτινική συνάρτηση Rnl(ιη)
Το ακτινικό μέρος της εξίσωσης Schrodinger e;inai
Από το ακτινικό μέρος προκύπτει η συνάρτηση Rnl(ιη)
H εξίσωση κίνησης είναι μια μαθηματική εξίσωση που προσδιορίζει την χωρική και χρονική ανάπτυξη του κινούμενου δηλαδή την τροχαιά που κινείται .
Οι εξισώσεις από τις συναρτήσεις R(r) εξαρτώνται από την αντικατάσταση τους κβαντικούς αριθμούς n και l ώστε για κάθε συνδυασμό έχουμε και μια τέτοια εξίσωση. Συνήθως πρόκειται για διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης που είναι ένας συνδυασμός εκθετικών συναρτήσεων και των σχετικών πολυονύμων Leguerre
.Και συνήθως αυτές οι εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν αναλυτικά
Για την επίλυσή της ορίζεται μια σταθερά ρ
0με την χρήση της ακτίνας αο όπου
ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
Η συνάρτηση R(r) δεν έχει μεγάλη φυσική σημασία. Μεγαλύτερη έχει η R2 που είναι ανάλογο
της ηλεκτρονιακής κατανομής πυκνότητας στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Ψ2 . Η R2 παριστάνει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε σημείο που απέχει κατά r από τον πυρήνα. η R2 πολλαπλασιασμένη επί ένα στοιχείο όγκου dV (R2dV ), δίνει την πιθανότητα το ηλεκτρόνιο να βρίσκεται σε ένα στοιχείο όγκου dV που περιβάλλει ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση r από τον πυρήνα. Είναι επομένως χρήσιμη η γραφική παράσταση 4πrR2 . Η κατανομή δεν είναι απόλυτα συμμετρική γιατί η γωνιακή ορμή που συνδέεται με αυτές τις καταστάσεις δεν είναι μηδέν
Για το τροχιακό 1s η απόσταση r όπου εμφανίζει μέγιστο η παράσταση 4πrR2 άρα και 4πrΨ2 για το άτομο του υδρογόνου συμβολίζεται με αο και συχνά λαμβάνεται ως το μέγεθος του ατόμου του υδρογόνου. Επίσης βλέπουμε ότι η κυματοσυνάρτηση R τείνει στο 0 όταν το r τείνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι σε άπειρη απόσταση από τον πυρήνα η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο είναι μηδενική. Η κίνηση του σωματιδίου είναι πεπερασμένη.
Γωνιακές κυματοσυναρτήσεις Ylm(θ,φ)
Η εξίσωση γίνεται Ψnl (r) =Rnl(ir) Ylm(θ,φ) και η γωνιακή συνάρτηση Ylm(θ,φ) θα μπορούσε να διεξαχθεί ξεχωριστά για Θl(θ) και για την γωνία φάσης Φm(φ) όπου n, l είναι ο κύριος και ο δευτερεύων (τροχιακός) κβαντικόι αριθμοί και ml o μαγνητικός κβαντικός αριθμός όμως είναι ευκολότερο να υπολογιστέι μαζί το γινόμενο Θ(θ).Φ(φ)=Ylm(θ,φ).
Η λύση του γωνιακού μέρους Ylm(θ,φ) ωδηγεί σε γωνιακές συναρτήσεις που λέγονται και σφαιρικές αρμονικές που εξαρτώνται από τις γωνίες θ και φ
ΟΙ γωνιακές πραγματικές κυματοσυναρτήσεις δίνουν το σχήμα και τον προσανατολισμό των ατομικών τροχιακών.
Για τα πιο σταθερά υδρογονοειδή τροχιακά s για l=0 και ml=0 είναι σε ομάδες του ενός. Για l=1 και ml=+1 ml=-1 τα p τροχιακά σε ομάδες των τριών. Για l=2 και ml=2,1,0,-1,-2 τα d τροχιακά σε ομάδες των πέντε
Η κυματοσυνάρτηση ψ και τα ατομικά τροχιακά
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΩΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ
ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΤΑΣΗ n, l, ml .
Η λύση της εξίσωσης Σρέντινγκερ δίνει ένα σύνολο κυματοσυναρτήσεων ψ για το άτομο του υδρογόνου και τα υδρογονοειδή (μονοηλεκτρονικά άτομα)
Καθεμιά από τις οποίες τις κυματοσυναρτήσεις, ικανοποεί τους περιορισμούς των κβαντικών αριθμών, και αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμή ενέργειας Επ του ηλεκτρονίου και αποτελεί το ατομικό τροχιακό
Για το ατομικό τροχιακό η κβαντομηχανική συνάρτηση που επιλέγεται για να περιγράψει την εύρεση ενός ηλεκτρονίου στον χώρο σε κβαντομηχανική κατάσταση είναι η κυρίως σε ακίνητη κατάσταση
η χωρική κυματική συνάρτηση . Το σύμβολό του είναι κυρίως (μικρό φι) ή ψ
Έτσι,
ατομικά τροχιακά είναι περιοχές γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου όπου είναι πιο πιθανό να βρεθούν ηλεκτρόνια όπως καθορίζονται απο τους κβαντικούς αριθμούς και την εξίσωση Schrodinger
Τα ατομικά τροχιακά είναι συναρτήσεις των θέσεων του ηλεκτρονίου ανεξάρτητα αν υπάρχει είτε όχι ηλεκτρόνιο σε αυτό
ΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ n, l, ml ms
Kάθε ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου είναι διαφορετικά ορισμένο από τους 4 κβαντικούς αριθμούς και τοποθετείται σε συγκεκριμένης απόσταση από τον πυρήνα που καθορίζεται από την ενέργειά τους και περιγράφεται με αυτούς τους κβαντικούς αριθμούς που είναι:
Κύριος κβαντικός αριθμός n (1,2,3,4,5,6,7) που προσδιορίζει απόσταση από τον πυρήνα απόσταση από τον πυρήνα του ηλεκτρονίου και ταυτόχρονα της ενέργειας σε ακίνητη κατάσταση Είναι (K/n=1, L/n=2, M/n=3, N/n=4, O/n=5, Q/n=6,
Ένα σύνολο τροχιακών με τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό αποτελεί ένα κέλυφος ηλεκτρονίων
Τον Δευτερεύοντα κβαντικό αριθμο l που προσδιορίζει τις υποστοιβάδες που περιλαμβάνει υποομάδες ηλεκτρονίων (υποστοιβάδες) της κάθε στοιβάδας ανάλογα με τον χώρο κατανομής τους . Δίνει το σχήμα του ηλεκτρονιακού νέφους
Παίρνει τιμές l= 0, 1, 2 ,3, 4, (n-1) . Οι υποστοιβάδες είναι οι s, p, d, f, g,h,i
Ηλεκτρόνια με ίδιο n και l βρίσκονται στην ίδια υποστοιβάδα
Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml καθορίζει τον προσανατολισμό του ηλεκτρονιακού νέφους σε σχέση με τους άξονες x, y, z,
δηλαδή, τα επίπεδα που θα κινηθεί το κάθε περιστρεφόμενο ηλεκτρόνιο
Σε κάθε υποστοιβάδα που εμφανίζει λόγω αυτής της περιστροφής του μαγνητική ροπή και μηχανική ροπή λόγω αυτής, που καθορίζεται από τον μαγνητικό αριθμό ml .
Τιμές του μαγνητικού κβαντικού αριθμού αντιστοιχεί στο τροχιακά l. και είναι: -l, ...0...+l
Ο κβαντικός αριθμός ms καθορίζεται από το άθροισμα των διανυσμάτων l και s δηλαδή περιλαμβάνει
την γωνιακή ορμή του ηλεκτρονίου που προκαλείται από την ιδιοπεριστροφή του (ορμή spin). Παίρνει τιμές 1/2 για στροφορμή παράλληλη με το Β του πεδίο και -1/2 για στροφορμή αντιπαράλληλη με το Β του πεδίου
Ηλεκτρόνια με ίδιο n, l, ml βρίσκονται στο ίδιο τροχιακό
ΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ
Η κυματοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου ψn,l,m (r, θ, φ) είναι το πλάτος της πιθανότητας εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε ένα σημείο στο χώρο
Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης δίνει την πυκνότητα πιθανότητας [ψ,l,m (r, θ, φ)]2 περιγράφει την κατανομή πιθανότητας ηλεκτρονίων σε διαφορετικά σημεία του χώρου
Η λύση της εξίσωσης Σρέντινγκερ δίνει ένα σύνολο κυματοσυναρτήσεων ψ για το άτομο του υδρογόνου και τα υδρογονοειδή (μονοηλεκτρονικά άτομα)
Καθεμιά από τις οποίες τις κυματοσυναρτήσεις, ικανοποεί τους περιορισμούς των κβαντικών αριθμών, και αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμή ενέργειας Επ του ηλεκτρονίου και αποτελεί το ατομικό τροχιακό
Για το ατομικό τροχιακό η κβαντομηχανική συνάρτηση που επιλέγεται για να περιγράψει την εύρεση ενός ηλεκτρονίου στον χώρο σε κβαντομηχανική κατάσταση είναι η κυρίως σε ακίνητη κατάσταση
η χωρική κυματική συνάρτηση . Το σύμβολό του είναι κυρίως (μικρό φι) ή ψ
Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΙΚΟΥ ΤΡΟΧΙΑΚΟΥ
Τα τομικά τροχιακά είναι περιοχές γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου όπου είναι πιο πιθανό να βρεθούν ηλεκτρόνια όπως καθορίζονται απο τους κβαντικούς αριθμούς και την εξίσωση Schrodinger
Τα ατομικά τροχιακά είναι συναρτήσεις των θέσεων του ηλεκτρονίου ανεξάρτητα αν υπάρχει είτε όχι ηλεκτρόνιο σε αυτό
Η Δυναμική ενέργεια είναι
Η ολική Ενέργεια είναι το άθποισμα της κινητικής και της δυναμικής για τρεις διαστάσεις
Για το άτομο του υδρογόνου με αντικατάσταση έχουμε
Ε= -13,6/n2 eV
στη θεμελιώδη κατάσταση n=1 γίνεται
Ε= -13,6 eV που είναι η ενέργεια ιοντισμού, δηλαδή η ενέργεια που χρειάζεται το ηλεκτρόνιο του υδρογόνο για να απομακρυνθεί σε άπειρη απόσταση
και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης για το Schrodinger για το υδρογόνο ισουται με
Για να οριστεί πλήρως ένα τροχιακό απαιτούνται οι 3 από τους 4 κβαντικούς αριθμούς: οι n, l, ml .
Είναι μια έννοια που εισήχθη στις αρχές του 20ου αιώνα μέσω της κβαντικής θεωρίας και η οποία προσδιορίζει την περιοχή του τρισδιάστατου χώρου στην οποία υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου. Κάθε ηλεκτρόνιο ενός ατόμου βρίσκεται σε ένα ορισμένο τροχιακό
Κάθε ηλεκτρόνιο ενός ατόμου βρίσκεται σε ένα ορισμένο τροχιακό.
Η Ενέργεια του ατόμου δεν είναι συνεχής αλλά παίρνει διακριτές τιμές που καθορίζονται από τον κύριο κβαντικό αριθμό n. Εn=- 13,6 ev/n kai προκύπτει από τη σχέση Εn=- (mc2z2/8en2h2 )/n
ΚΟΜΒΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΡΟΧΙΑΚΩΝ
Από τα σχήματα των τροχιακών αλλά και από τις μαθηματικές τους εκφράσεις βλέπουμε ότι υπάρχουν επιφάνειες όπου το ψ2 μηδενίζεται και ως εκ τούτου είναι αδύνατο να βρεθούν εκεί ηλεκτρόνια. Αυτές ονομάζονται κομβικές επιφάνειες.
Από την σχέση: Ψ(r, θ,φ)=R(r) . Θ(θ).Φ(φ) θα πρέπει να μηδενίζονται η ακτινική συνάρτηση ή η γωνιακή συνάρτηση
Δηλαδή : R(r) =0 ή Θ(θ).Φ(φ) =0
Ο αριθμός των κομβικών επιφανειών ισούται με n-l -1
- ΑΚΤΙΝΙΚΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ή ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΟΜΒΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
-
Εμφανίζονται όταν η ακτινική συνάρτηση αλλάζει πρόσημο , δηλαδή στα σημεία που μηδενίζεται η ακτινική συνάρτηση R(r). Στα τροχιακά 1s, 2p, 3d, που είναι τα χαμηλότερης ενέργειας σε κάθε ομάδα, παίρνουν την τιμή 0 μόνο όταν το rτείνει στο άπειρο, η γραφική παράσταση των συναρτήσεων ακτινικής πιθανότητας 4πr2R2 =0 ώστε δεν έχουμε εκεί σφαιρικές κομβικές επιφάνειες. - Όσοστην ίδια ομάδα, το μέγεθος των τροχιακών αυξάνει με την αύξηση του ατομικού αριθμού εμφανίζονται σφαιρικές κομβικές επιφάνειες Στο 2s μία και στο 3s δύο το ηλεκτρονιακό νέφος διαμοιράζεται σε περιοχές μακρύτερα του πυρήνα.
- ΓΩΝΙΑΚΟΙ ΚΟΜΒΟΙ
- Οι γωνιακοί κόμβοι προκύπτουν από τον μηδενισμό της γωνιακής συνάρτησης
- Θ(θ).Φ(φ)=Ylm(θ,φ).
- Από τον μηδενισμό της Θ(θ) (ζενιθιακής συνιστώσας της γωνιακής κυματοσυνάρτησης) προκύπτπουν κομβικές κωνικές επιφάνειες με άξονα τον x ή το επίπεδο xy.
- Από τον μηδενισμό της Φ(φ) (αζιμουθιακή συνιστώσας της γωνιακής κυματοσυνάρτησης) προκύπτπουν κομβικές επιφάνειες που είναι κατακόρυφα επίπεδα
ΠΗΓΕΣ
Βασικές αρχέ Ανόργανης Χημείας Γ. Πνευματικάκης Χ. Μητσοπούλου Κ. Μεθενίτης
https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov
Ατομικά τροχιακά και κβαντικοί αριθμοί – Η ηλεκτρονική τάξη Χημείας (sch.gr)
6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)
https://infotables.ru/khimiya/825-elektronnye-formuly-atomov-khimicheskikh-elementov
Ηλεκτρονική δομή - Βικιπαίδεια (wikipedia.org)
6.1 Τροχιακό-κβαντικοί αριθμοί (ebooks.edu.gr)
Εξίσωση Σρέντινγκερ - Βικιπαίδεια
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C_%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%87%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C
https://www.slideserve.com/koen/se-pa-e-ed-s-ea-dafe-ea-t-a-ta-ap-t-ea-des-s-vb
https://www.slideserve.com/koen/se-pa-e-ed-s-ea-dafe-ea-t-a-ta-ap-t-ea-des-s-vb
https://docplayer.gr/45953129-5-organometallikes-enoseis-ton-mm.html
https://www.slideserve.com/rufin/3271136#google_vignette
Сферические гармоники
https://slideplayer.gr/slide/17116331/
Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές - Διαδικτυακή Παρουσίαση