Αρχική Σελίδα > ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ . 1ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Οι έννοιες της Κβαντομηχανικής :Κβαντομηχανικές καταστάσεις και συναρτήσεις κατάστασης, παρατηρούμενα μεγέθη και τελεστές

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ . 1ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Οι έννοιες της Κβαντομηχανικής :Κβαντομηχανικές καταστάσεις και συναρτήσεις κατάστασης, παρατηρούμενα μεγέθη και τελεστές

Δήμητρα Σπανού καθηγήτρια Χημικός συνταξιούχος Β/θμιας Εκπ/σης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Η Κβαντομηχανική είναι μια θεωρία της Φυσικής που μέχρι στιγμής μελετά και ερμηνεύει συμπεριφορά υλικών αντικειμένων που τα μοντελοποιεί ως μεμονωμένα σωματίδια ή ως συστήματα ορισμένου αριθμού σωματιδίων

Εσάγωντας νέους νόμους και έννοιες (κβάντωση φυσικών ποσοτήτων, κυματοσωματιδιακό δυϊσμο, κβαντικό εναγκαλισμό, φαινόμενο σήραγγας), μέσω των οποίων έχει καταφέρει να περιγράφει περιοχές της φυσικής όπως η ατομική φυσική, η φυσική στερεάς κατάστασης, η πυρηνική φυσική και η φυσική στοιχειωδών σωματιδίων αλλά και συυναφείς επιστήμες όπως η Κβαντική Χημεία

Μέσω της Στατιστικής Μηχανικής μπόρεσαν ακόμα να υπολογιστούν μεγάλα θερμοδυναμικά μεγέθη όπως η Εντροπία, η Εσωτερική ενέργεια, το χημικό δυναμικό κ.α.Ε.

Οι έννοιες της Κβαντικής Μηχανικής είναι τριών ειδών: Οι Συναρτήσεις καταστάσεως, τα παρατηρήσιμα μεγέθη και οι τελεστές

Συνάρτηση καταστάσεως είναι μια μαθηματική συνάρτηση για το υπό εξέταση σύστημα που περιέχει κάθε δυνατή πληροφορία. Στις συναρτήσεις καταστάσεως της Κβαντομηχανικής έχουμε συντεταγμένες τις συντεταγμένες θέσεως (x1. x2...y1, y2...z1, z2...xn) για 1, 2, n σωματίδια και τον χρόνο t

Παρατηρήσιμα μεγέθη: Στην κλασσική Φυσική τα γνωστά μεγάθη των οποίων η μέτρηση δίνει έναν αριθμό είανι τα παρατηρήσιμα μεγέθη (θέση, ορμή, χρόνος κ.α.).

Τελεστές : Είναι το σύμβολο για την εκτέλεση μιας ορισμένης μαθηματικής εργασίας σε μια συνάρτηση. Για να αντιστοιχίσουμε ένα από τα παρατηρήσιμα μεγέθη σε μέγεθος της Κβαντομηχανικής, χρησιμοποιούμε τους τελεστές της Κβαντομηχανικής

Από τις διαμορφώσεις της Κβαντικής θεωρίας οι σπουδαιότερες είναι η Μηχανική των Μητρών του Heisenberg η Κυματομηχανική του Schrodinger και η Συμβολική μέθοδος του Dirac

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ- ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Μια κβαντομηχανική κατάσταση είναι η περιγραφή ενός φυσικού συστήματος σύμφωνα με τους κανόνες της κβαντομηχανικής. Η ευρύτερα χρησιμοποιούμενη έννοια της κβαντομηχανικής κατάστασης διατυπώνεται σύμφωνα με την ερμηνεία της Κοπεγχάγης που διατυπώθηκε το 1927 από Niels Bohr και Werner Heisenberg και βασίζεται στην ερμηνεία των πιθανοτήτων της κυματοσυνάρτησης όπως διατύπωσε ο Max Born ενώ παλαιότερα είχαν διατυπωθεί ερμηνείες από τον Paul Dirac και τον J. V Neumann

Πολλές παρατηρήσεις που γίνονται στα φυσικά συστήματα δεν μπορούν να εξηγηθούν σύμφωνα με έννοιες κατάστασης της κλασσικής φυσικής γιατί στην κβαντομηχανική η μετρούμενη τιμή δεν μπορεί να καθορίσει με βεβαιότητα την κάθε μέτρηση (παρά μόνο στις ακραίες περιπτώσεις αλλά μόνο την πιθανότητα για κάθε ένα από τα πιθανά αποτελέσματα μέτρησης $P$ ( $0\leq P\leq 1$ )

Επίσης ισχύει ότι διάφορες ερμηνείες της κβαντομηχανικής περιλαμβάνουν εν μέρει διαφορετικές έννοιες της κατάστασης.

Η συνάρτηση κατάστασης ( ή κυματοσυνάτησηψ) αποτελεί το κεντρικό μαθηματικό αντικείμενο στη κβαντική μηχανική, το οποίο περιγράφει πλήρως την κατάσταση του κβαντικού συστήματος.

Πρόκειται για μια συνάρτηση μιγαδικών τιμών που εξαρτάται από τη θέση r και τον χρόνο t, που συσχετίζει διάφορες μεταβλητές κατάστασης ή ποσότητες κατάστασης .

Μια μεταβλητή κατάστασης είναι συνήθως μια συνάρτηση κατάστασης. Παράδειγμα στον νόμο των ιδανικών αερίων οι μεταβλητές κατάστασης που είναι ο όγκος, η πίεση, η θερμοκρασία ή η ποσότητα ουσίας, είναι συναρτήσεις άλλων μεταβλητών κατάσταση που περιγράφουν καταστάσεις ισορροπίας ενός συστήματος)

Όλα τα μετρήσιμα μεγέθη (παρατηρήσιμα) ενός συστήματος μπορούν να προκύψουν από αυτήν με τη χρήση της θεωρίας των πιθανοτήτων.

H πυκνότητα πιθανότητας είναι το τετράγωνο του μέτρου τους αντιπροσωπεύει την πιθανότητα εντοπισμού του σωματιδίου σε συγκεκριμένη θέση r την συγκεκριμένη χρονική στιγμή t.

Για τις συναρτήσεις κατάστασης έχουμε υπ' όψη μας τα εξής:

Η κανονικοποίηση της πιθανότητας εντοπισμού: Επειδή πρόκειται για πιθανότητα, πρέπει το συνολικό άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων πρέπει να είναι ισούται με τη μονάδα. Έτσι κανονικοποιούμε την πυκνότητα πιθανότητας

∑ |Ψ|²dV = 1 (Συνθήκη κανονικοποίησης ή

$\int |{}\psi (\vec{r},t)|{}^{2}\,d^{3}r=1$

Αρχή της Υπέρθεσης

Αν ψ₁ και ψ₂ είναι συναρτήσεις των δυνατών καταστάσεων του συστήματος 1 και 2 ισχύει οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός του συστήματος

ψ = c₁ψ₁ + c₂ψ₂ όπου c₁ , c₂ είναι μιγαδικές σταθερές. Αυτό οδηγεί σε φαινόμενα συμβολής

Νομοτελειακή (ντετερρμινιστική) χρονική εξέλιξη: Η μεταβολή της συνάρτησης κατάστασης με την πάροδο του χρόνου όπως προκύπτει από την εξέλιξη της κβαντομηχανικής κατάστασης όπως λαμβάνει χώρα μόνο στην περίοδο δύο διαδοχικών μετρήσεων. Οι εξισώσεις κίνησης στη μη σχετιστική περίπτωση είναι σύμφωνα με την εξίσωση Schrodinger, στη σχτιστική περίπτωση σύμφωνα με: την εξίσωση Klein-Gordon για σπιν=0, την εξίσωση Dirac για μαζική σπιν=1/2, την εξίσωση Weyl για χωρίς μάζα και σπιν 1/2. την εξίσωση Proca με μάζα και σπιν 1, τις εξισώσεις Maxwell για χωρίς μάζα και σπιν 1

ΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Ο τελεστής εφαρμόζεται και εκτελεί μια ορισμένη μαθηματική εργασία σε μια συνάρτηση εργασία ${\hat {A}}$

${\hat {A}}\Psi =f$ .

Γενικά τελεστής είναι ο κανόνας που μια συνάρτηση σχετίζεται με μια άλλη συνάρτηση και απαιτούνται σύνθετοι υπολογισμοί για τον εκάστοτε τελεστή.

Στην κβαντομηχανική οι γραμμικοί τελεστές (φον Νόιμαν 1927) απετέλεσαν μια ολοκληρωμένη και αυστηρή μαθηματική βάση και δρουν πάνω σε χώρους Χιλμπερτ (Hilbert)

Oi χώροi Χιλμπερτ (Hilbert) γενικεύει την έννοια του Ευκλείδιου χώρου και επεκεκτείνει τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και του λογισμού από τον δισδιάστατο ευκλείδιο χώρο και στον τρισδιάστατο χώρο σε χώρους οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων

Oi χώροi Χιλμπερτ (Hilbert) είναι απαραίτητα εργαλεία όχι μόνο στην κβαντομηχανική αλλά και σε θεωρίες μερικών διαφορικών συναρτήσεων, στην ανάλυση Φουριέ, ακολουθιών κ.α..

Είναι ένας σύνθετος διανυσματικός χώρος επί του οποίου υπάρχει ένα εσωτερικό γινόμενο (x,y) που συνδέει έναν μιγαδικό αριθμό σε κάθε ζεύγος στοιχείων του

Σύμφωνα με την κβαντική μηχανική για κάθε φυσική ποσότητα στην κλασσική μηχανική που περιγράφεται από συνάρτηση F(x,y,z,px,py,px) συντεταγμένων διαστάσεων και ορμών υπάρχει γραμμικός τελεστής που ταιριάζει ώστε όταν δρα σε κυματοσυνάρτησή της ψ(x,y,z,t), η συνάρτηση ταιριάζει με μια άλλη συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών

Γενικά σε γραμμικότητα που ισχύει σε Ευκλείδιους χώρους καθώς και σε αυθαίρετους διανυσματικύς ισχύουν:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$Φ(x) = c 1 Φ 1 (x) + c 2 Φ 2 (x)$
$f(\alpha x)=\alpha f(x)$
$(Φ 1, Φ 2) = ορισµός Z Φ * 1 (x).Φ 2 (x) dx$ όπου Φ ? 1 (x) είναι η µιγαδική συζυγής της Φ1(x)

Ένας τελεστής Α σε έναν μιγαδικό ή πραγματικό χώρο Hilbert με συμπυκνωμένο πεδίο ορισμού,

Ονομάζεται Ερμητιανός εάν ικανοποιεί την σχέση (Ax, y) = (x, Ay) και στην κβαντομηχανική $\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Ένας τελεστής ονομάζεται αυτοζυγής εάν ⟨ψ|Âφ⟩ = ⟨Âψ|φ⟩, ∀ |ψ⟩,|φ⟩ ∈ Η

Στην κβαντομηχανική οι βασικοί τελεστές από τους οποίους προέρχονται όλοι οι άλλοι είναι οι εξής:

Με τις αριθμητικές πράξεις μεταξύ τελαστών μπορούμε να έχουμε άθροισμα ή διαφορά ή γινόμενο για οποιαδήποτε συνάρτηση για ίδιο πεδίο ορισμού ως εξής:

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$ , ${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi )$ ,

Δηλαδή εάν θέλουμε τον τελεστή της κινητικής ενέργειας στην Κβαντομηχανική χρησιμοποιούμε με αριθμητικές πράξεις τις σχέσεις μεταξύ μεγεθώνγια μεγέθη ομόλογα αφού έχουμε σχέσεις ίδιες στην κλασσική και στην κβαντομηχανική

Ο ένας για την κινητική ενέργεια των σωματιδίων ${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Ανάλογα υπολογίζονται οι κβαντικοί τελεστές και για άλλα παρατηρούμενα μεγέθη όπως

ο τελειστής ροπής ${\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar [\mathbf {r} ,\nabla ]$ .

ο τελεστής περιστροφής ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$ ,

το s υπολογίζεται από πίνακες (Pauli)

{\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\hat {\sigma }}_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

{\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

καταλήγοντας ξέρουμε ότι,

ένας τρόπος για να περάσουμε στην Κβαντική Φυσική είναι η κβάντωση των μεγεθών με την βοήθεια κβαντικών τελεστών

Εάν ενεργοποιήσουμε τον τελεστή κβαντικής ορμης

{\hat {p}}_{x}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\mathrm {\hbar } }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

πάνω στην ψ1 και ψ2

αν έχω τις τριγωνομετρικές κυματοσυναρτήσεις c1sinkx c2coskx

μπορώ να πάρω κβαντικές ορμές

Ένας τελεστής ονομάζεται αυτοσυζυγής ή υπερμέγιστος εάν συμπίπτει με το συζυγές του. Είναι συμμετρικός αλλά δεν ισχίει το αντίστροφο

ΠΗΓΕΣ

https://de.wikipedia.org/wiki/Zustand_(Quantenmechanik)

https://en.wikipedia.org/wiki/State_function

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%B2%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%BC%CE%B7%CF%87%CE%B1%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AE

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82_%CE%A7%CE%AF%CE%BB%CE%BC%CF%80%CE%B5%CF%81%CF%84

Επαφή