Αρχική Σελίδα > Οι μιγαδικοί αριθμοί στις Φυσικές Επιστήμες

Οι μιγαδικοί αριθμοί στις Φυσικές Επιστήμες

της Δήμητρας Σπανού χημικού καθηγήτριας Dευτεροβάθμιας Εκπ/σης

υπό κατασκευή

Οι μιγαδικοί αριθμοί $\mathbb {C} =\lbrace a+ib~\vert \ a,b\in \mathbb {R} ,\ i^{2}=-1\rbrace$ $\mathbb {C} =\lbrace a+ib~\vert \ a,b\in \mathbb {R} ,\ i^{2}=-1\rbrace$

Οι μιγαδικοί (σύνθετοι αριθμοί) αριθμοί χρησιμοποιούνται στην Φυσική για την απλούστευση των υπολογισμών κυρίως επειδή είναι διδιάστατοι. Έτσι σε ορισμένες περιπτώσεις που έχουμε ταυτόχρονη μεταβολή δύο μεγεθών μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους μιγαδικούς αριθμούς αντί να αναγκαστούμε να επιλύσουμε πολλές συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις

Μπορούν να διατυπωθούν με τις μορφές:

Την καρτεσιανή μορφή μιγαδικού αριθμού x +yi,

Την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών με διάνυσμα ΟΜ^-> που έχει αρχή το Ο και τέλος το σημείο Μ (x,y)

Την τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού : z= r(cosθ + isinθ)

Την Εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού e^iθ =cosθ +isinθ ή $z=|z|e^{i\phi }$

κατέργαστο

΄Σε ποιες περιπτώσεις συναντάμε στην Φυσική τους μιγαδικούς αριθμούς

Α. Οι μιγαδικοί αριθμοί στην αναπαράσταση ηλεκτρικών και μαγνητικών κυκλωμάτων

Παρ' ότι οι τάσεις και τα ρεύματα στα ηλεκτρικά κυκλώματα έχουν πραγματικές τιμές σε προβλήματα μεταβαλλόμενης τάσης ή έντασης (εναλλασσόμενα) αυτές οι τιμές αλλάζουν συντονισμένα με τον χρόνο, μπορούμε να τις παραστήσομε με σύνθετους (μιγαδικούς) αριθμούς, όπου εκφράζεται η ταυτόχρονη μεταβολή τους σε έναν αριθμό.

Θεωρούμε ηλεκτρικά κυκλώματα με σταθερά ως προς την δομή και χρονικά αμετάβλητα, που υφίστανται διέγερση από ανεξάρτητες πηγές τάσεως ή έντασης ρεύματος από ημιτονοειδή σήματα τα οπόια παράγωνται εύκολα, χρησιμοποιούνται σε μεγάλο φάσμα συχνοτήτων, παράγουν επίσης ημιτονοειδή σήματα, (εφόσον η παραγώγιση και η των συναρτήσεών τους δίνει εκ νέου ημιτονοειδείς συναρτήσεις) και μπορεί να αναλυθούν σε άπειρο αριθμό ημιτονοειδών σημάτων με την ανάλυση Fourier

Για την πλήρη ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων απαιτείται και η μαθηματική περιγραφή των χαρακτηριστικών τους αλλά και η μαθηματική περιγραφή των διεγέρσεων (τάσεις, ρεύματα)

Τα σήματα που παράγονται

Image result for sinusoidal marks 0, Ï ,-Ï 1. Ημιτονοειδές σήμα x(t) =A_m sin(ωt+φ) όπου A_mείναι το πλάτος και ω είναι η κυκλική συχνότητα ω=2πf =2π/Τ

Τα ημιτονοειδή σήματα είναι περιοδικά μεταβαλόμενα σήματα που εκφράζουν χρονικά μεταβαλλόμενες ποσότητες όπως της τάσης και του ρεύματος.

Για σύγκριση των σημάτων μεταξύ τους χρησιμοποιούνται αμετάβλητα μεγέθη όπως η μέση τιμή και η ενεργός τιμή (Χεν = A_m/2 ^1/2= 0,707A_m)

2. Εκθετικό σήμα x(t) =Am e^st s=σ+(-) jω σ,ω είναι πραγματικοί, j φανταστικός, s μιγαδικός

Aν ο εκθέτης είναι πραγματικός αριθμός s=σ το εκθετικό σήμα είναι εκθετική αύξηση αν σ>0 για ασταθείς καταστάσεις, εκθετική απόσβεση αν σ<0 και σταθερό αν σ=ο

Αν ο εκθέτης είναι φανταστικός s=+(-)jω το εκθετικό σήμα περιγράφει x(t) =Am e^jωt x(t) =Am e-^jωt

Συμφωνα με τον τύπο του Euler e^jωt =cosωt +sinωt και x(t) = Αme^jωt =Αmcosωt +jAmsinωt

Η εκθετική συνάρτηση είναι μιγαδικός αριθμός

Ο αριθμός Biot

Η μεταφορά θερμότητας σε μια διεπαφή θεωρείται παροδική θερμική ροή. Το σύστημα συμπεριφέρεται με διαφορετικό τρόπο ανάλογα με την τιμή που θα πάρει ο αριθμός Biot Bi =hL/k με μονάδες j/m²sK

Αν ο αριθμός Biot είναι μικρότερος από 0,1 το σύστημα συμπεριφέρεται σύμφωνα με την ψυξη Newtonian cooling

Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα δηλώνει ότι ο ρυθμός απώλειας θερμότητας ενός σώματος είναι ευθέως ανάλογος της διαφοράς θερμοκρασίας του σώματος με το περιβάλλον με την προυπόθεση πως η διαφορά θερμοκρασίας είναι μικρή

ενώ αν είναι μεγαλύτερο του 0,1συμπεριφέρεται σαν λύση σειράς

Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα είναι μια αναδιατύπωση της διαφορικής εξίσωσης του νόμου Fourie

{{\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A\cdot (T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)\quad }

ΠΗΓΕΣ

https://users.sch.gr/pnomikos/complex/complex.html

https://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_107_9365.pdf

https://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-B100/491/3192,12950/

https://www.mie.uth.gr/ekp_yliko/%CE%94%CE%B9%CE%B4%CE%B1%CE%BA%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82_2%CE%B7%CF%82_%CE%95%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%CF%82.pdf

{\displaystyle b}

el.wikipedia.org/wiki/Μιγαδικός_αριθμός

https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/sinusoidal-waveform.html

A geometric interpretation of multiplication of complex numbers

Suitcase of Dreams

ακατεργαστο

https://www.quora.com/How-do-complex-numbers-appear-in-physics-What-is-their-physical-interpretation-How-do-they-appear-in-equations-of-waves

Αρχικά, οι αριθμοί δεν έχουν φυσικό νόημα. Μπορούν να εκπροσωπούνται πολύ ωραία στην πραγματική ζωή, αλλά οι αναπαραστάσεις δεν είναι οι ίδιοι οι αριθμοί.

Οι σύνθετοι αριθμοί χρησιμοποιούνται στη φυσική για την απλούστευση των υπολογισμών. Η κύρια ιδέα πίσω από αυτό είναι το γεγονός ότι οι σύνθετοι αριθμοί είναι διδιάστατοι. Αν θέλετε να έχετε μια οπτική αναπαράσταση, σκεφτείτε το ως βέλος:

Για παράδειγμα, οι τάσεις και τα ρεύματα σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα έχουν πραγματικές τιμές, αλλά σε προβλήματα A / C, όπου μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με το χρόνο, μπορούμε να τις αναπαριστούμε ως πολύπλοκες αριθμούς και συνεπώς να συμπεριλάβουμε το εύρος και τη φάση της διακύμανσης σε έναν αριθμό.

Μπορούμε στη συνέχεια να κάνουμε αριθμητική με αυτούς τους αριθμούς για να δούμε τι συμβαίνει στο κύκλωμα, το οποίο είναι πολύ πιο εύκολο από το να χρειάζεται να λύσουμε πολλές συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις για να πάρουμε τη μορφή των λειτουργιών

Το σχεδιασμό περίπλοκων συστημάτων όπως τα ηλεκτρικά φίλτρα στο κινητό σας (χαμηλής διέλευσης, ζώνης, κλπ.), τα οποία χρησιμοποιούν πηνία, πυκνωτές, γραμμές μεταφοράς, μετασχηματιστές και αντιστάσεις, πολύπλοκες αριθμοί απλοποιούν σε μεγάλο βαθμό την άλγεβρα. Είναι ένας φυσικός και εύκολος τρόπος να αναπαρίσταται η επίδραση των συστατικών του φίλτρου τόσο στη φάση όσο και στο μέγεθος των ρευμάτων και των τάσεων που συμβαίνουν σε διάφορα σημεία του κυκλώματος φίλτρου ως συνάρτηση της συχνότητας μιας εισόδου δοκιμής. Αντιστρόφως, τα ημιτονοειδή κύματα είναι το φυσικό σήμα δοκιμής για ένα τέτοιο κύκλωμα (υπό την προϋπόθεση ότι το κύκλωμα είναι γραμμικό), καθώς αυτή είναι η μόνη κυματομορφή της οποίας το βασικό σχήμα θα παραμείνει αμετάβλητο κατά τη διέλευση μέσω του κυκλώματος (αν και το μέγεθος και η φάση σε διάφορα σημεία του κυκλώματος.)

"Eigenfunction" είναι το φανταχτερό όνομα αυτής της ιδέας. (μπορεί να είναι παγωμένος)

Η ερμηνεία σύνθετων αριθμών είναι εύκολο να γίνει αντιληπτή: οι σύνθετοι αριθμοί είναι αριθμοί που έχουν σημάδι που δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός, αλλά στο μεταξύ. Με άλλα λόγια, το σημάδι δεν είναι δυαδική έννοια, αλλά συνεχή.

Πάρτε για παράδειγμα το σημάδι των πολλαπλασιασμένων αριθμών. Σε κάποιο σημείο πιθανότατα έχετε διδάξει ότι το προϊόν δύο θετικών αριθμών ήταν θετικό, το προϊόν ενός θετικού και αρνητικού αριθμού ήταν αρνητικό και το προϊόν δύο αρνητικών αριθμών ήταν θετικό, χωρίς ποτέ να εξηγηθεί γιατί. Εδώ είναι μια εξήγηση που έχει νόημα: ένας αριθμός έχει ένα μέγεθος και ένα σημάδι, εκτός από το σημείο είναι μια συνέχεια που εκφράζεται ως γωνία από το μηδέν έως 360 μοίρες. Αν φανταστούμε μια συμβατική γραμμή αριθμών, το σήμα είναι η γωνιακή μετατόπιση από τη θετική κατεύθυνση. Έτσι +1 θα ήταν 1 @ 0 βαθμούς και -1 θα ήταν 1 @ 180 μοίρες. Ο λεγόμενος φανταστικός αριθμός θα ήταν ακριβώς μεταξύ: 1 @ 90 μοίρες. Αρνητικό θα ήμουν 1 @ 270 μοίρες. Τώρα τροποποιείται ο κανόνας του πολλαπλασιασμού: αντί της αυθαίρετης ανάθεσης σημείων όπως παραπάνω, ο νέος κανόνας είναι ότι πολλαπλασιάζουμε το μέγεθος και προσθέτουμε το γωνιακό σημάδι. Επομένως 1 x 1 είναι (1 x 1) @ (0 + 0) = 1 @ 0 = +1. Και 1 x -1 = 1 @ 0 x 1 @ 180 = (1x1) @ (0 + 180) = -1. Και -1 x -1 = (1x1) @ (180 + 180) = 1 @ 0 = 1.

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα για i, έχουμε i x i = (1x1) @ (90 + 90) = 1 @ 180 = -1. Επομένως, μπορούμε να ορίσουμε τον i ως αριθμό αντί για τα αποτελέσματα ενός χειριστή (ρίζα τετραγώνου -1).

Ίσως το πιο ενδιαφέρον από όλους, οι αποκαλούμενοι «φανταστικοί» αριθμοί δεν είναι πιο φανταστικοί από τους αρνητικούς αριθμούς. Κάποιος δεν αναμένει να συναντήσει φανταστικούς αριθμούς στη φύση με τον ίδιο τρόπο που κανείς δεν αναμένει να συναντήσει αρνητικούς αριθμούς. Οι αρνητικοί αριθμοί είναι απλώς μια ειδική περίπτωση φανταστικών αριθμών.

exp (jwt) = cos (wt) + j * sin (wt) όπου «j» = sqrt (-1)

και "exp (..)" σημαίνει το e-to-the-power (..)

Όλα αυτά ισχύουν για τα φυσικά συστήματα του πραγματικού κόσμου εν γένει, όπου η μάζα και η ελαστικότητα παίζουν ρόλους ανάλογους με την ηλεκτρική επαγωγή και την ικανότητα, υπό την προϋπόθεση ότι τα συστήματα είναι λογικά

"γραμμικός." Σε αυτό το πλαίσιο, η "γραμμική" σημαίνει ότι η απόκριση που παίρνετε όταν εφαρμόζετε μια είσοδο δοκιμής A + B ισούται (η απάντηση στο A μόνο) + (η απάντηση στο B μόνο).

A fundamental physical constant occurring in quantum mechanics is the Planck constant, h. A common abbreviation is ħ = h/2π, also known as the reduced Planck constant or Dirac constant.

Wavefunction	ψ, Ψ	To solve from the Schrödinger equation	varies with situation and number of particles
Wavefunction probability density	ρ	$\rho = \left \| \Psi \right \|^2 = \Psi^* \Psi$	m⁻³	[L]⁻³
Wavefunction probability current	j	Non-relativistic, no external field: $\mathbf{j} = \frac{-i\hbar}{2m}\left(\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^\right)$ $= \frac\hbar m \mathrm{Im}(\Psi^\nabla\Psi)=\mathrm{Re}(\Psi^* \frac{\hbar}{im} \nabla \Psi)$ star * is complex conjugate	m⁻² s⁻¹	[T]⁻¹ [L]⁻²

The general form of wavefunction for a system of particles, each with position r_i and z-component of spin s_{z i}. Sums are over the discrete variable s_z, integrals over continuous positions r.

For clarity and brevity, the coordinates are collected into tuples, the indices label the particles (which cannot be done physically, but is mathematically necessary). Following are general mathematical results, used in calculations.

Property or effect	Nomenclature	Equation
Wavefunction for N particles in 3d	r = (r₁, r₂... r_N) s_z = (s_z 1, s_z 2, ..., s_{z N})	In function notation: $\Psi = \Psi \left (\mathbf{r}, \mathbf{s_z}, t \right )$ in bra–ket notation: $\|\Psi\rangle = \sum_{s_{z1}} \sum_{s_{z2}}\cdots\sum_{s_{zN}}\int_{V_1}\int_{V_2}\cdots\int_{V_N} \mathrm{d}\mathbf{r}_1\mathrm{d}\mathbf{r}_2\cdots\mathrm{d}\mathbf{r}_N \Psi \|\mathbf{r}, \mathbf{s_z}\rangle$ for non-interacting particles: $\Psi = \prod_{n=1}^N\Psi \left (\mathbf{r}_n,s_{zn}, t \right )$
Position-momentum Fourier transform (1 particle in 3d)	Φ = momentum-space wavefunction Ψ = position-space wavefunction	${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \\&\upharpoonleft \downharpoonright \\\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {p} _{n}\\\end{aligned}}$
General probability distribution	V_j = volume (3d region) particle may occupy, P = Probability that particle 1 has position r₁ in volume V₁ with spin s_z1 and particle 2 has position r₂ in volume V₂ with spin s_z2, etc.	$P = \sum_{s_{zN}}\cdots\sum_{s_{z2}}\sum_{s_{z1}}\int_{V_N}\cdots\int_{V_2}\int_{V_1} \left \| \Psi \right \|^2\mathrm{d}^3\mathbf{r}_1\mathrm{d}^3\mathbf{r}_2\cdots\mathrm{d}^3\mathbf{r}_N\,\!$
General normalization condition		$P = \sum_{s_{zN}}\cdots\sum_{s_{z2}}\sum_{s_{z1}}\int\limits_{\mathrm{all \, space}}\cdots\int\limits_{\mathrm{all \, space}}\int\limits_{\mathrm{all \, space}} \left \| \Psi \right \|^2\mathrm{d}^3\mathbf{r}_1\mathrm{d}^3\mathbf{r}_2\cdots\mathrm{d}^3\mathbf{r}_N = 1\,\!$

Equations[edit]

Wave–particle duality and time evolution[edit]

Property or effect	Nomenclature	Equation
Planck–Einstein equation and de Broglie wavelength relations	P = (E/c, p) is the four-momentum, K = (ω/c, k) is the four-wavevector, E = energy of particle ω = 2πf is the angular frequency and frequency of the particle ħ = h/2π are the Planck constants c = speed of light	$\mathbf{P} = (E/c, \mathbf{p}) = \hbar(\omega /c ,\mathbf{k}) = \hbar \mathbf{K}$
Schrödinger equation	Ψ = wavefunction of the system Ĥ = Hamiltonian operator, E = energy eigenvalue of system i is the imaginary unit t = time	General time-dependent case: $i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H}\Psi$ Time-independent case: $\hat{H}\Psi = E\Psi$
Heisenberg equation	Â = operator of an observable property [ ] is the commutator $\langle \, \rangle$ denotes the average	$\frac{d}{dt}\hat{A}(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}(t)]+\frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t},$
Time evolution in Heisenberg picture (Ehrenfest theorem)	m = mass, V = potential energy, r = position, p = momentum, of a particle.	$\frac{d}{dt}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{A},\hat{H}] \rangle+ \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle$ For momentum and position; $m\frac{d}{dt}\langle \mathbf{r}\rangle = \langle \mathbf{p} \rangle$ $\frac{d}{dt}\langle \mathbf{p}\rangle = -\langle \nabla V \rangle$

Non-relativistic time-independent Schrödinger equation[edit]

Summarized below are the various forms the Hamiltonian takes, with the corresponding Schrödinger equations and forms of wavefunction solutions. Notice in the case of one spatial dimension, for one particle, the partial derivative reduces to an ordinary derivative.

	One particle	N particles
One dimension	$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2} + V(x)$	$\begin{align}\hat{H} &= \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V(x_1,x_2,\cdots x_N) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + V(x_1,x_2,\cdots x_N) \end{align}$ where the position of particle n is x_n.
	$E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}\Psi + V\Psi$	$E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Psi + V\Psi \, .$
	$\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.$ There is a further restriction — the solution must not grow at infinity, so that it has either a finite L²-norm (if it is a bound state) or a slowly diverging norm (if it is part of a continuum):^[1] $\\| \psi \\|^2 = \int \|\psi(x)\|^2\, dx.\,$	$\Psi = e^{-iEt/\hbar}\psi(x_1,x_2\cdots x_N)$ for non-interacting particles $\Psi = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(x_n) \, , \quad V(x_1,x_2,\cdots x_N) = \sum_{n=1}^N V(x_n) \, .$
Three dimensions	$\begin{align}\hat{H} & = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r}) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \end{align}$ where the position of the particle is r = (x, y, z).	$\begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \end{align}$ where the position of particle n is r _n = (x_n, y_n, z_n), and the Laplacian for particle n using the corresponding position coordinates is $\nabla_n^2=\frac{\partial^2}{{\partial x_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z_n}^2}$
	$E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi$	$E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi + V\Psi$
	$\Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar}$	$\Psi = e^{-iEt/\hbar}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N)$ for non-interacting particles $\Psi = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(\mathbf{r}_n) \, , \quad V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots \mathbf{r}_N) = \sum_{n=1}^N V(\mathbf{r}_n)$

Non-relativistic time-dependent Schrödinger equation[edit]

Again, summarized below are the various forms the Hamiltonian takes, with the corresponding Schrödinger equations and forms of solutions.

	One particle	N particles
One dimension	$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)$	$\hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V(x_1,x_2,\cdots x_N,t) = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + V(x_1,x_2,\cdots x_N,t)$ where the position of particle n is x_n.
	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi + V\Psi$	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Psi + V\Psi \, .$
	$\Psi = \Psi(x,t)$	$\Psi = \Psi(x_1,x_2\cdots x_N,t)$
Three dimensions	$\begin{align}\hat{H} & = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t) \\ \end{align}$	$\begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t) \end{align}$
	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi$	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi + V\Psi$

Οι μιγαδικοί αριθμοί στις Φυσικές Επιστήμες

Equations[edit]

Wave–particle duality and time evolution[edit]

Non-relativistic time-independent Schrödinger equation[edit]

Non-relativistic time-dependent Schrödinger equation[edit]

Επαφή