Αρχική Σελίδα > ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ 1ο, Συντηρητικά πεδία, συντηρητικές δυνάμεις, (Βαρυτικό, ηλεκτροστατικό, μαγνητικό) Η συντηρητική δύναμη σαν μεταφορέας ενέργειας μεταξύ δυναμικής και κινητικής της μορφής μέσω του έργου της και οι ιδιότητές τους

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ 1ο, Συντηρητικά πεδία, συντηρητικές δυνάμεις, (Βαρυτικό, ηλεκτροστατικό, μαγνητικό) Η συντηρητική δύναμη σαν μεταφορέας ενέργειας μεταξύ δυναμικής και κινητικής της μορφής μέσω του έργου της και οι ιδιότητές τους

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Χημικός Δευτεροβάθμιας Εκπ/σης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

Όταν επιδρουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις το ολικό έργο είναι η αρνητική μεταβολή της Δυναμικής Ενέργειας

Το έργο Δύναμης παίζει τον ρόλο του μεταφορέα. Εάν πρόκειται για συντηρητικές δυνάμεις, η μείωση της δυναμικής ενέργειας είναι ίση με το έργο της δύναμης

Αν μια συντηρητική δύναμη κινείται μόνο στο ένα από τους τρεις άξονες συντεταγμένων, το ολικό έργο παράγεται μόνο στον άξονα της κίνησης ενώ στους άλλους είναι μηδέν

Όταν επιδρουν συντηρητικές και μη συντηρητικές δυνάμεις το έργο που παράγεται από την μη συντηρητική είναι το άθροισμα της μεταβολής της Δυναμικής και της κινητικής ενέργειας και δεν μπορεί να υπολογιστεί επακριβώς εκτός εάν γίνουν γνωστές οι λεπτομέρειες της κίνησης

7η Διάλεξη.pdf

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΦΥΣΙΚΗ

ΠΕΔΙΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ -ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΔΙΟΥ- ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ- Η ΔΥΝΑΜΗ

Πεδίο δύναμης είναι ένα διανυσματικό πεδίο F(x, y, z) που περιγράφει μια δύναμη χωρίς επαφή που ενεργεί σε ένα σωματίδιο σε κάποια θέση στον χώρο

(και όχι ο χώρος στον οποίο ασκούνται δυνάμεις όπως λένε τα σχολικά βιβλία).

Δυναμικό πεδίου δύναμης είναι ένα βαθμωτό (μονόμετρο) μέγεθος με συγκεκριμένη και μοναδική τιμή σε κάθε σημείο και είναι ίσο με το αρνητικό έργο που εκτελεί η δύναμη του πεδίου από μια θέση αναφοράς έως την πηγή του πεδίου (Joule/υπόθεμα του πεδίου)

Η Δυναμική ενέργεια πεδίου είναι ένα βαθμωτό μέγεθος που υποδηλώνει την αλληλεπίδραση των υποθεμάτων του πεδίου (μάζα, φορτίο κ.λ.π.) σε ορισμένο σημείο. Παράγεται η ενέργεια αυτή από διάφορες συντηρητικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης που επιστρέφουν την ενέργεια που έχουν παράγει.

Δύναμη (στα μαθηματικά σε μια ορισμένη κατεύθυνση ορίζεται σαν η αρνητική παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας εφαπτόμενη της καμπύλης της δυναμικής ενέργειας dU σε στοιχειώδες διάστημα dx

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΕΔΙΟΥ

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟ ΠΕΔΊΟ - ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ)

Ένα συντηρητικό πεδίο δύναμης είναι ένα πεδίο δύναμης που, εκτός του ότι εξαρτάται από τα x, y, z και όχι άλλες ποσότητες, είναι και αστρόβιλο (curl(F)=0). Δηλαδή, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της F σε κάθε κλειστή διαδρομή (το έργο που παράγει σ΄ αυτή της διαδρομή) είναι 0

Παραδείγματα συντηρητικών δυνάμεων είναι η βαρυτική δύναμη, η ηλεκτροστατική δύναμη, η δύναμη του ιδανικού ελατηρίου κ.α.

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ - ΕΡΓΟ- ΕΝΕΡΓΕΙΑ (συνοψίζουμε)

ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

Αν μια δύναμη είναι συντηρητική είναι δυνατόν να ορίσουμε σε σχέση με αυτήν ένα Δυναμικό

Στο βαρυτικό πεδίο (συντηρητικό ) το βαρυτικό δυναμικό ταυτίζεται με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και το r_o είναι η πηγή του πεδίου και r το σημείο που μετράμε το δυναμικό

\Phi (r)=-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot d\mathbf {r}

Στο ηλεκτρικό πεδίο (συντηρητικό) το ηλεκτρικό δυναμικό η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου και δίνεται με επικαμπύλιο ολοκλήρωμα όπου 0 είναι το σημείο αναφοράς όπου συνήθως εκεί το δυναμικό είναι 0

V(R)=-\int _{O}^{R}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,

ΤΟ ΕΡΓΟ ΜΙΑΣ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ

Το έργο μιας συντηρητικής δύναμης που μετακινείται μεταξύ δύο σημείων

είναι ανεξάρτητο της διαδρομής που ακολούθησε και εξαρτάται μόνο από το αρχικό και τελικό σημείο

Στην περίπτωση που μετακινείται σε κλειστή διαδρομή παράγει συνολικό έργο ίσο με μηδέν $\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=0$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Αν η Δυναμική Ενέργεια συντηρητικού πεδίου σε κάποιο σημείο P_oείναι U(P_o) τότε σε οποιοδήποτε σημείο r τιμή της δυναμικής ενέργειας

το ολοκλήρωμα της (Δύναμης)•(dr), συν την αρχική δυναμική ενέργεια U(Po).

U(P) = - ʃ Fdr+ U(Po) Αν ορίσουμε U(Po) να είναι μηδέν τότε: U(P) = - ʃ Fdr

Το έργο στο οποίο μετατρέπεται αυτή η δυναμική ενέργεια είναι το ολοκλήρωμα μεταξύ αρχικού και τελικού σημείου

$W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$

Και αν έχουμε κλειστή διαδρομή, δηλαδή αν τα αρχικά και τελικά σημεία είναι τα ίδια, το έργο είναι μηδέν $\oint _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=0$ πρόκειται δηλαδή για ένα πεδίο συντηρητικό

(Οι υπολογισμοί μπορεί να γίνουν ευκολότερα εάν αντί για ένα διάνυσμα συντηρητικόυ πεδίου δώσουμε την ενός κλίση βαθμωτού δυναμικού ${\vec {F}}=\nabla \phi$ οπότε

Το έργο που γίνεται είναι απλά η διαφορά στην αξία αυτού του δυναμικού στα αρχικά και τελικά σημεία της διαδρομής. Αυτά τα σημεία δίνονται με χ = a και χ = b, αντίστοιχα:

W=\phi (b)-\phi (a)

ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ (ΒΑΡΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ)

Η Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο μπορεί ακόμα να δοθεί σαν γινόμενο της μάζας επί μιαν άλλη συνάρτηση y που είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου που ταυτίζεται με την επιτάχυνση βαρύτητας g
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΓΙΑ ΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Η Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο μπορεί ακόμα να δοθεί σαν γινόμενο της μάζας επί μιαν άλλη συνάρτηση y που είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου που ταυτίζεται με την επιτάχυνση βαρύτητας g

Αν y= m.γ =μ.du_x/dt τότε

ʃ F_x(x)dx= ʃ m du_x/dt dx και

W= ʃ m du_x/dt dx =m[1/2 u_x²] = m (1/2 u_b² -1/2 u_a² )

Αυτό το έργο είναι ίσο και με μεταβολή στην κινητική ενέργεια W= ΔΕ = m 1/2 u_b² - m1/2 u_a²
- Δηλαδή το έργο παίζει τον ρόλο του μεταφορέα που μεταφέρει ενέργεια από την δυναμική της μορφή στην κινητική και η μείωση της δυναμικής ενέργειας είναι ίση με το έργο της δύναμης

ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

εάν πρόκειται την ελαστική ενέργεια και για δύναμη ελατηρίου ʃ F_x(x)dx= W= ʃ (-kx) dx και

Η ελαστική δυναμική ενέργεια που αποθηκεύει το ελατήριο με την επιμήκυνση ή συμπίεση του ελατηρίου και αυξάνεται τετραγωνικά U= 1/2 kx²

και το έργο για μεταβολή του μήκους από a σε β W= -k[1/2 x²] = 1/2 k(a² -b²)

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ή αν πρόκειται για μεταβαλλόμενη δύναμη

ΔWi= Fx(xi)Δx ΣΔWi = Fx(xi)Δx

ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Μια διατηρητική (συντηρητική) δύναμη "επιστρέφει" την μηχανική ενέργεια που μετέφερε με την παραγωγή έργου :

Είτε μεταφέροντας από την δυναμική μορφή της ενέργειας στην κινητική της μορφή και αντίστροφα

Όταν δρουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, το ολικό έργο είναι η αρνητική μεταβολή της δυναμικής ενέργειας W = -ΔU

Κάθε μεταβολή στην δυναμική ενέργεια αντισταθμίζεται από μια αντίθετη μεταβολή στην κινητική ενέργεια ΔU = - ΔΚ

ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

To Ηλεκτροστατικό πεδίο είναι ένα συντηρητικό πεδίο που αναπτύσσεται γύρω από ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο.

Περιγράφεται από τον αρχικό νόμο του Ambere .

Ο Νόμος του Ampere $\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {enc} }$ και θα δώσει

Η είναι το μαγνητικό επαγωγικό πεδίο σε Α/μέτρα . Ισχύει $\mathbf {B} \ =\ \mu \mathbf {H}$

To J είναι η πυκνότητα του ρεύματος σε Α/m^{2 το} $\oint _{C}$ ε'ιναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, dS για την επιφάνεια S,

Αν I =0 μπορεί να θεωρηθεί ότι πρόκειται για ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο

Mαθηματικά περιγράφεται από τον νόμο του Gauss για τον ηλεκτρισμό που περιγράφει τη σχέση ανάμεσα σε ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο και τα ηλεκτρικά φορτία που το προκαλούν και αντιστοιχεί στην πρώτη από τις εξισώσεις maxwell.

Η πρώτη εξίσωση του Maxwell (Νόμος του Gauss) με την ολοκληρωτική και διαφορική της μορφή μας λέει ότι το Ηλεκτροστατικό πεδίο είναι αστρόβιλο δηλαδή συντηρητικό

Αυτό δίνεται και με την ολοκληρωτική και με την διαφορική του μορφή για κλειστή επιφάνεια και για βρόγχο

$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$ $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=0$

Στην ατομική Φυσική και Χημεία το ηλεκτρικό πεδίο (ηλεκτροστατικό και ηλεκτρομαγνητικό) δίνει τη δύναμη που συγκρατεί τον ατομικό πυρήνα και τα ηλεκτρόνια μαζί στο άτομο

ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

To Μαγνητοστατικό πεδίο είναι ένα συντηρητικό πεδίο που αναπτύσσεται γύρω από έναν μαγνήτη και η ισχύ του μπορεί να διαφέρει όπως και οι δυναμικές του γραμμές

Η δεύτερη εξίσωση του Maxwell (Νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό) μας λέει ότι το Μαγνητικό πεδίο είναι αστρόβιλο δηλαδή συντηρητικό

Αυτό δίνεται και με την ολοκληρωτική και την διαφορική του μορφή

$\oiint$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

Όμως σύμφωνα με το θεώρημα Έργου- Ενέργειας, η μεταβολή στην κινητική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με το ολικό έργο που παράγεται σ' αυτό (από συντηρητικές και μη συντηρητικές δυνάμεις

ΔΕ =W_ολικό = W_{συντηρτικών} + W_{μη συντηρητικών}

Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ X, Y, Z

Ένα δεύτερο σημείο είναι ότι αφού η δυναμική ενέργεια θεωρήθηκε το ολοκλήρωμα της (Δύναμης)•(ds)

Εάν δοθεί δυναμική ενέργεια του σώματος στο σημείο (x,y,z) και θέλουμε την δύναμη που δρα στο σημείο αυτό, που κινείται κατά ds με έργο DU ίσο με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, ∫F•ds=-DU

θα πρέπει να θεωρήσουμε τις τρεις συνιστώσες του διανύσματος x, y, z ώστε η Δυναμική ενέργεια λαμβάνεται επίσης στις τρεις συνιστώσες U(x,y,z) και ακόμα η

Όταν F_x=-dU/dx, , Fy=-dU/dy Fz=-dU/dz

Σε κάθε περίπτωση θεωρείται ότι αλλάζει μόνο το ένα Π.χ. το x και τα άλλα δύο μένουν σταθερά γράφεται και λέγεται μερική παράγωγος (dU/dx)_yz, που είναι παράγωγος που μεταβάλλεται ένα μόνο μέρος των μεταβλητών.

-DU= ʃ F_x(x)ds_x -DU=ʃ F_y(x)ds_y - DU=ʃ F_z(x)ds_z

Αυτός είναι ο τρόπος να αντληθεί ενέργεια από την Δυναμική Ενέργεια που είναι ίση με το παραγώμενο έργο

ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΕ ΜΟΝΟ ΕΝΑΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΤΡΕΙΣ ΑΞΟΝΕΣ

Το έργο δύναμης στις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: W= ∫F•ds = ʃ F_x(x)ds_{x +}ʃ F_y(x)ds_y + ʃ F_z(x)ds_z

Αν όμως μια δύναμη κινείται μόνο στον έναν από τους τρεις άξονες π.χ. τον z τότε για τους άλλους δύο άξονες η αρχική και τελικό σημείο ταυτίζονται άρα το έργο σε αυτούς είναι μηδέν . W= ∫F•ds = ʃ F_z(x)ds_z

Για δυναμική ενέργεια σταθερής δύναμης σε άξονες x, y, z έχουμε: W= ∫F•ds = ʃ F_x(x)ds_{x +}ʃ F_y(x)ds_y + ʃ F_z(x)ds_z

ΔΕ =W_ολικό = W_{συντηρτικών} + W_{μη συντηρητικών}

ΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΑΙ Η ΕΜΒΕΛΕΙΑ ΤΟΥΣ

Κατά σειρά μειούμενης ισχύος 'εχουμε:

Η ισχυρή πυρηνική δύναμη. Ασκείται σε πυρηνικά σωματίδια. Είναι ισχυρότερη από όλες, Τάξη μεγέθους 10⁴Ν. Είναι πολύ μικρής εμβέλειας 10^-15m. Συγκρατεί τα σωματίδια στον πυρήνα.

Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη Ασκείται σε ηλεκτρικά φορτία . Τάξη μεγέθους 10²Ν. Είναι άπειρη εμβέλεια

Η ασθενής πυρηνική δύναμη: Ασκείται σε στοιχειώδη σωματίδια Τάξη μεγέθους 10-²Ν. Μικρής εμβέλειας 10^-17m. Προκαλέι ραδιενεργό διάσπαση

Η βαρυτική δύναμη: Ασκείται σε μάζες m. Τάξη μεγέθους 10-34Ν. Άπειρης εμβέλειας

ΠΗΓΕΣ

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87

Μη συντηρητικές δυνάμεις

Πεδίο δυνάμεων και συντηρητικές δυνάμεις – Υλικό Φυσικής – Χημείας

Appl6.pdf

Ηλεκτροστατική - Βικιπαίδεια

7η Διάλεξη.pdf

Βασικές Μαγνητικές Έννοιες και Ορισμοί | Μαγνητική φυσική. Σχολικό βιβλίο

Μη συντηρητικές δυνάμεις

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0

Επαφή