Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Διαφορικός Λογισμός. Μέρος Δεύτερο:. Σύνηθεις ΔΕ. ΔΕ πρώτης τάξης. Γραμμική διαφορική εξίσωση Ομογενείς, και όχι ομογενείς, .Χωρ/νων μεταβλητών ,Ορθογώνιες τροχιές.

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

Όπως έχει αναφερθεί 

 Ο Λογισμός είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών που επιτυγχάνει να έχει διαρκή αποτελέσματα κατά την διάρκεια των μεταβολών αυτών, είτε όσον αφορά τον τρόπο που γίνονται (κλίσεις καμπυλών στον διαφορικό λογισμό) ή τον υπολογισμό των συνολικών ποσοτήτων που παράγονται κατά την διάρκεια των μεταβολών αυτών με τον ολοκληρωτικό λογισμό

Στον Διαφορικό Λογισμό περιλαμβάνονται οι Σύνηθεις και οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Τι είναι διαφορική εξίσωση

Είναι μια Μαθηματική εξίσωση που περιλαμβάνει συναρτήσεις και τις παραγώγους τους. Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται επίλυση πολλών προβλημάτων εκπομπής ραδιενεργού ακτινοβολίας, μηχανικής, αγωγής θερμότητας, χημικός αντιδραστήρας, ηλεκτρικών κυκλωμάτων,  ρευστών, προβλήματα ανατοκισμού , πληθυσμιακές δυναμικές για την βιολογία αλλα και την δημογραφία, κ.α.

Είδη διαφορικών  εξισώσεων

α.Σύνηθεις διαφορικές εξισώσεις: Περιέχει μια συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Διακρίνονται σε ομοιογενείς και ανομοιογενείς, σε πρώτης και δευτέρας τάξης. y΄= f(x,y) Παραδείγματα: 

dy/dx =2xy,    xdy/dx =y-1,   d²y/dx² =ax,   d²y/dx²  +dy/dx +y =0,    du/dy = dy/dx,      dx/dy + dx/dy +2 =0,   d²u/dx²  +d²u/dt² =2du/dt

β. Διαφορικές εξισώσεις με μερικούς παραγώγους: 

Οι συναρτήσεις S, R, P είναι συναρτήσεις περισσότερων της μιας  μεταβλητών.R΄ =R(x,y,z). Συνήθως γράφονται με κεφαλαίο γράμμα.

dS(t)/dt =-β[S(t)/P] I(t) +αR(t) + μ[ P -S(t)]

dR(t) = β[S(t)/P] I(t)  -γI(t) 

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις είναι οιεξίσωση Laplace , η εξισωση κύματος 

εξίσωση διάχυσης ς ∂T(x,t)/ ∂t = α ∂2T(x,t)/ ∂x2
Μια τέτοια διάσημη εξίσωση μερικών παραγώντων είναι η εξίσωση  Schrödinger 

Απλές περιπτώσεις Σύνηθων Διαφορικών Εξισώσεων

Περιέχουν μια συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Συχνά οι εξισώσεις αυτές μοντελοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Γενικά μορούμε να πούμε πως ακολουθούμε κάποιους γενικούς κανόνες -βήματα όπως: 

 Αρχικά Βάζουμε την διαφορική εξίσωση σε σωστή μορφή. 

Βρίσκουμε κάποιον παράγοντα που αν τον ενσωματώσουμε στην ΔΕ αυτή θα επιλύεται ευκολότερα,

στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε αμφότερα τα μέλη της εξίσωσης.

Συνεχής ολοκλήρωση στην συνέχεια και στα δύο μέλη και λύνουμε.

1.Γραμμικές  Διαφορικές εξισώσεις Πρώτης τάξης (χωριζόμενων μεταβλητών, ομοιογενείς, μη ομοιογενείς)

Γραμμικές ΔΕ είναι αυτές που περιλαμβάνουν μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή και τα παράγωγά της με γραμμικό τρόπο (πολλαπλασιασμό με μια μη μηδενική συνάρτηση μπορεί και σταθερή)

y΄ +P(x)y =f(x)   ή  

Α. Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης dy/dt +p(t)y =g(t)

Μπορεί να είναι ομογενής αν g(t)=0 ή μη ομογενής αν g(t) διάφορο από  0

 B. Oμογενείς διαφορικές εξισώσεις - μη ομογενελις ΔΕ

1. Γραμμικές οποιασδήποτε τάξης με σταθερό μηδενικό όρο

2. 1ης τάξης και συντελεστές διαφορικών dx , dy ίδιου βαθμού

Από τον ορισμό έχουμε Oμογενείς διαφορικές εξισώσεις  αν  f(λx₁, λx₂, λx₃,  ...λx_n,) = λⁿ f(x₁, x₂, x₃,  ...x_n,)

Για δύο μεταβλητές είναι ΔΕ του τύπου  f(xt,yt) = t^α f(x,y) που είναι βαθμού  ομοιογένειας α

Αν έχουμε ομογενή βαθμού 0 τότε t^{α=1 ,} παίρνουμε την ομογενή πρώτης τάξης : d(y)/d(x) =f(x,y)

Σημείωση οι ομοιογενείς ΔΕ γενικά  επιλύονται με μετασχηματισμό : y(x) = xu(x) και μετασχηματίζουμε την προηγούμενη ως εξής : xdu(x)/dx +u =f(x,y) . αυτή είναι f(1,u) αν x>0 και f(-1.-u) αν x<0

Α1 Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ομοιογενής είναι αν g(t)=0 

άρα έχουμε dy/dt +p(t)y =0 όπως 1. y΄+ 3x2y=0 ,  2.  xy΄ +y =0 ->  y΄ + 1/x .y =0 

 Α2 Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης μη ομογενής (ανομοιογενής) 

Σε κάποιες περιπτώσεις (όχι πάντοτε, συνηθίζεται να μετακινούνται όλοι οι μη γραμμικοί όροι στο δεξιό μέρος

είναι αν g(t)όχι 0 έχουμε dy/dt +p(t)y =g(t)   όπως y΄ +3xy =7/x² + 3

dy/dt +p(t)y =g(t) μετατρέπουμε σε αυτήν την μορφή ( πολλαπλασιάζουμε επί την  μ(t) που είναι συνάρτηση συνεχής και πρέπει να αποτελεί λύση της αντοίστοιχης ομοιογενούς  dy/dt +p(t)y =0 

μ(t)dy/dt + μ(t)p(t)y = μ(t)g(t)              έτσι ώστε  μ(t)p(t) =μ΄(t)    τότε

μ(t)dy/dt + μ΄(t)p(t) = μ(t)g(t)  και φτάνουμε στην μ(t)dy/dt + μ(t)p(t)y = μ(t)g(t)  . Το πρώτο μέρος είναι αάπτυγμα ττου γινομένου   (μ(t)y(t))΄

 μ(t)dy/dt + μ(t)p(t)y =  (μ(t)y(t))΄ ή 

 μ(t)g(t) = (μ(t)y(t))΄  Εδώ ολοκληρώνουμε και φτάνουμε στη λύση μ(t)y(t) +c = [ μ(t)g(t) dt . Στη συνέχεια δουλεύουμε με τις σταθερές της ολοκλήρωσης ανάλογα με το θέμα.

Παράδειγμα γραμμικής μη ομογενούς ΔΕ

Την στιγμή t=0 ανάβουμε τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα ισχύος p=4kw και χωρητικότητας 80lt. Έχουμε όμως ξεχάσει ανοικτή την βρύση του ζεστού νερού, από όπου χύνεται νερό με ρυθμό q=0,5lt/min. Το νερό που χύνεται συμπληρώνεται με κρύο νερό από το δίκτυο, θερμοκρασίας Το=10_οC. Να βρούμε τηνΔΕ και την θερμοκρασία του νερού μετά από χρόνο t Ειδική θερμότητα νερού c=1kcal/kg , και 1joule=acal και w=j/sec και πυκνώτητα νερού ρ=1kg/lt.

Ο θερμοσίφωνας παίρνει θερμότητα από το ηλεκτρικό ρεύμα ΔQ= aPdt 

Ένα μέρος χρησιμοποιείται για να ανεβάσει την θερμοκρασία του νερού ΔQ=cmΔΤ = cρVΔΤ= cρV(Τ-Το)

Ένα μέρος νερού m _β =ρV χάνεται από την ανοικτή βρύση ίσο με   qdtρ    ( q=V/dt  και ρ=m/V)

Αυτή είναι η μάζα που πρέπει να δεχθεί επί πλέον ενέργεια γιατί προστίθεται μετά στον θερμοσίφωνα

Η θερμότητα που αμαιτείται για να απορροφηθεί από την μάζα που συμπληρώνεται είναι ΔQ συμπλ =cqdtρΔΤ

cρV(Τ-Το) = aPdt -cqdtρΔΤ  ή cρV(Τ-Το)/cρV = aPdt/cρV -cqdtρΔΤ /cρV  ή  ΔΤ = aPdt/cρV -dtρΔΤ /V  ή 

ΔΤ/dt = aP/cρV - (ρ /V )ΔΤ   εδώ το  Τ=y και t=x το  aP/cρV είναι το g(t)  (εφόσον Η ισχύς είναι ΔQ/dt )  και το ρ /V )ΔΤ  είναι το p(t)y 

Γ. Διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών P(x) dx +Q(y)dy =0 

Χωρίζουμε την ΔΕ ώστε στο πρώτο μέλος να πάει η μια μεταβλητή. Αν έχω δυο μεταβλητές μια στο κάθε μέλος

Μια διαφορική εξίσωση δύο μεταβλητών που μπορεί να πάρει την μορφή  : 

P(x) dx +Q(y)dy =0 

προκύπτει P(x)/dy =Q(y)/dx Λογαριθμόντας την αρχική

όπου c  αυθαίρετη πραγματική σταθερά. καταλήγοντας έχουμε y(x_o) =y_o k

Παραδείγματα.Σε διάφορες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε τις ΔΕ χωριζόμενες μεταβλητές (κάτω διάγραμμα)

πιο συγκεκριμένα:

1. Εκθετική μείωση

Παράδειγμα διαφορικής εξίσωσης στην οποία υπολογίζουμε τον ρυθμό διάσπασης ραδιενεργών πυρήνων

Απλό παράδειγμα σύνηθους διαφορικής εξίσωσης 

 είναι ο ρυθμός διάσπασης ραδιενεργών πυρήνων που είναι ανάλογος των αδιάσπαστων πυρήνων: 

 dN/dt = -aN  όπου Ν(t) οι αδιάσπαστοι ραδιενεργοί πυρήνες σε χρόνο t, No οι αδιάσπαστοι πυρήνες σε χρόνο t=0 και a σταθερά διάσπασης

στην επίλυση έχω dN/N =-adt 

ολοκληρώνουμε και έχουμε lnN = -at +c   όπου lnNo = c και lnN = -at +lnNo  --> lnN/lnNo =-at --> ln(N/No) =-at ---> N/No = e^-atd

2 Εκθετική αύξηση

 Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση": κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμοιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t=t₁ και βρίσκουμε Ν₀ και Ν₁ αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τ. (Υπόδειξη: Σε χρόνο τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται.) 

Έστω έχουμε Ν ₀ αμοιβάδες σε χρόνο t=0. Σε χρόνο t₁ o αριθμός των αμοιβάδων είναι  Ν₁. 

ΔΝ= Ν₁-Ν₀  ο αριθμός των διχοτομήσεων στην μονάδα του χρόνου  είναι ανάλογος του αρχικού πλήθους Ν₀ άρα:  ΔΝ/Δt = λΝ₀

Από αυτό προκύπτει με μαθηματική λύση ότι o αριθμός των διχοτομήσεων είναι Ν(t) = ce^kt

Το c προκύπτει ως εξής: Σε t=0 έχουμε Ν(0) = ce^-λ0  = c.1 =c  δηλαδή Ν= Ν₀e^-λt   

Σε χρόνο t₁ ;  Ν₁= Ν₀e^-λt₁ (1)

θέτουμε τ=1/λ

Αν ζητάμε τον χρόνο υποδιπλασιασμού της αρχικής ποσότητας Ντ=Νο/2  έχουμε Νο/2 =Νοe^-λτ  ->1/2 =e^-λτ  ->

Παράδειγμα ομογενούς ΔΕ 

Διανυσματικές γραμμές είναι καμπύλες που σε κάθε σημείο τους (x^.,y^.,z^.) η εφαπτώμενη έχει την διεύθυνση του διανύσματος της έντασης του πεδίου Α^.

Ισοδυναμικές γραμμές πεδίου Η τιμή της έντασης του εκάστοτε πεδίου είναι ίδια κατά μήκος της κάθε διανυσματικής γραμμής 

Αν το Α^.  παριστάνει δύναμη ένουμε Δυναμικές γραμμές είναι οι τροχιές που ακολουθούν τα σχετικά υποστρώματα (μάζα, φορτίο, ) αν βρεθούν μέσα στο πεδίο (βαρυτικό, ηλεκτρικό, )

Αν το Α^.  παριστάνει θερμκρασία, ένουμε Ισοθερμικές καμπύλες όπου σε κάθε σημείο τους η θερμοκρασία έχει την ίδια τιμή.

 Η οικογένεια των ορθογωνίων καμπυλών είναι οι καμπύλες, κατά μήκος των οποίων διαδίδεται η θερμότητα

Έστω c γραμμή του διανυσματικού πεδίου.  Το εφαπτομενικό διάνυσμα r^.(t) =x(t)i + y(t)j +z(t)k όπου i, j, k, είναι τα μοναδιαία διανύσματα που είναι παράλληλο προς την Ένταση του πεδίου , ώστε d r^.(t)/dt =λ Α^.

dx(t)idt =λ Α_x ,d y(t)j/λ Αy +z(t)k/λ Αz -->  dx(t)i/Α_x =λ dt, dy(t)i/Αy =λ dt, dz(t)i/Αz =λ dt,

Αν έχουμε την εξι΄σωση της ταχύτητας που επικρατεί σε ένα σημείο ροής υ (x,y)και  θέλουμε να βρούμε τις ρευματικές γραμμές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις αυτές όπως αν έχουμε dx(t)i/Α_x =λ dt, kai   dy(t)i/Αy =λ dt από όπου dy/Ay =dx/Ax και τελικά dy/dx=Ay/Ax που καταληγει σε ομογενή και λύνεται ανάλογα.

Γ.Ορθογώνιες τροχιές 

Είναι δυο οικογένειες καμπυλών τέτοιες ώστε κάθε καμπύλη της μιας τέμνει κάθετα κάθε καμ΄πύλη της άλλης

Παράδειγμα στο ηλεκτροστατικό ή στο πεδίο βαρύτητας η πρώτη οικογένεια που είναι οι τομές των ισοδυνάμων επιφανειών και η δεύτερη οικογένεια που είναι οι δυναμικές γραμμές του πεδίου τέμνονται κάθετα  

Ακόμη σε αστρόβιλη ροή, κατά μήκος των οποίων η συνάρτηση της ταχύτητας είναι σταθερή,  τέμνουν κάθετα τις καμπύλες όπου το δυναμικό ταχύτητας είναι σταθερό.

Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές βρίσκουμε πρώτα την εξίσωση της πρώτης οικογένειας καμπυλών:

 Φ(x,y,c) . 

την  παραγωγίζουμε ως προς x :θ Φ(x,y,c)/dx  =0 και απαλείφουμε μεταξύ τους το c . 

Σε κάθε σημείο (x,y) ισχύει ότι dy/dy =f(x,y) από την μια οικογένεια καμπυλών και dy/dx=-1/f(x,y) από την άλλη οικογένεια καμπυλών γιατί εφόσον είναι κάθετες έχουν γινόμενο -1

Παράδειγμα: Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές της F(x,y,c)  που είναι x² +y² =c²  (ομόκεντροι κύκλοι). Η παράγωγος είναι 2x +2yy΄ .

παίρνουμε   x² +y² -c²   =0  και  2x +2yy΄=0  από όπου υ΄= -x/y =dy/dx  ολοκληρώνοντας  lny =lnx +c1 kai y=kx. Άρα οι ορθογώνιες τριχιές είναι ευθείες από την αρχή των αξόνων.

Εφαρμογή σε δισδιάστατο ηλεκτρικό η μαγνητικό πεδίο με Ένταση Ε =Ε(x,y)  και Δυναμικό  V =V(x,y)στον ηλεκτρομαγνητισμό . Στις ισοδυναμικές καμπύλες το Δυναμικό σε καθε μια από αυτές έχει σταθερή τιμή και δίνονται από την σχέση V(x,y)=c. Oι ορθογώνιες τροχιές είναι οι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες και δίνουν το ηλεκτρικό πεδίο που περιγράφεται από την ένταση Ε. Το διάνυσμα της Ε είναι εφαπτώμενο των ορθογώνιων τροχιών και κάθετο στις ισοδυναμικές καμπύλες.

Έστω φορτίο Q τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων. Το δυναμικό δίνεται από την σχέση V= k/r (k σταθερά, r απόσταση από (0,0)

Αν V=k/r=c₁  και r=k/c₁. και  Φ(x,y,c)=  x² +y² -c²  =0 και c²= (k/c₁)2

Oπως πριν -x/y =dy/dx και από την παραγώγηση dy/dx=-1/f(x,y) =y/x άρα dy/y =dx/x και y=c₁x

Σε περίπτωση ηλεκτρικού δίπολου οι ισοδυναμικές καμπύλες προκύπτουν  και από τις δυο εξισώσεις Φ1 και Φ2 λόγω των δυο φορτίων

 

v