της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

Όπως έχει αναφερθεί 

 Ο Λογισμός είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών που επιτυγχάνει να έχει διαρκή αποτελέσματα κατά την διάρκεια των μεταβολών αυτών, είτε όσον αφορά τον τρόπο που γίνονται (κλίσεις καμπυλών στον διαφορικό λογισμό) ή τον υπολογισμό των συνολικών ποσοτήτων που παράγονται κατά την διάρκεια των μεταβολών αυτών με τον ολοκληρωτικό λογισμό

Στον Διαφορικό Λογισμό περιλαμβάνονται οι Σύνηθεις και οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Οι Μερικές Διαφορικές Εξίσωσεις

Οι Μερικές Διαφορικές εξίσωσεις χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς της Φυσικής όπως ο ήχος, η θερμότητα, η ηλεκτροστατική, η ηλεκτροδυναμική , η μηχανική των ρευστών, η ελαστικότητα, η κβαντική μηχανική.

Είναι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν περισσότερες από μια μεταβλητές και παραγώγους τους ιδανικές για να περιγράφουν φυσικά φαινόμενα των οποίων η διεξαγωγή εξαρτάται συνήθως από πολλούς παράγοντες(παραμέτρους)  πολλοί άποιοι από τους οποίους  επίσης μεταβάλλονται 

Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις μπορούν να μοντελοποιήσουν πολυδιάστατα συστήματα. Βρίσκουν την γενίκευσή τους στις Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις

Οι ΜΔΕ μπορούν να περιγράψουν διαρκείς μεταβολές και συνεπώς περιλαμβάνουν συνεχείς μεταβλητές και βέβαια επιλύονται δυσκολότερα από τις σύνηθεις ΔΕ

Παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων είναι η εξίσωση Laplace,  η εξίσωση κύματος, η εξίσωση διάχυσης, η  εξίσωση θερμότητας, η εξίσωση Helmhotz η εξίσωση Poisson οι εξισώσεις Navier Stokes , η κβαντική Hamilton, η εξίσωση Young -Laplace κ.α.

Παραδείγματα μερικών διαφορικών εξισώσεων

  θ²ψ/θx²+θ²ψ/θy²+θ²ψ/θxθy =0  έχει δύο μεταβλητές

 θT(x,y,z, t)/θt=a (θ²Τ/θx^{2 +}θ²Τ/θy²⁺θ²Τ/θz² )   έχει τρεις μεταβλητές κ.λ.π.

Μια μερική διαφορική εξίσωση με δύο μεταβλητές έχει τρεις παραγώγους και μπορεί να γραφεί με γενικό τύπο

Αθ² Ψ/θx^{2 +}Βθ²Ψ/θyθx⁺Cθ²Ψ/θy² ) + D(x,y,Ψ, θΨ/θx, θΨ/θy)  

Με βάση τις τιμές των συντελεστών των παραγώγων δεύτερης τάξης  A, B, C, D κατατάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους σε ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές.  H ποσότητα:

είνα αυτή που καθορίζει το είδος των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Έτσι εάν τό      B2 - 4AC =0 oi εξισώσεις κατατάσσονται στις ελλειπτικές παράδειγμα η εξίσωση θερμότητας   θT(x,t)/θt=a.θ2Τ(x,t)/θx2    μπορεί να γραφεί αναλυτικά   Αθ2 Τ/θx2 +Βθ2Τ/θyθx+Cθ2Τ/θy2 ) + D(x,y,Τ, θΤ/θx, θΤ/θy)    όπου Α=0  Β=0, C=1, D=-1  άρα  B2 - 4AC =0   αν  B2 - 4AC > 0 oi εξισώσεις κατατάσσονται στις παραβολικές παράδειγμα η εξίσωση της διάχυσης θK(x, xo, t)/θt = D. θ2K(x, xo, t)/θx2   μπορεί να γραφεί αναλυτικά   Αθ2 Τ/θx2 +Βθ2Τ/θyθx+Cθ2Τ/θy2 ) + D(x,y,Τ, θΤ/θx, θΤ/θy)    όπου Α=0  Β=0, C=11, D=-1  άρα  B2 - 4AC =0 0 - 4(-1)1 =4>0 Αν Δ2ψ = θ2/θx2 + θ2/θy2   + θ2/θz2 = 0  oi εξισώσεις κατατάσσονται στις υπερβολικές Παράδειγμα 1  η εξίσωση Laplace για δυο διαστάσεις   Δ2ψ= f(x,y) =  θ2/θx2 + θ2/θy2

Παράδειγμα 2  Διαφορική εξίσωση του κύματος  σε μια διάσταση:  Η συνάρτηση του κύματος είναι:

  ψ= ψ(x,t)   ψ= ψ(x,y,z.t)   

ΠΗΓΕΣ

Μερική διαφορική εξίσωση

https://www.astro.auth.gr/~kokkotas/lesson/na_book/img1797.png

ακατέργαστο

Απεικόνιση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων : Η ΜΔΕ της θερμαινόμενης ράβδου