Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Νόμος ισοζυγίου: Νόμος μεταφοράς μάζας και θερμότητας με διάχυση και μεταφορά μάζας με συναγωγή

Ακόμα σε διάφορους άλλους επιστημονικούς τομείς συναντάμαι την διάχυση όπως στην επιστήμη της πληροφορίας, στην επιστήμη των υλικών, στην επιστήμη της ζωής, στην κοινωνική επιστήμη.

Διάχυση σωματιδίων  στο μείγμα - Κατανομή συγκεντρώσεων συστατικών μείγματος 

Περιγράφει την συμπεριφορά της κίνησης μικροσωματιδίων (μεταφορά ύλης) σε ένα υλικό που προκύπτει από την τυχαία κίνηση κάθε σωματιδίου.

1ος  Νόμος Fick (μεταφορά μάζας με διάχυση)  

Το J = _^θmA/θt, που είναι η ποσότητα ύλης που διαχέεται  ανά μονάδα επιφάνειας σε ορισμένον χρόνο,  είναι ανάλογο του ρυθμού της κλίσης των συγκεντρώσεων  θc στα διαφορετικά και θc/θt  συγκέντρωσης στα συγκεκριμένα σημεία.

 Γίνεται προς την κατεύθυνση ελλαττωμένης θερμοκρασίας (πρόσημο -)

  _{^{θmA/θt =  -DθρΑ/θx}}       

  ^{D=συντελεστής διάχυσης  (m2/s)    ρ_Α= μερική πυκνότητα συστατικού Α} 

 2ος Νόμος Fick : (εξίσωση διατήρησης) παραγωγίζω την προηγούμενη

^{θY_A/θt =  -θDθρ_A/θx/θx   =-Dθ2Y_Α/θx2 [1]}

Ο ρυθμός μεταβολής (χρονικός) της συγκέντρωσης σε ένα σημείο και η ροή της ύλης προς και από ένα συγκεκριμένο σημείο (χωρικός)

Μεταφορά θερμότητας με διάχυση Νόμος Fourier

Η μεταφορά ενέργειας (θερμότητα) μέσω αγωγής συσχετίζεται με την κλίση της θερμοκρασίας.

 Η μεταφορά θερμότητας λαμβάνει χώρα μέσα σε ένα σώμα στερεό, ύγρό ή αέριο, χωρίς να συνοδεύεται από αλλαγή φάσης και ενώ τα σώματα βρίσκονται σε επαφή

• ( Nόμος Fourier) προσδιορίζει τον ρυθμό ροής θερμότητας μέσω αγωγής, αν γνωρίζουμε την  κατανομή θερμότητας σε δοσμένη περιοχή καθώς μεταβάλεται ο χρόνος. Eίναι προς την κατεύθυνση ελλαττωμένης θερμοκρασίας (πρόσημο -)
•  Σύμφωνα με τον νόμο μεταφοράς ενέργειας με αγωγή Q = -kT/dx  και σε καρτεσιανές Q = -k T

 Βασική  Διαφορική εξισώσεις του  Fourier : DQ/dt =-KS dΤ/dx

όμως σύμφωνα με τον νόμο μεταφοράς ενέργειας με αγωγή Q = -kT/dx 

και αφου κάνουμε την αντικατάσταση παραγωγίζουμε ξανά επίσης σύμφωνα με τον θεμελιώδη νόμο της θερμοδυναμικής  Q=mc_pΤ

θ(mcΤ)/dt =-KS θΤ/dx  ή θΤ/dt =-KS/mc θΤ/dx  ή  θΤ/dt =-KSdxΤ/mc dx θΤ/dx  ή θΤ/dt =-K/ρc_p dx θΤ/dx    (Sdx/m =V/m =1/ρ)

 . θT/dt = (K/ρc_p )θ²T/θx²       λ/ρc_p   

 Οφείλεται στην  μεταβολή ή κλίση της θερμοκρασίας στον χώρο είναι  διάνυσμα κάθετο στην κατεύθυνση ροής της θερμότητας.

και παριστάνει το ποσό της θερμότητας ανά μονάδα χρόνου(χρονική μεταβολή) που διαφεύγει μεταξύ σημείων l και  l+Dl (χωρική μεταβολή)

Q =θερμότητα σε cal   

t=χρόνος (s)

K= συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας (cal/m²

S=επιφάνεια κάθετη στη ροή θερμότητας , m²

θ=θερμοκρασία (C^o)

l= μήκος (m) 

Σημεία με την ίδια θερμοκρασία καθορίζουν μια ισοθερμική επιφάνεια . Η ροής της θερμότητας είναι επίσης διάνυσμα κάθετο στις ισοθερμικές επιφάνειες

Από την θερμοδυναμική, η εξίσωση της θερμότητας δίνεται από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο   ΔU = Q - W  Για ασυμπίεστα ρευστά W=0

Η Aγωγή θερμότητας σε μια διάσταση, σε ισότροπο υλικό και στερεό επίπεδο σώμα, δίνεται από την

 θΤ(x,t)/θt =αθ²Κ(x,t)/θx²

Έστω λεπτή ράβδος l και T(x,t) η κατανομή θερμοκρασίας την χρονική στιγμή t

Αν Τ(x.0) η αρχική κατανομή , η θερμοκρασία σε κάθε άλλη χρονική στιγμή δίνεται από την αντίστοιχη σχέση 

θΤ(x,,t)/θt =αθ²Κ(x,t)/θx²

α= θερμικός συντελεστής διάχυσης

Κ= θερμική αγωγιμότητα

c_p= ειδική θερμότητα

αντίστοιχα, η

 Η Aγωγή θερμότητας σε τρεις διαστάσεις

 θT(x,y,z, t)/θt=a (θ²Τ/θx^{2 +}θ²Τ/θy²⁺θ²Τ/θz² )

Σύγκριση :Μεταφορά μάζας με διάχυση και μεταφορά θερμότητας με αγωγή:

σε ασυμπίεστα ρευστά με σταθερό συντελεστή μεταφοράς θερμότητας

Σε αέρια μείγματα τα δύο αυτά φαινόμενα φαινόμενα διέπονται από τους ίδιους νόμους Σε μοριακό επίπεδο οφείλονται και τα δυο σε άτακτη κίνηση των μορίων

Η μεταφορά γίνεται μέσω των αντιστοίχων κλίσεων δηλαδή της διαφορά που έχουν τα αντίστοιχα μεγέθη σε δυο σημεία: 

(Κλίση μεγέθους, όπως της

 α. Κλίση της συγκέντρωσης συστατικού πολυσυστατικών μειγμάτων 

β. Κλίση της θερμοκρασίας , που εκφράζει την ανομοιομορφία κατανομής του μεγέθους αυτού σε διαφορετικά σημεία

Μεταφορά μάζας και ενέργειας με συναγωγή

Σχετίζεται με μεταφορά μάζας μέσω τυρβώδους ρούς και επιτρέπει την μεταφορά μεγάλων ποσών μάζας

Ταχύτητα ροής u. Διακρίνουμε την εξαναγκασμένη συναγωγή όπου εξωτερικές πηγές προκαλούν την συναγωγή π.χ. ανεμιστήρας και την φυσική συναγωγή μέσω μεταβολής της πυκνότητας και βαρύτητας π.χ. τα καυσαέρια κινούνται προς τα πάνω

Διαφορικές εξισώσεις

θΤ/θt  = -uθΤ/θx

^{θY_A/θt = -uθY_A/θx}

ΤΕΛΙΚΑ Η ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΗ ΜΑΖΑ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΕΤΑΙ ΛΟΓΩ ΔΙΑΧΥΣΗς ΚΑΙ ΑΥΤΗ ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΕΤΑΙ ΛΟΓΩ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ  ΣΥΝ ΑΥΤΗ ΠΟΥ ΑΥΞΟΜΕΙΩΝΕΤΑΙ ΛΟΓΩ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ (w_A) 

  ^{Dθ2Y_Α/θx2     + uθY_A/θx + W_A}

Χαρακτηριστικές περιπτώσεις διαχυσης μάζας:

 Διάχυση σωματιδίων μέσα σε υγρό ή αέριο (κίνηση Brown)

Η μερική διαφορική εξίσωση που διέπει την συγκέντρωση μιας ουσίας  c διάχυσης σε μια περιοχή από τον 2ο νόμο   Fick είναι θc/θt =Κc²/θx²

Έχει μελετηθεί η διάχυση σωματιδίων μέσα σε υγρό ή αέριο (κίνηση Brown)  Ρόμπερτ Μπράουν το 1827,  1905 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν με τη ΜΔΕ

θΚ(x,x_o,t)/θt =Dθ²Κ(x,x_o,t)/θx² v

 D==kT/γ  Το Κ εδώ θεωρείται σαν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (να παρατηρηθεί το σωμάτιο στη θέση x αν στην χρονική στιγμή t=0 βρισκόταν στην θέση xo ) 

και για κάθε t το αόριστο ολοκλήρωμα της Κ ως προς x πρέπει να είναι ισο με 1

για t=0 η παράγωγός του ως προς t είναι 0. Η φυσική σημασία και των δύο είναι προφανής.

Η πιθανότητα να βρεθούν τα σωματίδια σε όλον τον χώρο έως άπειρο είναι 1, ενώ σε χρόνο 0 δεν βρίσκονται πουθενά σωματίδια

Διάχυση σταγόνας από μελάνι σε διαφανές υγρό

Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια θεωρία στην μελέτη της διάχυσης μιας σταγόνας από μελάνι 

Το Κ(x,x_o,t) δίνει την πυκνότητα μάζας μιας σταγόνας μελανιου m_ink kαι άρα το αόριστο ολοκλήρωμα Κ(x,x_o,t)dx = m_ink

Από την εξίσωση διάχυσης θΚ(x,x_o,t)/θt =Dθ²Κ(x,x_o,t)/θx²

για μικρούς χρόνους, προκύπτει μαθηματική σχέση από την οποία φαίνεται ότι η διάχυση είναι ισότροπη 

Η πιθανότητα ανίχνευσης ελλαττώνεται με την απόσταση από την αρχική θέση ενώ υπολογίζεται η πιθανότητα επιστροφής σωματιδίου στην αρχική θέση, P_R(t) =K(xo,xo,t) καθώς και η μέση τιμή των τετραγώνων της απόστασης. (r²) ={ (x-x_o)²}(t)