Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Διαστατική ανάλυση, κανονικοποίηση.

Διαστατική ανάλυση και κανονικοποίηση

Διαστατική ανάλυση:

Όπως ξεκινήσαμε να λέμε

Η Φυσική και τα Μαθηματικά συνεργάζονται στενά 

Κυρίως οι Φυσικοί χρησιμοποιούν τα Μαθηματικά για να διατυπώσουν τους φυσικούς νόμους και εξάγουν απτά αποτελέσματα από τις παρατηρήσεις και τα πειράματα

Όπως είδαμε, τα εφαρμοσμένα μαθηματικά ασχολούνται και με τα τρία στάδια μοντελοποίησης των φυσικών προβλημάτων α.την διερεύνηση, β.την μοντελοποίηση με την διατύπωση εξισώσεων αλλά και την επίλυσή τους και στην συνέχεια  γ.τον έλεγχο και την γενίκευση του μοντέλου.. 

Κατά την διαμόρφωση όμως  και επίλυση διαφορικών εξισώσεων  στις οποίες αποτυπώνουμε το πρόβλημα της φυσικής, προτιμούμε να έχουμε αδιάστατα μεγέθη. Συνήθως όμως συνήθως συμβαίνει τα φυσικά μεγέθη να εισέρχονται μέσα στις εξισώσεις με τις μονάδες τους δηλαδή με τις διαστάσεις τους. Αυτό που πρέπει να συμβαίνει στις εξισώσεις αυτές είναι οι διαστάσεις στο πρώτο μέρος να συμπίπτουν με αυτές στο δεύτερο μέρος.

Οι εξισώσεις πρέπει να είναι διαστατικά ομογενείς.  Ορισμένες φορές τροποποιούμε τις εξισώσεις ώστε να το πετύχουμε

 το θεώρημα π 

Την βάση τη διαστατικής ανάλυσης αποτελεί το θεώρημα π που λέει πως αν ένας φυσικός νόμος δίνει μια σχέση μεταξύ διαφόρων φυσικών μεγεθών, τότε υπάρχει ένας ισοδύναμος νόμος που σχετίζει που συσχετίζει ορισμένες αδιάστατες ποσότητες που προκύπτουν από αυτά τα μεγέθη

 Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ισχύει ένας φυσικός νόμος με την εξίσωση : g(t, r, ρ, e) =0 όπου στην παρένθεση τα μεγέθη αναφέρονται σε χρόνο (t), μήκος(l), πυκνότηταml^-3, και ενέργεια (mlt^-2). Σύμφωνα με το θεώρημα π πρέπει να υπάρχει ένας ισοδύναμος φυσικός νόμος με αυτόν που παίρνουμε από το g(t, r, ρ, e) =0 που να συσχετίζει αδιάστατες ποσότητες που προκύπτουν από αυτά τα μεγέθη. Ο νόμος αυτός στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι της μορφής f(r⁵ρ/t²e) =0 εφόσον η ποσότητα r⁵ρ/t²e είναι αδιάστατη

Έστω m είναι ο αριθμός των ποσοτήτων που παίρνουν μέρος : Διαστατικές ποσοτητες q1, q2, q3, ...qm΄ Για την εξίσωση  g(t, r, ρ, e) =0 

οι διαστατικές ποσότητες είναι t, r, ρ, e 

και n είναι ο αριθμός των θεμελιωδών μεγεθών που χρησιμοποιούμε έστω T, L, M. 

Ο αριθμός των αδιάστατων ποσοτήτων  προκύπτει από τη σχέση m-n = a  Eδώ έχουμε a=4-3=1

.Για να βρούμε τις αδιάστατες ποσότητες στον πάνω  π1, π2, ... δουλεύουμε ως εξής:

Έστω π (q1, q2, q3,    )   π= f(t, y, m, a, k, l)=0.  ή [π]=[t^α1, y^α₂, m^α₃, a^α₄, k^α₅, l^α₆]=1   ή 

 Για να το προσδιορίσουμε, θα πρέπει να βρούμε κι εδώ τους νέους συντελεστές των ποσοτήτων t, y, m, a, k, l,

 1=[π] = t^a1y^a2.m^a3.a^a4.  k^a5, l^a6, 

= Τ^a₁, L^a₂, M^a₃ (ML^-1)(MT^-2)MLT^-1) = Τ^α₁-2-1L^a₂-1-1M^a₃+1+1   εφόσον 1=Τ⁰ Λ⁰.Μ⁰   

Βάσει του πίνακα σχηματίζουμε σύστημα εξισώσεων 

a₁-3 =0   a1 =3

a₂-2=0   a2=2

a₃+2=0   a3=-2      T³ L²M^-2

Έτσι βρίσκουμε τους συντελεστές των μεγεθών ώστε να προκύψει νέος φυσικός νόμος

Ας πάρουμε σαν παράδειγμα το πρόβλημα της κατακόρυφης βολής

Το μαθηματικό μντέλο προέρχεται από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης : Η δύναμη που ασκείται από την γη προς το σώμα είναι ίση με την μάζα m επί την επιτάχυνση  άρα έχουμε: md²h/dt² = -GMm/(h+R)²  και   g=GM/R² αν h=0    --> GM=gR²

d²h/dt² = -R²g/(h+R)²

με αρχικές συνθήκες h(o) =0  και dh/dt=V    . 

Στο μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει έχουμε τα μεγέθη t, h, R, V, g.  Oi διαστάσεις τους με επιλογή  θεμελιωδών το μήκος L και τον χρόνο T. τότε [t]=T, [h]=L,  [R]=L, [V]=LT^-1  και [g]= LT^-2  Αν π είναι ένας αδιάστατος συνδυασμός τότε [π] = [ t^a₁ h^a₂ R^a₃ V^a₄ g^a₅ ]  [π] = [ t^a₁ h^a₂ R^a₃ V^a₄ g^a₅ ]   με αδιάστατα μεγέθη  m=5  n=2 προκύπτουν 3 ανεξάρτητες αδιάστατες μεταβλητές . Λύνοντας βρίσκουμε τις ποσότητες αυτές π₁= h/R  π₂= t/ (R/V)   π3 = V/ (gR)^1/2

Από το θεώρημα π υπάρχει ένας νόμος που συσχετίζει τα αδιάστατα μεγέθη που μπορεί να γραφεί σαν : h/R = f( t/ (R/V),  V/ (gR)^1/2

Κανονικοποίηση

Μια άλλη χρήσιμη διαδικασία στην διατύπωση μαθηματικών μοντέλων για διάφορα φυσικά φαινόμενα είναι η κανονικοποίηση, που επιλέγει και χρησιμοποιεί  νέες μεταβλητες συνήθως αδιάστατες για την καλύτερη αναδιατύπωση του προβλήματος. 

Τέτοια είναι προβλήματα με πολλαπλές κλίμακες όπου κάποιεςμεταβλητές παίρνουν πολύ μικρές και πολύ μεγάλες τιμές (διαφορετικές κλίμακες μεγέθους, με συνέπεια να μην μπορούν να γίνουν κάποιες αναγκαίες απλουστεύσεις. Παράδειγμα ο χρόνος σε μια χημική αντίδραση που μπορεί να  ξεκινά πολύ αργά και να ολοκληρώνεται πολύ γρήγορα ή αντίστροφα. Προσπαθούμε τότε μέσα από την ανάλυση του προβλήματος να βρούμε ένα χαρακτηριστικό μέγεθος αναφοράς . Αν για τον γρόνο ο χαρακτηριστικός χρόνος αναφοράς είναι  tc τότε [t]=t/tc    

Παράδειγμα 1 στην διαστατική ανάλυση 

για το πρόβλημα, του  χημικού αντιδραστήρα η ταχύτητα μεταβολής της μάζας της ουσίας μέσα στον χημικό αντιδραστήρα 

d (V_c(t)/dt  = qc₁-  qc(t) - V_r(c_(t))  όπου

Όγκος του χημικού αντιδραστήρα V

Συγκέντρωση ουσίας στον αντιδραστήρα την στιγμή t είναι c=c(t)  , 

 παροχή ροής εισόδου ουσίας q (όγκος /μονάδα χρόνου) 

ταχύτητα αύξησης της μάζας της ουσίας λόγω εισόδου qc₁

ταχύτητα μείωσης της μάζας της ουσίας λόγω εξούδου στο τέλος qc

Σε κάθε δεδομένη στιγμή η μάζα της χημικής ουσίας στον αντιδραστήρα είναι Vc(t)

H ταχύτητα μεταβολής της μάζας λόγω χημικών αντιδράσεων μέσα στον αντιδραστήρα Vr

Ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός αντίδρασης r είναι ανάλογος της συγκέντρωσης c  r= kc   με διαστάσεις της κ είναι  t-1

διαιρώντας με V έχει διαμορφωθεί η Διαφορική εξίσωση  dc/dt = q/V (c₁-c ) -kc₁

Μπορούμε να επιλέξουμε χαρακτηριστικό χρόνο αναφοράς από αυτούς που προκύπτουν από την ανάλυση του προβλήματος και είναι δύο το k^-1 και το V/q από προηγούμενα

Για τον χρόνο t των ταχυτήτων , έχουμε χρόνο στον ρυθμό εισόδου q και τον  ρυθμό αντίδρασης r

Μπορούμε να ορίζουμε τ = t/V/q

Πρέπει  τώρα για να κάνουμε το πρόβλημα αδιάστατο να μετρήσουμε  τις συγκεντρώσεις  με χαρακτηριστικό μέγεθος αναφοράς για την συγκέντωση ώστε κι αυτή να γίνει αδιάστατο μέγεθος Επιλέγουμε την συγκέντρωση της ουσίας στην είσοδο δηλαδή  το c₁   Έτσι C=c/c₁  

Παράδειγμα 2 στην διαστατική ανάλυση 

Μοντέλα πληθυσμών