Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Μέθοδος Διαταραχών,, κανονική διαταραχή, μέθοδος Poincare -Lindstedt

της Δήμητρας Σπανού χημικού

υπό κατασκευή

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ

Ένα φυσικό πρόβλημα δεν είναι πάντα δυνατόν να περιγραφεί με ακρίβεια με ένα μαθηματικό μοντέλο, ώστε καταφεύγουμε αναγκαστικά σε προσεγγιστικές λύσεις. Αυτό οφείλεται συνήθως ότι τις συνθήκες εκτός από τους εμφανείς παράγοντες τους οποίους συμπεριλαμβάνουμε κατάλληλα στο μαθηματικό μοντέλο μπορεί να υπάρχουν μικρότερες σχετικά   με τις άλλες, χαμηλής τάξης, επιδράσεις που αναπαριστώνται στο μαθηματικό μονέλο με όρους που σχετικά με τους άλλους είναι μικροί. 

Για να κατανοήσουμε την μέθοδο των διαταραχών θεωρούμε την διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης F(t, y, y΄, y΄΄, ε)=0  (1)

 όπου  είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, y  είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, y΄ και y΄΄ είναι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος και ε είναι μια πολύ μικρή παράμετρος ε<<1

Οι ίδιες μέθοδοι εφαρμόζονται και για πολύ μεγάλους παράγοντες  λ εφόσον μπορεί να γραφούν σαν πολύ μικροί σαν αντίστροφοι 1/λ =ε

Σειρά διαταραχής ορίζουμε μια δυναμοσειρά του τύπου

y₀(t) +εy₁(t) +ε²y₂(t) +...  (2)  οπου η λύση της εξίσωσης (1) είναι της μορφής  (2) και η μέθοδος θεωρείται επιτυχής όταν η προσέγγιση είναι ομοιόμορφη

Ο όρος yo λέγεται πρωτεύων όρος ενώ οι υπόλοιποι διορθωτικοί όροι υψηλότερης τάξης και αναμένεται να είναι μικροί.

Αν η μέθοδος είναι επιτυχής η yο είναι λύση του μη διαταραγμένου προβλήματος  F(t, y, y΄, y΄΄)=0  στο οποίο το ε είναι 0

Ένα παράδειγμα αυτών των μεθόδων είναι η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο που περιγράφονται από την εξίσωση  my΄΄  = Fηλ

Έστω ένας μκρός κομήτης που περνάει κοντά στην γη. Τότε η  εξίσωση γίνεται  my΄΄  = F_ηλιου +εF_κομήτη

Όταν το ε μηδενίζεται επιστρέφουμε στο μη διαταραγμένο πρόβλημα.  Η λύση y(t) του διαταραγμένου προβλήματος θα δίνεται από την λύση yo(t) του μή διαταραγμένου συν τις μικρές διορθώσεις  y(t) =yo(t) +εy₁(t)  +ε²y₂(t) +.. 

Έτσι για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων μπορεί να παραληφθούν αρχικά οι όροι που περιέχουν την διαταραχη και να προκύψει μη διαταραγμένη εξίσωση, η οποία αν επιλυθεί δίνει τον πρώτο όρο της λύσης.

Με αυτές τις μεθοδους μπορούν να επιλυθούν πολλά προβλήματα. 

1. η αντίσταση λόγω τριβών, ενος σώματος που κινείται σε μέσο με μη γραμμική αντίσταση. Η δύναμη αντίστασης μπορεί να είναι : Fαντ= -αυ +βυ²   και η εξίσωση κίνησης  mdu/dt  = -au +bu²  m u(0) =Vo

Εισάγουμε αδιάστατες μεταβλητές  y=u/Vo και t=τ/m/a και ηεξίσωση παίρνει τη μορφ΄: dy/dt= -y +εy²  

2. Ένας μη γραμμικός ταλαντωτής όπως ένα σύστημα μάζας - ελατηρίου στο οποίο η δύναμη επαναφοράς περιέχει και μη γραμμικό όρο.

ky +ay3   με  a<

H κίνηση από συνάρτηση y=y(τ)   -κανονικοποιημένος χρόνος και η εξίσωση γίνεται md²y/dτ²  = -ky -ay³  με  a<<κ

 Αιώνιοι όροι. 

Όταν ένα πρόβλημα διαταραχών καταλήγει σε μια προσεγγιστική λύση στην  οποία  ο προσεγγιστικός όρος μπορεί να γίνει πολύ μικρός ή πολύ μεγάλος αυτός ο όρος λέγεται αιώνιος. π.χ. u_προσ = cost + ε [1/32(cos3t-cost) -3/8tsint]  αν e->0  όρος τείνει στο 0 όμως αν t είναι της τάξης ε^-1 τότε θα είναι μεγάλος. 

Η αξία της προσεγγιστικής λύσης περιορίζεται.

Η μέθοδος Poincare- Lindstent

Εδώ γίνεται προσπάθεια να ξεπεραστεί η κακή προσέγγιση εξ αιτίας του πρόβλήματος  των αιώνιων όρων . Η ιδέα του Poincare είναι με μια τεχνική με την οποία εισάγεται μια ακόμα διαταραγμένη χρονικά μεταβλητή στην σειρά των διαταραχών