Αρχική Σελίδα > Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες: Νόμος ισοζυγίου: Νόμος διατήρησης μάζας, συστατικού i πολυσυστατικού μείγματος , θερμικής ενέργειας,

Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες: Νόμος ισοζυγίου: Νόμος διατήρησης μάζας, συστατικού i πολυσυστατικού μείγματος , θερμικής ενέργειας,

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΣΩΣΕΙς

Σχετικά με τις Μερικές Διαφρικές Εξισώσεις

Οι μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ0 ή PDE , περιέχουν εκ των προτέρων άγνωστες λειτουργίες πολλαπλών μεταβλητών και μερικά παράγωγά τους.

Μπορούν να περιγράψουν ποικιλία φυσικών φαινομένων, (ήχος, θερμότητα, διάχυση, ηλεκτροστατική, ηλεκτροδυναμική, δυναμική των ρευστών, ελαστικότητα) . Ακόμα με αυτές περιγράγονται περισσότερο εκτεταμένες καταστάσεις όπως ή εξέλιξη των αερίων στην υγρή δυναμική, ο σχηματισμός των γαλαξιών, η περιγραφή κβαντικών φαινομένων στην κβαντική μηχανική.

Χρησιμοποιούνται για διατύπωση προβλημάτων πολλών μεταβλητών που είτε λύνονται με το χέρι ή με την βοήθεια υπολογιστών.

Παράδειγμα, αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε διαφορική Εξίσωση για τον ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας της ατμόσφαιρας, αυτό είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων όπως το υψόμετρο, ο χρόνος που παίρνουμε την μέτρηση, το Γεωργαφικό πλάτος, κ.α.

Στις ΜΔΕ οι σύνηθεις χρησιμοποιούνται με δείκτες π.χ. f_x = θ²f/θx^{2 ,}f_y = θ²f/θy²

Στην διαδικασία μοντελοποίησης λειτουργιών με πολλούς παράγοντες αρχίζουμε παίρνοντας παράγωγο ως προς μια παράμετρο διατηρώντας τις άλλες

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΙΣΟΖΥΓΙΟΥ

Ο νόμος του ισοζυγίου περιλαμβάνουν τους νόμους της διατήρησης μαζύ και τους νόμους της μεταφοράς

Στις εξισώσεις μεταφοράς περιλαμβάνονται οι εξισώσεις μεταφοράς μάζας, θερμότητας και μηχανικής ενέργειας

Στις εξισώσεις διατήρησης περιλαμβάνονται η αρχή διατήρησης της μάζας, η αρχή διατήρησης του συστατικού ι, η αρχή διατήρησης της ορμής, η αρχή διατήρησης της ενέργειας, και η αρχή διατήρησης κλάσματος μείγματο;

Διαφορικές εξισώσεις της διατήρησης

Είναι νόμος ισοζυγίου που εκφράζει την ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ μιας ποσότητας σε μια διαδικασία .

Παραδείγματα τέτοιων νόμων στις κλασσικές Φυσικές Επιστήμες, είναι

1) Η μεταβολή στην εσωτερική ενέργεια από το Πρώτο αξίωμα της θερμοδυναμικής: Η μεταβολή στην εσωτερική ενέργεια είναι ίση με την θερμότητα που εκλύεται ή απορροφάται μαζύ με το έργο που απαιτείται ή που καταναλώνεται. Εφαρμογή του Δεύτερου νόμου της Θερμοδυναμικής ΔU= ΔQ +ΔW

2) Ο ρυθμός εισροή ρευστού σε έναν κλειστό χώρο που γίνονται χημικές αντιδράσεις (χημικός αντιδραστήρας) συνδέει τον ρυθμό μεταβολής στην συγκέντρωση μιας ουσίας με τον ρυθμό παραγωγής ή κατανάλωσης της ουσίας αυτής ουσίας συν τον ρυθμός εισροής της μείον τον ρυθμό εκροής της.

dc/dt = q/V (c₁-c ) -kc₁

3) Στις Βιοεπιστήμες Ο ρυθμός μεταβολής ενός πληθυσμού είναι ο ρυθμός γεννήσεων μείον ρυθμός θανάτων μείον τον ρυθμό μετανάστευσης συν τον ρυθμό εισροής μεταναστών - προσφύγων

4)Υδροδυναμική: Το θεμελιώδες θεώρημα της Υδροδυναμικής ταυτίζεται με την αρχή διατήρησης ενέργειας στην περίπτωση υγρών

"Κατά μήκος μιας φλέβας ή ενός αγωγού που διέρχεται υγρό το άθροισμα της εξωτερικής πίεσης, της δυναμικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης είναι σταθερό".

Οι Νόμοι της Διατήρησης εκφράζονται από ΔΕ που διέπουν το φαινόμενο της Κίνησης μιας συγκεκριμένης διαδικασίας και υπαγορεύουν τον τρόπο που η διαδικασία αυτή, εξελίσσεται χρονικά. Έτσι οι υπολογισμοί γίνονται βάσει της ταχύτητας u(x,t) και του τρόπου μεταβολής της

Πως υπολογίζεται η ροή του μεγέθους που μας απάσχολει (πληθυσμός, μάζα, ενέργεια κ.λ.π.)

Αν u(x,t) είναι το μέγεθος που μας απασχολεί που θεωρούμε πως μεταβάλλεται προς μια μόνο χωρική κατεύθυνση και εξαρτάται από τον χρόνο (πληθυσμός, μάζα, ενέργεια κ.λ.π.)

Η συνολική του τιμή σε χωρίο Ι=[α.β] είναι ∫_α^βu(x, t)Adx

Αν έχω ροή προς τον χώρο φ(x,t) Για φ(x,t) >0 έχω εισροή ενώ για φ(x,t) <0 έχω εκροή

που σε συγκεκριμένες περιπτώσεις αντιπροσωπεύει την ποσότητα που εισρέει ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου [φ] =[u]/L²T

ακόμα συμβολίζουμε την πηγή ή την απαγωγή (αρνητική παραγωγή) με f (x,t,u) όπου η u παράγεται ή καταναλώνεται /μονάδα όγκου

Αν f>0 είναι πηγή αν f<0 είναι απαγωγή

Ο ρυθμός ροής μέσα στον χώρο είναι Α= φ(α,t) - φ(β,t)

Έχω μεταβολές που εξαρτώνται από 2 μεταβλητές x, t. Άρα πρόκειται για μερικές διαφορικές εξισώσεις

Ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής ποσότητας u μέσα στον χώρο για μια διάσταση x δίνεται από μερικές ΔΕ 2 μεταβλητών

d /dt ∫_α^βu (x,t) Adx = Α( φ(α,t) - φ(β,t) ) + d /dt ∫_α^β A(x,t,u) dx δηλαδή o ρυθμός εισροής μείον τον ρυθμό εκροής στον χώρο συν τον ρυθμό παραγωγής ή κατανάλωσης της συνολικής ποσότητας u . Το u μπορεί να είναι οτιδήποτε (όπως μάζα, πληθυσμός, ενέργεια κ.α.)

Για πολλές διαστάσεις παράδειγμα όπως 'ογκου ( x₁, x₂, x₃ ) πρέπει αντι για το x να έχουμε V και για να γίνει αυτό

.Θεωρούμε μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα πάνω στο xEv με φορά προς τα έξω το n(x)

Αρχή διατήρησης της συνολικής μάζας (εξίσωση συνέχειας)

Η εξίσωση συνέχειας κάθε ρευστού είναι: S₁υ₁= S₂υ₂

Απόδειξη του νόμου της συνέχειας ασυμπίεστου ρευστού σταθερής μάζας

Την αρχή της συνέχειας βάσει της οποίας διατυπώνεται η διαφορική εξίσωση αποδεικνύουμε ως εξής:

Σε φλέβα ρευστού διέρχεται από διατομή Α1 μάζα νερού και αντίστοιχα στο σημείο 2 σε ροή από1 προς 2.

Η ροή είναι στρωτή και δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες και η μάζα διατηρείται σταθερή.

Δ m1=Δm2

H ποσότητα νερού σε χρόνο t είναι ρ.ΔV t = ρSΔx t = ρSΔx.υ/Δx= ρSυ

ρ₁S₁υ₁= ρ₂S₂υ₂

(εάν το υγρό είναι ασυμπίεστο οπότε η ρ είναι η ίδια στο σημείο 1 και 2

S₁υ₁= S₂υ₂

Αυτή είναι η εξίσωση συνέχειας κάθε ρευστού

Διαφορική εξίσωση Ισοζύγιου Μάζας

Ισοζύγιο μάζας: Είναι μια λογιστική απεικόνιση διεργασιών που απεικονίζει τις μεταβολές διαφόρων ρευμάτων υλικού

O ρυθμός της εισερχομένης μάζας -τον ρυθμό της εξερχόμενης μάζας = ο ρυθμός συσσώρευσης μάζας

Εκφράζεται σε συνάρτηση με την ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας, που θα έβλεπε παρατηρητής που κινείται στην κατεύθυνση ροής και με την ταχύτητα του υλικού. Dρ/Dt ή θρ/θt

Πυκνότητα ροής (Flux) , ορίζουμε την ποσότητα ρευστού ανά μονάδα επιφάνειας

Η Διαφορική εξίσωση του νόμου ισοζυγίου : Νόμος διατήρησης μάζας

Το ισοζύγιο μάζας εκφράζεται από την εξίσωση της συνέχειας,

θρ/θt + uθρ/θx +vθρ/θy + wθρ/θz = - ρ(θu/θx +θv/θy + θw/θz)

Σε μόνιμη κατάσταση δηλαδή για ο ρυθμός συσσώρευσης είναι μηδέν θρ/θt =0Όπως προείπαμε οι νόμοι της διατήρησης διέπονται από το φαινόμενο της κίνησης και της ταχύτητας U. Θεωρόντας την κίνηση σε καρτεσιανές συντεταγμένες, έχουμε τις μερικές Διαφορικές εξισώσεις για την διατήρηση της μάζας:

Σε συμπιεστό ρευστό :θρ/θt +θ(ρUx)/θx+ θ(ρUy)/θy+ θ(ρUz)/θz =0 θρ/θt όχι 0

και εφόσον

θ(ρUx)/θx+ θ(ρUy)/θy+ θ(ρUz)/θz = $\nabla$ ρV ( η απόκλιση του διανύσματος της μαζικής ταχύτητας)

Σε συμπιεστό ρευστό η απόκλιση της μαζικής ταχύτητας είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας $\nabla$ ρV = θρ/θt

Σε ασυμπίεστο ρευστό : ρ= σταθερό και θρ/θt =0 άρα

θ(ρUx)/θx+ θ(ρUy)/θy+ θ(ρUz)/θz =0 ή $\nabla$ ρV =0

_{^{Σε ένα σύστημα}^{ο ρυθμός της εισερχόμενης μάζας - ρυθμό της εξερχόμενης μάζας = ρυθμό της συσσώρευσης μάζας}}

ακόμα:

Αρχή διατήρησης της ορμής. Εξισώσεις Navier Stokes

Σε συμπιεστό ρευστό :θ(ρΥι)θt +[θ(ρΥιUi,dif,x)/θx+ θ(ρYiUi,dif,y)/θy+ θ(ρYiUi,dif,z)/θz]

Αρχή διατήρησης Ενέργειας :

Γενική Εξίσωση Θερμικής Συμπεριφοράς σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες

Η αρχή διατήρησης Ενέργειας

Η αρχή διατήρησης Ενέργειας για ένα θερμικό στοιχείο διατυπώνεται ως εξής: Η Θερμική κατάσταση του στοιχείου σε χρόνο t στο x, y, z μείον Θερμική κατάσταση σε χρόνο t στο x +dx, y+dc, z +dz συν την κατάσταση παραγωγής θερμότητας μέσα στο στοιχείο είναι ίσο με την κατάσταση μεταβολής Ενέργειας που περιέχεται στην μάζα του στοιχείου.

Νόμος Fourier

O ρυθμός μεταφοράς θερμότητας ανά μονάδα επιφανείας (Heat flux) προς μια κατεύθυνση είναι

Q/A =q΄ = -k dT/dx Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η μεταφορά θερμότητας γίνεται προς τα σημεία χαμηλότερης θερμοκρασίας

Η Γενική Διαφορική Εξίσωση Θερμικής Συμπεριφοράς σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες

Ο νόμος του Fourier μπορεί να γραφεί σε τρεις διαστάσεις

θQ(x ,x+dx)/θx+ θQ(y+dy)/θy+ θQ(z+dz)θz = dE/dt)

Εάν μέσα στο στοιχείο υπάρχει παραγωγή ή κατανάλωση ενέργειας

όπως μια αντίσταση ή χημικές αντιδράσεις εξώθερμες ή ενδόθερμες ή πυρηνική σχάση ή σύντηξη συμπεριλαμβάνεται στον υπολογισμό και παίρνει το γενικό τίτλο Εgen =e΄ dx dy dz

θQ(x ,x+dx)/θx+ θQ(y+dy)/θy+ θQ(z+dz)θz + Εgen = dE/dt)

Όμως Q = -kT/dx σύμφωνα με τον νόμο μεταφοράς ενέργειας με αγωγή (μακροσκοπικώς ακίνητα σώματα και ανταλλαγή ενέργειας σε μοριακό επίπεδο)

θ(kθΤ/θx)/θx+ θ(kθΤ/θy)/θy+ θ(kθΤ/θx)/θz + Εgen = dE/dt ή kθ²Τ/θx²+ kθ²Τ/θy²+ θ(kθ²Τ/θz² + Εgen = dE/dt

σε καρτεσιανές Q = -k $\nabla$ T

σύμφωνα με τον θεμελιώδη νόμο της θερμοδυναμικής Q=mc_pΤ και dE/dt =dQ/dt = dmc_pΤ/dt

kai

Η Γενική Διαφορική Εξίσωση Θερμικής Συμπεριφοράς σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες γίνεται

kθ²Τ/θx²+ kθ²Τ/θy²+ θ(kθ²Τ/θz² + Εgen = dmc_pΤ/dt

Ισοζύγιο Mηχανικής Ενέργειας Εξίσωση Bernoulli

για μονοδιάστατη ροή, σταθερή πυκνότητα και μηδενικό ιξώδες

Εξίσωση Bernoulli 1ης τάξης και βαθμού α γραμμική μη ομογενής

^{Νόμος του Μπερνούλι:Αφορά την ροή τωνρευστών και βασίζεται στην Αρχή διατήρησης της ενέργειας}

dy/dx +p(y)x =q(x)y^α

το α ΕR και διάφορο 0 και 1

dy/dx +p(x)y =q(x)y^α

αν α=0 η εξίσωση γίνεται dy/dx +p(x)y =q(x) και είναι μια γραμμική μη ομογενής

Υπάρχουν Οι υδροστατικές δυνάμεις κάθετες στiw επιφάνεις Α1και A2 του ρευστού με δυνάμεις ίσες με p1.A1στο σημείο1 και p2.A2 στο σημείο 2. Ακόμα υπάρχει το βάρος ποσότητας υγρού που ρέει από το σημείο1 στο σημείο2 ίσο με Β=ρΔV. Αν μια ποσότητα υγρού φτάσει από το 1 στο 2 σημείο με ταχύτητα υ τότε Σύμφωνα με την ΑΔΕ

W_F1 -W_F2 -W_B =0

p1.A1 Δx1 + p2.A2 Δx2 - ρΔV(y2-y1)=1/2 Δm(υ₂²-υ₁²) = 1/2 ρ ΔV(υ₂²-υ₁²)

p₁. ΔV + p₂. ΔV - ρgΔV(y₂-y₁)=1/2 ρ gΔV(υ₂²-υ₁²) απαλόιφουμε ΔV

p₁. + p₂. - ρ(y2-y1)= 1/2 ρ ΔV(υ₂²-υ₁²) χωρίζουμε τα 1και 2

p₁. + ρgy₁ + 1/2 ρυ₁²= p₁. + ρgy₁ + 1/2 ρυ₁²=σταθερό

υ=dx/dt, p1 =q(y)

Αρχή διατήρησης συστατικού ι του πολυσυστατικού μείγματος

Η ολική ροή μάζας συστατικού ι είναι η ροή μάζας συστατικού ι λόγω συναγωγής και ροή μάζας συστατικού ι λόγω διάχυσης

Δίνονται μόνο οι δυο εξισώσεις χωρίς περαιτέρω σχόλια

Σε συμπιεστό ρευστό :θ(ρUx)θt +[θ(ρU²x)/θx+ θ(ρUxUy)/θy+ θ(ρUxUz)/θz] = ρ (θσ_xx/θx+ θτ_yx/θy+ θτ_zx/θz) =m_i΄΄΄

Σε ασυμπίεστο ρευστό: [θ(ρΥιUi,dif,x)/θx+ θ(ρYiUi,dif,y)/θy+ θ(ρYiUi,dif,z)/θz] + [u_xθ(ρΥι)/θx+ θu_y(ρYi)/θy+ θu_z(ρYi)/θz] =m_i΄΄΄

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

01-YMPPAS-Metafora_Mazas_Exiswseis_Diathrhshs

https://dide.lef.sch.gr/ekfe/wp/wp-content/uploads/2015/12/Xortis_yliko.pdf

file:///G:/math%20phys/01-YMPPAS-Metafora_Mazas_Exiswseis_Diathrhshs.pdf

https://eclass.upatras.gr/modules/document/file.php/CMNG2120/3.%20%CE%92%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82%20%CE%95%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82.pdf

Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες: Νόμος ισοζυγίου: Νόμος διατήρησης μάζας, συστατικού i πολυσυστατικού μείγματος , θερμικής ενέργειας,

Επαφή