Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες: Οι μιγαδικοί αριθμοί με τις ιδιαίτερες ιδιότητές τους γίνονται κατάλληλοι για επίλυση ορισμένων προβλημάτων των φυσικών επιστημών.

της Δήμητρας Σπανού χημικού καθηγήτριας Dευτεροβάθμιας Εκπ/σης

Οι φανταστικοί αριθμοί: Κατά την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων προέκυψε η ανάγκη για  ευρεση τετραγωνικής ρίζας του -1

Έτσι εισήγαγαν ένα νέο στοιχείο στην Άλγεβρα του οποίου το τετράγωνο ήταν το -1. Ήταν το στοιχείο i, 

Αν πολλαπλασιάσουμε τώρα το   με τους πραγματικούς αριθμούς, προκύπτει ένα νέο σύνολο το σύνολο των φανταστικών αριθμών (I) που που τα στοιχεία του δίνονται με το βi. 

Στο νέο αυτό σύνολο των φανταστικών αριθμών  ως προς τις αριθμητικές πράξεις μεταξύ φανταστικών αριθμών πρόσθεση και  αφαίρεση  βi + γi = (β+γ) i έδινε  τα αποτελέσματα εντός του συνόλου των φανταστικών αριθμών

Αντίθετα παρατηρούμε όμως ότι ο μεν πολλαπλασιασμός ενός φανταστικού αριθμού με έναν άλλο φανταστικό, μεταξύ έδινε  αποτελέσματα πραγματικούς αριθμούς δηλαδή εκτός συνόλου φανταστικών.

Η ένωση των δυο συνόλων φανταστικών(I) και πραγματικών (R) δεν έλυνε το πρόβλημα γιατί ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίονταν , η πρόσθεση και η αφαίρεση δεν είχαν αποτελέσματα μέσα στο διευρυμένο σύνολο 

Έτσι προέκυψε η ανάγκη για την δημιουργία ενός νέου συνόλου του συνόλου των μιγαδικών αριθμών  (C)

Τα στοιχεία του συνολο των μιγαδικών αριθμών Ζ  δεν είναι απλοί αριθμοί αλλά σύνθετοι αριθμοί και συγκεκριμένα, διατεταγμένα ζεύγη αριθμών

Οι μιγαδικοί αριθμοί επίσης δεν έχουν διάταξη, δηλαδή δεν μπορούμε να συγκρίνουμε δυο μιγαδικούς αριθμούς καινα τοποθετήσουμε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο.

Καρτεσιανή μορφή μιγαδικών αριθμών 

Στην μορφή αυτήν, γράφονται σαν: , όπου τα a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Οι μιγαδικοί αριθμοί εισάγωνται στην επιστήμη των μααθηματικών τον 16ο αιώνα από τον Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Κορντάνο  

Oi πραγματικοί αλλά και οι φανταστικοί αριθμοί, μπορεί να θεωρηθούν σαν υποσύνολα των μιγαδικών εφόσον

 εάν στο    θέσουμε a =0  έχουμε έναν φανταστικο τον bi

 εάν στο    θέσουμε b =0  έχουμε έναν πραγματικο τον a

Η καρτεσιανή μορφή των μιγαδικών αριθμών

OI μιγαδικοί αριθμοί λοιπόν,

Υπάρχουν σε ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών όπου κάθε αριθμός αποτελεί ένα διατεταγμένο ζεύγος.

Ουσιαστικά ο κόσμος των μιγαδικών  αριθμών έχει μια παραπάνω διάσταση από των πραγματικών κι αυτή είναι που περιλαμβάνει την τετραγωνική ρίζα του -1

Γι αυτόν τον λόγο ενώ οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται πάνω στην ευθεία χχ;  και οι φανταστικοί στην yy΄οι μιγαδικοί αποτελούν σημεία του επιπέδου OΧΥ των καρτεσιανών συντεταγμένων (μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο του Gauss ή επίπεδο Argand.

H πολική μορφή ενός τριγωνομετρικού αριθμού

Έτσι μπορούμε να έχουμε και την πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού : z= r(cosθ + isinθ)

Επίσης είσάγεται η έννοια του συζυγούς μιγαδικού αριθμού z του  z* = a -ib

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Oi μιγαδικοί αριθμοί εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά με τα διανύσματα ώστε μπορεί να γραφούν με τριγωνομετρική μορφή:

z= ρ (συνθ +iημθ)   

ρ= |z| =[(a² +b²⁾]^1/2

 ${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0}$

Εκθετικη μορφή μιγαδικού αριθμού

Με την εφαρμογή του αναπτύγματος e^x =1+x +x²/2! + x³/3! +x⁴/3!    και θέτοντας x=iθ παίρνουμε εκθετική μιγαδική συνάρτηση

e^iθ =cosθ +isinθ

\Οι βασικές πράξεις των μιγαδικών αριθμών 

Oi μιγαδικοί αριθμοί εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά με τα διανύσματα ώστε μπορεί να γραφούν με τριγωνομετρική μορφή:

z= ρ (συνθ +iημθ)

για την πρόσθεση / αφαίρεση των μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούμε τις μεθόδους των διανυσμάτων

(α + βi) + (γ + δi) = (α +  γ) +(β + δ)i. 

(α + βi) -)(γ + δi) = (α - γ) +(β - δ)i. 

 Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών z₁=α + βi και z₂=γ + δi 

ισχύει και το αντίστροφο. Τα διανύσματα μπορεί να παρασταθούν από μιγαδικούς αριθμούς ; 

και να γίνει πολλαπλασιασμός και διαίρεση έχουμε ανόλογα:

 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]   Ο πολλαπλασιασμός δίνει νέο μιγαδικό στο ίδιο επίπεδο. Η  διανυσματική ακτίνα στρέφεται κατά  γωνία θ

 z1/z2=r1/r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)] 

 Για τον πολλαπλασιασμό ισχύει το εσωτερικό ή βαθμωτό 

 γινόμενο που δίνει τον αριθμό 

z_{1  .}z₂ = |z_{1|  |}z_{2 | cosθ} =( z_1^*z₂+z₁ z_2^*)/2

 και το εξωτερικό ή διανυσματικό που είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των μιγαδικών κσι το μέτρο δίνεται από:

 z_{1 x  .}z₂ = |z_{1|  |}z_{2 | cinθ=}=( z_1^*z₂+z₁ z_2^*)/2i    

Αντίστοιχα υπολογίζεται η νιοστή δύναμη μιγαδικού αριθμού σαν :

zⁿ= ρⁿ (συνnθ +iημnθ)

και η νιοστή ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού                 

z¹/ⁿ= ρ^1/n (συν[(θ+2kp)/n]+2 +iημn[(θ+2κπ)/n])

Η αποδοχή των μιγαδικών αριθμών επέκτεινε τις δυνατότητες επίλυσης αλγεβρικών προβλημάτων. 

Παράδειγμα η εξίσωση x² +y² μπορεί βάσει ταυτότητας να γραφεί ως: x² +y² = (x - iy)(x+iy)

ή την ανάλυση της τριγωνομετρικής ισότητας sin²θ + cos²θ =1 σε sin²θ + cos²θ =  (sinθ - icosθ) (sinθ + icosθ) από τον Euler

Εκθετικη μορφή μιγαδικού αριθμού

Με την εφαρμογή του αναπτύγματος e^x =1+x +x²/2! + x³/3! +x⁴/3!    και θέτοντας x=iθ παίρνουμε εκθετική μιγαδική συνάρτηση

e^iθ =cosθ +isinθ

Που ονομάζεται τύπος του Euler και βρίσκει μεγάλες εφαρμογές στην Φυσική

Γενικά:

Οι μιγαδικοί αριθμοί απεικονίζονται στο μιγαδικό επίπεδο .

Τα σημεία Μ1 και Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών α + βi  και γ + δi .

Η εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών είναι η αρχή πολλών εφαρμογών στην φυσική.

 Κυρίως η χρήση των μιγαδικών, εξυπηρέτησε ανάγκες, να διατυπωθούν εφαρμογές από τις θεωρίες αγωγής θερμότητας, κυματικής, οπτική, ηλεκτροστατικής, δυναμικής των ρευστών, κυρίως όμως στην Κβαντική Μηχανική (αρχή αβεβαιότητας, εξίσωση Schrodinger).

Έχουν πολύ λιγότερους συσχετισμούς με τον πραγματικό κόσμο. Υπάρχουν όμως ορισμένες περιπτώσεις που ένα φυσικό μέγεθος περιγράφεται καλύτερα με την χρησιμοποίηση των μιγαδικών αριθμών. 

Γνωστές  εφαρμογές συνήθως στην επεξεργασία σημάτων . Επίσης η πολική μορφή του μιγαδικού αριθμού,  βοηθά στην αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων.

 Επίσης στον ηλεκτρισμό είναι κατάλληλοι για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων, στην κυματική για την μελέτη περιοδικών φαινομένων

Η εισαγωγή τους στα μαθηματικά δεν έλυσε μόνο το πρόβλημα της τετραγωνικής ρίζας του -1 αλλά είχε εφαρμογές σε πολλές άλλες περιπτώσεις όπως στην επίλυση εξισώσεων, σε μελέτη μαθηματικών αντικειμένων όπως διανύσματα, στην Τριγωνομετρία, γενικεύσεις πολλών θεωρημάτων επιπεδομετρίας κ.α. Κ

H μιγαδική ανάλυση είναι συνδεδεμένη με την ανάλυση Fourier.

Δήμητρα Σπανού