Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Η μαθηματικοποίηση των Φυσικών Επιστημών από την εποχή του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα έως την εποχή του Αϊνστάιν. Διαστατική ανάλυση και κανονικοποίηση

της Δήμητρας Σπανού χημικού

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η Φυσική και τα Μαθηματικά συνεργάζονται στενά 

Κυρίως οι Φυσικοί χρησιμοποιούν τα Μαθηματικά για να διατυπώσουν τους φυσικούς νόμους και εξάγουν απτά αποτελέσματα από τις παρατηρήσεις και τα πειράματα

Ο τρόπος σκέψης του Μαθηματικού διαφέρει από αυτόν του Φυσικού στο γεγονός ότι 

 Ο φυσικός μιλάει για συγκεκριμένες ποσότητες που περιγράφουν τα φυσικά μεγέθη.  Κατά την  μελέτη των φυσικών φαινομένων  προσπαθεί έστω και να προσεγγίσει την πραγματικότητα με περιγραφή των φυσικών φαινομένων και να εννοήσει τις αρχές και την λειτουργία των  νόμων της φύσης

Ο μαθηματικός ασχολείται με  γενικές και αφηρημένες έννοιες που ακολουθούν μια αλληλουχία, για θεωρήματα και αξιώματα . Αντίθετα όμως  ζητάει ακριβείς λύσεις και αποτελεσματα

Έως τις αρχές του 20ου αιώνα και πριν οι φυσικοί διεισδυσουν σε δυσθεώρητα πεδία της κβαντικής φύσης των πραγμάτων και της χαοτικής αρχιτεκτονικής του κόσμου τα μαθηματικά υπήρξαν απλά το εργαλείο των φυσικών στην επιστημονική τους πορεία.  

Τι συνέβη αργότερα και μετά την δεύτερη δεκαετία του εικοστού αιώνα;

Η  επέκταση των ερευνών και γνώσεων για την  κατασκευή του κόσμου και την λειτουργία των νόμων της φύσης, έφτασαν σε περιοχές που ξέφευγαν από την φυσική αντίληψη των ανθρώπων. Όπως για παράδειγμα κατά την μελέτη της  κβάντωσης των μεγεθών, διερευνώνται  μεγέθη πολύ μικρής τάξης (ή και πολύ μεγαλης) ή και μεγέθη που δεν είναι συμβατά.

Ακόμα στην συνέχεια η μελέτη της επιστήμης του χάους που κάνει κάποιες έννοιες αυτονόητες έως σήμερα, όπως της συνέχειας του χώρου, να μην υφίστανται  πραγματικά 

Μεταφέρω σχετικές σκέψεις από τον Κ. Καστοριάδη 

ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ:
 Στην πρώτη περίπτωση των σχέσεών τους, τα Μαθηματικά και η Φυσική συμβαδίζουν. Στην περίπτωση του Νεύτωνα, λόγου χάρη, έχουμε ταυτόχρονα και, μπορώ να πω, ομοούσια με τη διατύπωση του διαφορικού λογισμού και τη θεμελίωση μιας νέας Φυσικής. Η μαθηματικοποίηση της Φυσικής άρχισε από τον Γαλιλαίο, συνεχίστηκε από τον Καρτέσιο και ολοκληρώθηκε, ή μάλλον, πιο σωστά, οριστικοποιήθηκε, με τον Νεύτωνα.
Η δεύτερη περίπτωση είναι εκείνη όπου η μαθηματική επιστήμη προηγείται της Φυσικής. Για παράδειγμα, οι ρημάνειοι χώροι περίμεναν πενήντα πέντε ή εξήντα πέντε χρόνια, για να τους χρησιμοποιήσει η Φυσικοί. Αυτό έγινε μόλις το 1916, με τη διατύπωση της γενικής σχετικότητας από τον Einstein. Άλλωστε, σίγουρα μέχρι τότε η πλειονότητα των φυσικών αγνοούσε τη ρημάνεια γεωμετρία, αφού δεν χρειάστηκε στην έρευνα, εν αντιθέσει με τη χρησιμότητα που είχαν γι’ αυτήν τα «εργαλεία» που προσέφερε η κλασική Ανάλυση.

Στην τρίτη περίπτωση των σχέσεων Μαθηματικών και Φυσικής, έχουμε τη φυσική επιστήμη να προηγείται των Μαθηματικών. Λόγου χάρη, τα σημερινά Μαθηματικά αδυνατούν να αντιμετωπίσουν και να μοντελοποιήσουν πολλά φαινόμενα όπως για παράδειγμα στην υδροδυναμικής όταν παρουσιάζονται στροβιλώδεις ροές. Είναι γνωστά βέβαια ορισμένα στοιχεία, όπως για παράδειγμα, η σταθερά του Reynolds, αλλά δεν υπάρχει πλήρης πραγματική μαθηματική περιγραφή και εξήγηση του φαινομένου του στροβιλισμού.

Ενώ στην  τέταρτη και πιο βαθιά σχέση τους που έγκειται στη μη ταύτισή τους και οφείλεται στην ύπαρξη τεράστιων κλάδων της μαθηματικής επιστήμης που δεν έχουν και ούτε μπορούν να αποκτήσουν αντιστοιχία στον φυσικό κόσμο. Λόγου χάρη, τα απλούστατα πράγματα, όπως το άπειρο, τα άπειρα της ιεραρχίας του Cantor, δηλαδή η ακολουθία 2^N, 2^2N, 2^22N, … Τι «φυσικό» νόημα έχει ή θα μπορούσε να αποκτήσει ποτέ η ακολουθία; Το ίδιο ερώτημα ισχύει και για τις «τερατώδεις» τοπολογίες των Bourbaki, κλπ.

Για την επίλυση φυσικών προβλημάτων που απαιτούν την συμβολή των μαθηματικών υπάρχουν φάσεις που συμμετέχουν περισσότερο τα μαθηματική ή η φυσική ανάλογα. Στο πρώτο στάδιο ένα φυσικό πρόβλημα περιγράφεται και στην συνέχεια διατυπώνεται το μαθηματικό μοντέλο που είναι κυρίως μια σειρά από εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν το πρόβλημα αυτό. Σαν δεύτερο βήμα πρέπει να γίνει η επίλυση των εξισώσεων αυτών με την χρήση μαθηματικών τεχνικών. Στο τρίτο στάδιο απαιτείται έλεγχος και εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου και σε άλλα αντίστοιχα φυσικά αποτελέσματα ώστε να γενικευτούν  τα συμπεράσματα. Σε αντίθεση με τις έως τώρα επιστήμες των μαθηθηματικών και φυσικής, τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, συμμετέχουν και στα τρία στάδια που αναφέραμε και όχι μόνο στην επίλυση των εξισώσεων κατά το δεύτερο στάδιο. Η κατανόηση του φυσικού, εμπειρικού προβλήματος, ώστε να διατυπωθεί από το οποίο προέρχεται το μαθηματικό μοντέλο είναι στα πεδία δραστηριότητάς τους είναι απαραίτητα για να ξεπεραστούν προβλήματα που προκύπτουν κατά την επίλυσή του.   Γενικά επειδή επικρατεί μια συνεχής αλληλεπίδραση στα στάδια αυτά ο ειδικός επιστήμονας, ο φυσικός ή ο μαθηματικός, που επιχειρούν την επίλυσή του προβλήματος, θα πρέπει να κατανοούν καλλά και τα τρία στάδια

Κατά την μελέτη φυσικών φαινομένων εμφανίζονταν  πολλές φορές φαινόμενα παράξενης και ανερμήνευτης συμπεριφοράς. 

Κάποιοι επιστήμονες,  μετά από επίπονη προσπάθεια  ανακάλυπταν - αποκαλύπτονταν και διατυπύπωναν νέες ερμηνείες που κατέληγαν σε  θεωρίες πολλές από αυτές θεωρήθηκαν πρωτοπόρες και επαναστατικές.  Αν οι θεωρίες αυτές αποδεικνύονταν ικανοποιητικές και στην συνέχεια κατάφερναν να την ενσωματώσουν στις ήδη αποδεκτές θεωρείες  της κλασσικής επιστήμης, αυτό  γίνονταν η αιτία για την διεύρυνση, εμβάθυνση  και επέκταση των μέχρι τότε γνώσεων. 

Το πιο συνηθισμένο όμως ήταν  οι εξελίξεις στην επιστήμη να μην αποτελούν οι ίδιες αυτό που θα λέγαμε "επανάσταση" αλλα γίνονται το βήμα για να διατυπωθεί μια νέα θεωρία . Όπως 

ο Lorentz για παράδειγμα που εισήγαγε τα συστήματα αναφοράς και τους μετασχηματισμούς για τα σχετικά μεγέθη  το 1880, 

To 1887, στις Η.Π.Α., οι A.A. Michelson (Μάικελσον 1852-1931) και E.W. Morley (Μόρλεϊ 1838-1923) σχεδίασαν και εκτέλεσαν ένα ιδιοφυές πείραμα για να μετρήσουν την ταχύτητα της Γης.

Στην συνέχεια Η θεωρία της ειδικής σχετικότητας έως το 1905 και  η δημοσίευση (1916) της θεωρίας της γενικής σχετικότητας ήταν το έργο που ο ίδιος ο Einstein θεωρούσε ως τη σπουδαιότερη συμβολή του στην επιστημονική σκέψη.

Η προσέγγιση μέσω της σχετικότητας μεγάλων μεγεθών είχε το αποτέλεσμα το 1906 ο Einstein να  στρέψει το ενδιαφέρον του σε φαινόμενα κβάντωσης των μεγεθων .   

Το1906 έδωσε την κλασική διατύπωση της θεωρίας της κίνησης Brown όταν στις κινήσεις των μικρών σωματιδίων συνάντησε ακραία μεγέθη, όπως τις υπερβολικά μεγάλες ταχύτητες των υπερβολικά μικρών σωματιδίων. Έτσι   το 1907 διατύπωσε την κβαντική θεωρία των ειδικών θερμοτήτων,

Η σπουδαιότητα αυτών των εργασιών είναι τόση ώστε να δικαιολογείται η κρίση πολλών φυσικών, κατά τους οποίους και αν ακόμη ο Einstein δεν είχε γράψει ούτε μια γραμμή για τη θεωρία της σχετικότητας,

Για την κλασσική αυτή  περιγραφή της πραγματικότητας , οπως την  διαπραγματεύθηκε η φυσική έως τον 20 ο αιώνα οι εξισώσεις αυτές επαρκούσαν για να περιγράψουν τον κόσμο με την χρήση των πραγματικών αριθμών. Όχι όμως για τα ισχυρά πεδία που περιγράφηκαν στην συνέχεια ή για πολύ μικρές ποσότητες

Η ΑΝΆΓΚΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 

ΜΕ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΤΕΩΡΟ ΒΗΜΑ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι μιγαδικοί αριθμοί εισάγωνται στην επιστήμη των μααθηματικών τον 16ο αιώνα.  Λόγω της ανάγκης για  ευρεσης τετραγωνικής ρίζας του -1 δημιουργείται ένας νέος αριθμός που χαρακτηρίστηκε  «imaginaire» δηλαδή «φανταστικός»- και απέκτησε δικό του συμβολισμό  i

τον 18ο αιώνα από πρόταση  του μαθηματικού EULER στο γνωστό βιβλίο του Elements of Algebra ως ‘neither nothing, nor greater than nothing, nor less than nothing… (ούτε τίποτε, ούτε μεγαλύτερο από το τίποτε, ούτε μικρότερο από το τίποτε!) 

Ακόμα ο Euler και οι μαθηματικοί τη εποχής εκείνης είπαν ότι οι φανταστικοί αριθμοί εφευρέθηκαν δεν επινοήθηκαν.

these numbers present themselves to the mind; they exist in our imagination and we still have a sufficient idea of them

Αυτοί οι αριθμοί παρουσιάζονται στον μυαλό. υπάρχουν στη φαντασία μας και έχουμε ακόμα μια επαρκή ιδέα γι 'αυτούς

Η ένωση των φανταστικών με τους πραγματικούς αριθμούς απετέλεσε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Ζ που έμελλε να παίξει πρωταρχικό ρόλο στην εξέλιξη των φυσικών επιστημών αλλά και της  ιστορίας γενικά.

Η εισαγωγή τους στα μαθηματικά δεν έλυσε μόνο το πρόβλημα της τετραγωνικής ρίζας του -1 αλλά είχε εφαρμογές σε πολλές άλλες περιπτώσεις όπως στην επίλυση εξισώσεων, σε μελέτη μαθηματικών αντικειμένων όπως διανύσματα, στην Τριγωνομετρία, γενικεύσεις πολλών θεωρημάτων επιπεδομετρίας κ.α. Κ

Κυρίως όμως εξυπηρέτησαν ανάγκες να διατυπωθούν εφαρμογές από τις θεωρίες αγωγής θερμότητας, ηλεκτροστατικής, δυναμικής των ρευστών, κυρίως όμως στην Κβαντική Μηχανική (αρχή αβεβαιότητας, εξίσωση Schrodinger)

H μιγαδική ανάλυση είναι συνδεδεμένη με την ανάλυση Fourier.

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

David Logan Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

v-fedun.staff.shef.ac.uk

https://maredu.gunet.gr/modules/document/file.php/ASP272/%CE%99%CE%A3%CE%A4%CE%9F%CE%A1%CE%99%CE%91%20%CE%A3%CE%A4%CE%91%CE%A4%CE%99%CE%A3%CE%A4%CE%99%CE%9A%CE%97%CE%A3%201.pdf

Calculus: Differentials and integrals

(https://el.wikipedia.org/wiki/Πείραμα_των_δύο_σχισμών)

https://maredu.gunet.gr/modules/document/file.php/ASP272/%CE%99%CE%A3%CE%A4%CE%9F%CE%A1%CE%99%CE%91%20%CE%A3%CE%A4%CE%91%CE%A4%CE%99%CE%A3%CE%A4%CE%99%CE%9A%CE%97%CE%A3%201.pdf

Οι μαγευτικοί κρύσταλλοι. Μέρος Δεύτερο: Οι φυσικές και ...μεταφυσικές ιδιότητες των κρυστάλλων. Μήπως υπάρχει σχέση; dimitra-spanoy.webnode.gr

ΟΙ Φυσικές Επιστήμες στις αρχές του 21ου αιώνα. Φαινόμενα Μέρος Πρώτο. Παρατηρήσεις και  πειράματα, που δειχνουν την διττή υπόσταση (ενεργειακή και σωματιδιακή) του κόσμου. Η Κβαντική θεωρία και η Κβαντική Μηχανική

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%AC%CF%84%CF%89%CE%BD

https://physicsgg.me/2012/07/15/h-%CF%83%CF%87%CE%AD%CF%83%CE%B7-%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BC%CE%B5%CF%83%CE%B1-%CF%83%CF%84%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CF%84%CE%B7%CE%BD-%CF%86/

https://www.math.ntua.gr/~afellou/Simioseis/kefalaio4dianlogismos.pdf

https://www.math.upatras.gr/~spn/files/mp1.pdf

Πράξεις διανυσμάτων\Μέρος Β - Βικιεπιστήμιο

ακατέργαστο

μηδέν. ∇⋅B=0.

Η μαγνητική ροή  Οφείλεται στα στοιχειώδη Δl του αγωγού που δημιουργούν μαγνητικά πεδία σύμφωνα με τον νόμο 

Amper

1.Κλασσική μηχανική 2ος νόμος Νεύτωνα

και  Νόμος παγκόσμιας έλξης

 (γενικεύεται για ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα φωτός με την θεωρία της ειδικής σχετικότητας του Einstein 

 και με τις 4 εξισώσεις του Maxwell

Νόμος του Amper για τον ηλεκτρισμό

Νόμος του Αmper για τον ηλεκτρομαγνητισμό Ampere-Maxwell

Εδώ το μαγνητικό πεδίο που προκαλείται γύρω από έναν κλειστό βρόγχο είναι ανάλογο του ηλεκτρικού ρεύματος και του ρεύματος μετατόπισης (αλλαγής του ηλεκτρικού πεδίου που περικλείει ο βρόγχος)

∇ × B = μ0 (J + ε0∂E∂t).

   Ο νόμος του gauss γι  τον μαγνητισμό δηλώνει την αδυναμία ενός μαγνητικού μονοπωλίου. Το 

μαγνητικό πεδίο που οφείλεται της ροής του ρεύματος  σε κλειστό βρόγχο  (κλειστή επιφάνεια) έχει συνολική μαγνητική ροή  

Αυτό που χαρακτηρίζει την κβαντική συμπεριφορά μεγεθών σε μια πρώτη προσέγγιση είναι η ασυνέχεια στην συμπεριφορά και την εμφάνισή τους

Πιθανόν όμως αυτό να έχει μαθηματική ερμηνεία και να οφείλεται απλώς, στην διαφορά τιμών των μεγεθών ή και της τάξης μεγέθους.

Δίνω τρία παραδείγματα μέσα από το project μου που δίνουν ακριβώς την σχέση των μεγεθών με την εμφάνιση και ερμηνεία φυσικών φαινομένων

Παράδειγμα Α: Το πείραμα Young των δύο σχισμών για μονοχρωματική ακτινοβολία 

Το φως μίας μονοχρωματικής πηγής προσπίπτει σε ένα διάφραγμα στο οποίο είναι χαραγμένες δύο παράλληλες πολύ λεπτές σχισμές. Το αποτέλεσμα είναι να σχηματίζεται στο πέτασμα (σε μία οθόνη) πίσω από τις σχισμές μία εικόνα από εναλλασσόμενες φωτεινές και σκοτεινές ζώνες. Έχουμε δηλαδή ασυνέχεια που είναι χαρακτηριστική της κβαντικής συμπεριφοράς. Για να έχουμε όμως την ασυνέχεια αυτή θα πρέπει οι διατάξεις του πειράματος πλάτος σχισμής, απόσταση από το πέτασμα, μήκος κύματος φωτός να έχουν σχετικά μεγέθη. Αλλιώς δεν αντιλαμβανόμαστε τίποτε από όλα αυτά.

Οι σχισμές έχουν πλάτος της τάξης 10^-1 mm ενώ το μήκος κύματος του φωτός της τάξης 4-7 10^-4mm 

Ελάχιστου μεγέθους σωματίδια ύλης  εκπέμπονται από πηγή, διέρχονται μέσω διάταξης δύο παράλληλων σχισμών και πέφτουν σε οθόνη όπου αφήνουν ίχνος, ως σωματίδια. 

Συχνά στο σχήμα που προκύπτει από την κατανομή των ιχνών φαίνονται αποτέλεσμα συμβολής, η οποία μας πληροφορούν ότι έχουμε  κυματική συμπεριφορά. 

 

Η απάντηση τελικά είναι απλή, και δίνεται από τον Al Khalili  στο βιβλίο του Τα Κβαντικά παράδοξα. 

Τα φαινόμενα της συμβολής  συμβαίνουν γιατί  κάποια άτομα αναπηδούν στην άκρη της σχισμής αντί να περνούν ομαλά. 

Έτσι πως είναι αποτελέσματα της σχέσης μεγέθους σωματιδίων και διαμέτρου της σχισμής  και  υποθέτω ότι θα αλλάζουν τα αποτελέσματα εαν αλλάζει το μέγεθος ή και τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά των σχισμών

Παράδειγμα Γ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ

Για πολλά χρόνια οι επιστήμονες αδυνατούσαν να χαρτογραφήσουν τις κρυσταλλικές δομές των κρυσταλλικών υλικών όταν χρησιμοποίησαν ακτινοβολίες ορατού φωτός  με μήκος κύματος πολύ μεγαλύτερο (ακόμα και 10000 φορές) από αυτές των ατόμων ή μορίων του πλέγματος ή και τις κυσταλλικών κυψελλίδων Αργότερα  όταν εφευρέθηκαν οι ακτίνες Roengen (Χ)  χρησιμοποίησαν με επιτυχία και κατάφεραν να χαρτογραφήσουν τα κρυσταλλικά πλέγματα

Κατά την γνώμη μου πιθανόν αυτό να σχετίζεται με τις διαστάσεις του κρυσταλλικού πλέγματος που είναι κοντά σε εκείνες του μήκους κύματος των ακτινιβολιών Χ και πολύ μικρότερα του ορατου φωτός ή άλλων που χρησιμοποιήθηκαν αρχικά. έτσι η ακτινοβολία ανακλάται στις ακμές και τις κορυφές του κρυσταλλικού πλέγματος και γίνεται ορατή η δομή του.

 

 

 

H δύναμη Λόρεντζ είναι μία από τις οκτώ αρχικές εξισώσεις του Μάξγουελ και είναι η λύση στη διαφορική μορφή του νόμου του Φαραντέι. Σήμερα, ο νόμος του Φαραντέι χρησιμοποιείται αντί της δύναμης Λόρεντζ στις εξισώσεις του Μάξγουελ. Ο νόμος του Φαραντέι και η δύναμη Λόρεντζ εκφράζουν και οι δύο την ίδια φυσική. Η ανακάλυψη της δύναμης Λόρεντζ έγινε πριν την εποχή του Λόρεντζ. Φαίνεται στην εξίσωση (77) της εργασίας του Μάξγουελ On Physical Lines of Force, που εξέδωσε το 1861.

Η δύναμη Λόρεντζ στην ειδική σχετικότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν οι ταχύτητες των σωματιδίων πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός, η εξίσωση της δύναμης Λόρεντζ πρέπει να τροποποιηθεί σύμφωνα με την ειδική σχετικότητα:

${\displaystyle {d\left(\gamma m\mathbf {v} \right) \over dt}=\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

όπου

${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

είναι ο παράγοντας Λόρεντζ και ${\displaystyle c}$ είναι η ταχύτητα του φωτός.

Αυτή η σχετικιστική μορφή είναι ταυτόσημη με την συμβατική έκφραση της δύναμης Λόρεντζ που προκύπτει από το νόμο του Νεύτωνα, F= dp/dt, όπου η ορμή p είναι ${\displaystyle p=\gamma mv.}$

Η αλλαγή στην ενέργεια λόγω των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, σε σχετικιστική μορφή, είναι

${\displaystyle {d\left(\gamma mc^{2}\right) \over dt}=q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} .}$

Η αλλαγή στην ενέργεια εξαρτάται δηλαδή μόνο από το ηλεκτρικό και όχι από το μαγνητικό πεδίο.

Στη σχετικιστική μηχανική, η ορμή ορίζεται ως:

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} }$

όπου

${\displaystyle m}$ είναι η μάζα του κινούμενου αντικειμένου,

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ είναι ο παράγοντας Λόρεντζ

v είναι η σχετική ταχύτητα ανάμεσα στο αντικείμενο και σε έναν παρατηρητή

c είναι η ταχύτητα του φωτός.

Η σχετικιστική ορμή γίνεται η Νευτώνια ορμή: ${\displaystyle m\mathbf {v} }$ στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (v/c -> 0).

Η σχετικιστική τετρα-ορμή όπως προτάθηκε από τον Άλμπερτ Άινσταϊν προέρχεται από την αναλλοιώτητα των τετρα-διανυσμάτων κάτω από Λόρεντζ μετασχηματισμούς. Η τετρα-ορμή ορίζεται ως:

Ampere's Law: Definition & Examples - Video & Lesson Transcript ...

Study.com

Κεφάλαιο 22 Νόμος του Gauss - ppt κατέβασμα

SlidePlayer.gr