Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Το Θεώρημα της Απόκλισης. σε μια και τρεις διαστάσεις. Νόμος του του Gauss: εφαρμογή του Θεωρήματος της Απόκλισης.στην Ηλεκτροστατική

της Δήμητρας Σπανού Χημικού καθηγήτριας στο 1ο Γυμνάσιο Δάφνης

υπό κατασκευή

Για να πιεις νερό χρειάζεσαι μια πηγή και μια δίψα

Το να  πίνεις  νερό που δεν σου αρμόζει

φέρνει δυστυχία 

Αν παίρνεις το νερό

εξαντλώντας  τα αποθέματα της πηγής,

 έρχεται δυσαρμονία

(Σοφία  Λαού) 

Η Ροή διαμέσου μιας κλειστής επιφάνειας

Σύμφωνα με τον  θεωρητικό Λογισμό αν θεωρήσουμε μια κλειστή επιφάνεια, και στο εσωτερικό της ένα διανυσματικό πεδίο και υπάρχει προς τα έξω ροή του πεδίου διαμέσου της επιφάνειας αυτής,, τότε

η ροή αυτή είναι ίση με το ολοκλήρωμα όγκου της απόκλισης πάνω στην περιοχή εντός της επιφάνειας.

Το θεώρημα της απόκλισης  

Στο θεωρητικό λογισμό, το θεώρημα απόκλισης, γνωστό και ως , είναι ένα αποτέλεσμα που συνδέει τη ροή (δηλαδή ροή) ενός πεδίου διανύσματος μέσω μιας επιφάνειας με τη συμπεριφορά του πεδίου τανυστή μέσα στην επιφάνεια.

Γενικά όμως το Θεώρημα αυτό δίνει μια σχέση ισοδυναμίας μεταξύ μιας οποιαδήποτε ροής, όπως ενός υγρού, της ηλεκτρικής ή της βαρυτικής, που ρέει έξω από μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια και το αποτέλεσμα των εσωτερικών πηγών, όπως το ηλεκτρικό φορτίο ή η μάζα, που περιέχονται στον όγκο που περικλείει η επιφάνεια.

Στα μαθηματικά η τυπική απόκλιση που είναι ο πιο κοινός τρόπος να υπολογίσουμε την διασπορά τυχαίων τιμών μεταβλητών σε σχέση με την προσδοκόμενη μέση τιμή. Συνήθως λαμβάνεται από την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής 

Το θεώρημα της απόκλισης έχει σημαντικές μαθηματικές εφαρμογές  εφαρμογές στην Φυσική και τα Μαθηματικά, ιδιαίτερα στην ηλεκτροστατική και την μηχανική των ρευστών.

Το θεώρημα της Απόκλισης εφαρμόζεται επίσης και σε οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων  .

 Σε μια διάσταση είναι ισοδύναμο με το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. 

Επίσης   αν ο χώρος μεταβολής της συνάρτησης περιορίζεται σε μια διάσταση τότε χρησιμοποιείται επικαμπυλιο ολοκλήρωμα 

Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού λογισμού  ΄θεώρημα της κλίσης

(για  μια διάσταση)

Συνδέει την έννοια της παραγώγου με την έννοια του ολοκληρώματος της συνάρτησης.

Αν έχουμε συνάρτηση f(x)  σε κλειστό διάστημα [a ,b] στο R τότε υπό κατάλληλες προυποθέσεις τότε το ολοκλήρωμα f΄ με άνα κατάλληλο άθροισμα των τιμών της f 

Δηλαδή το ολοκλήρωμα της παραγώγου στο διάστημα [α ,β] υπολογίζεται από τις τιμές της συνάρτησης στα σύνορα (άκρα ) του [α. β]

Σε τρεις διαστάσεις  χρησιμοποιούνται τα ολοκληρώματα όγκου και είναι ισοδύναμο με το θεώρημα του Stokes

To θεώρημα του Stokes

Αν  έχουμε μια κλειστή προσανατολισμένη επιφάνεις S στο τρισδιάστατο χώρο  R³   με σύνορο την καμπύλη C  προσανατολισμένη επίσης, ώστε η S να βρίσκεται αριστερά της (άνθρωπος που βαδίζει κατά  μήκος των συνόρων  με το μοναδιαίο διάνυσμα να έχει την κατεύθυνση του σώματός του)

και  F : S-->R³ 

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας κατάλληλης παραγώγησης της F , υπολογίζεται από τις τιμές της F  στο σύνορο της επιφάνειας.

Σε δύο διαστάσεις είναι ισοδύναμο με το θεώρημα του Green

Το θεώρημα του Green  

  Dίνει την μια κλειστή καμπύλη C και μια κλειστή προσανατολισμένη επιφάνεια S στον δισδιάστατο χώρο R² που οριοθετείται από την C, καθώς και μια άλλη γραμμή αναπόσπαστη από την C.

Έστω το C να είναι μια θετικά προσανατολισμένη, τμηματικά ομαλή, απλή κλειστή καμπύλη σε ένα επίπεδο και ας D να είναι η περιοχή που οριοθετείται από το C. Αν L και M είναι συναρτήσεις (x, y) που ορίζονται σε μια ανοιχτή περιοχή που περιέχει D και έχουν συνεχή μερική παράγωγα εκεί, τότε

${\displaystyle {\scriptstyle C}}$ ${\displaystyle (L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

στις δύο διαστάσεις γίνεται χρήση επιφανειακού ολοκληρώματος. Mε το θεώρημα του Green υπολογίζουμε εμβαδά χωρίων

Στη Φυσική και την Μηχανική, το θεώρημα της Απόκλισης εφαρμόζεται συνήθως σε τρεις διαστάσεις

Θεώρημα της απόκλισης του Gauss

Θεωρούμε κυρτο χώρο V ( θεωρούμε Ω υποσύνολο του R³) που φράσσεται από επιφάνεια S η οποία αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων dS οι εξωτερικές κάθετες των οποίων,   συνιστούν συνεχές διανυσματικό πεδίο

Το θεώρημα του Gauss ή το θεώρημα του Ostrogradsky

είναι η εφαρμογή του γενικευμένου θεωρήματος απόκλισης στην ηλεκτροστατική

:Στην ολοκληρωτική του μορφή

${\displaystyle \Phi =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={1 \over \varepsilon _{o}}\int _{V}\rho \ \mathrm {d} V={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{o}}}}$

ενώ στην διαφορική του μορφή

{\dis

Διαισθητικά, δηλώνει ότι το άθροισμα όλων των πηγών (με τους νεροχύτες που θεωρούνται ως αρνητικές πηγές) δίνει την καθαρή ροή έξω από μια περιοχή.

Το θεώρημα απόκλισης είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα για τα μαθηματικά της φυσικής και της μηχανικής, ιδιαίτερα στην ηλεκτροστατική και τη δυναμική των ρευστών.

Ένα πεδίο εφρμογής του Ολοκληρωτικού λογισμού είναι

Στη φυσική και στη μηχανική, το θεώρημα απόκλισης εφαρμόζεται συνήθως σε τρεις διαστάσεις. Ωστόσο, γενικεύει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Σε μια διάσταση, είναι ισοδύναμο με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Σε δύο διαστάσεις, είναι ισοδύναμο με το θεώρημα του Green.

ΠΗΓΕΣ

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82#%CE%9F%CE%BB%CE%BF%CE%BA%CE%BB%CE%B7%CF%81%CF%89%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem

Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes.

Θεώρημα Stokes | Science Wiki | FANDOM powered by Wikia

Θεώρημα Stokes

https://myria.math.aegean.gr/~atsol/newpage/lecturenotes/APIV/Green_Stokes_Gauss.pdf

ακατεργαστο

Επικαμπύλια ολοκληρώματα. Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα και εφαρμογές στη Φυσική και τη Γεωμετρία: υπολογισμός όγκων, ροπών αδράνειας, εμβαδών επιφανειών. Επιφανειακά ολοκληρώματα και εφαρμογές στη ροή των ρευστών. Το Θεώρημα του Green. Παραμετρική αναπαράσταση επιφανειών και εφαρμογές. Το Θεώρημα του Stokes και εφαρμογές στη Φυσική. Το Θεώρημα της Απόκλισης.

Ηλεκτρισμός · Μαγνητισμός