Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ 2ο Οι εξισώσεις της αρχής της ελαχτης Δράσης για κίνηση: ο Maupertuis και ο Euler για τροχαιά ενός σώματος ο Lagrange για μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες Euler Lagrange

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ 2ο Οι εξισώσεις της αρχής της ελαχτης Δράσης για κίνηση: ο Maupertuis και ο Euler για τροχαιά ενός σώματος ο Lagrange για μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες Euler Lagrange

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗΝ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΗ

ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΤΕΙΝΕΙ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΑ, ΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΕΙ ΠΟΣΟΤΙΚΑ

ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΚΔΗΛΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Από τον Αριστοτέλη που διατύπωσε την υπόθεση ότι "η φύση δεν κάνει τίποτα μάταια και σε όλες τις εκδηλώσεις επιλέγει τον συντομότερο ή ευκολότερο δρόμο", και τους μετέπειτα επιστήμονες που το κάνουν πιο συγκεκριμένο, όπως ο Κλαύδιος Πτολαιμαίος στην οπτική (Η ανακλωμενη ακτίνα ακολουθεί τον συντομότερο δρόμο) , και ο ο Pierre Fermat που το μελέτησε πολύ αργότερα 1662 μαζί με τον μαθηματικό Huygens ,και ο Λάιμπνιτς 1669, που πρώτος έθεσε τον όρο της έννοιας τη Δράσης σαν θεμελιώδη έννοια της Φυσικής. Ο μετά Νεύτωνα το 1687, που μελέτησε την ελαχιστοποίηση της αντίστασης στην κίνηση και άλλες αξιόλογες προσπάθειες.

Το μείζον (όπως πολύ αργότερα αποδείχθηκε) θέμα άρχισε αμυδρά να δίνει τις πραγματικές του διαστάσεις μετά από το έργο του Leonhard Euler για τον λογισμό των μεταβολών και οι υποψίες δικαιώθηκαν τον επόμενο αιώνα όταν ο william Rowan Hamilton δημοσίευσε την εργασία του πάνω στις εξισώσεις των μεταβολών, οι οποίες είχαν δεκαετίες διατυπωθεί πριν από δεκαετίες από τους Εuler- Lagrange. Ο Χάμιλτον με το έργο του έδωσε μια παραλλαγη- επέκταση των προηγούμενων εξισώσεων σε άλλα πεδία όπως το ηλεκτρομαγνητικό

Όταν στις αρχές τουν προηγούμενον αιώνα, μέσα από την κβαντική φυσική που στηρίζεται στην ερμηνεία των φαινομένων, σαν επαναλαμβανόμενες εμφανίσεις του ίδιου θέματος με διαφορετικές συντεταγμένες και με μαθηματική ακρίβεια (περιοδικότητα), υποψιάστηκαν πως η ελαχιστοποίηση ή και στασιμοποίηση της δράσης μπορεί να είναι η αρχή για μια ευρύτερη κατανόηση του φυσικού κόσμου πράγμα που άλλωστε έτεινε γενικότερα η ανθρώπινη διανόηση στις αρχές του 20ου αιώνα σε μια εναγώνια προσπάθεια και θαυμαστά αποτελέσματα

Η συνάρτηση Lagrange L , το λειτουργικό J (Lagrangian)

και η εισαγωγή επιλεγμένη Lagrange σε δυναμικά συστήματα

για τον υπολογισμό της ελαχίστης δράσης

Αποτελούν θεμελιώδεις συναρτήσεις των θέσεων, των ταχυτήτων και ορισμένες περιπτώσεις του χρόνου

Κάνουν επέκταση της αρχή της δράσης σε ένα αυθαίρετο μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες και περιγράφουν την ανάπτυξη ενός συστήμτος

Υποδεικνύουν την διατήρηση των ποσοτήτων κατά τη διάρκεια της κίνησης εφόσον συμβαίνει αλλαγή κατά τη διάρκεια της κίνησης (ασκούνται δυνάμεις)

(Na σημειώσουμε ότι εδώ χρησιμοποιούνται οι γενικευμένες συντεταγμένες, όχι απαραίτητα οι καρτεσιανές).

Για να εκφράσουμε αυτή τη συνάρτηση πρέπει να βρούμε το πλήθος των αναξάρτητων μεταβλητών που απαιτούνται για να οριστεί η θέση του συστήματος, Το πλήθος αυτό καθορίζει τους βαθμούς ελευθερίας του.

Σωματίδιο που κινείται σε ευθεία γραμμή έχει ένα βαθμό ελευθερίας, αν κινείται σε επίπεδο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, και στον χώρο ελεύθερα έχει τρεις βαθμούς ελεθερίας.

Η θέση σε ένα στερεό σώμα καθορίζεται από έξη συντεταγμένες άρα έξη βαθμούς ελευθερίας: τρεις για την περιστροφή του και τρεις για την ελεύθερη κίνησή του (του κέντρου μάζας του) μέσα στον χώρο.

Αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας μπορεί να περιοριστούν εάν υπάρχουν δεσμοί που επιβάλλονται από δυνάμεις

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση F ((x, f(x), f΄(x) ) είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμη και εάν ορίσουμε δύο ακραία σημεία [a, b] το λειτουργικό ονομάζεται συνάρτηση Lagrange και αν πρόκειται φυσικά συστήματα ονομάζεατι Lagrangian και είναι : $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

Ακόμα, , έχουμε εξισώσεις Lagrange της μορφής ως προς τον χρόνο : $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ για q(t)

Έχουμε την q(t) η συντεταγμένη για έναν βαθμό ελευθερίας. και Η εξίσωση Lagrange είναι της μορφ'ης $L=L\left(q(t),{\dot {q(t)}},t\right)$

Για ι βαθμούς έχουμε $q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n$ και η συνάρτηση Lagrange είναι L(qi, qi, t)

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα μηχανικό σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

ΣΕ μια βολικά επιλεγμένη συνάρτηση Λαγκράνζ με την εισαγωγή της στην αρχής της ελαχίστης δράσης οδηγούμαστε σε δυναμικά συστήματα εξισώσεων (Δυναμικά συστήματα Λανγκράνζ)

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα μηχανικό σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση.

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από $S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER - LANGRAGE (1750) που εξάγωνται με την

εισαγωγή επιλεγμένης Lagrange σε δυναμικά συστήματα

για τον υπολογισμό της ελαχίστης δράσης

Η συνάρτηση Lagrange

Οι εξισώσεις Euler- Lagrange (δεκαετία 1750) που προκύπτουν στα όρια της lagrange

Οι εξισώσεις Euler που ελήφθησαν το 1750 από τους Όϊλερ και Λαγκρανζ , είναι βασικοί τύποι λογισμού των μεταβολών και χρησιμοποιούνται για αναζήτηση στάσιμων σημείων και ακραίων συναρτήσεων ( είναι κατά κάποιον τρόπο ανάλογες με την χρήση της πρώτης παραγώγου στον διαφορικό λογισμό, όπου σε σημεία μηδενισμού έχουμε ακρότατα της συνάρτησης). Στα σημεία αυτά μια ομαλή συνάρτηση μπορεί να έχει ένα άκρο.

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από $S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

Χρησιμοποιούνται για επίλυση προβλημάτων για το υπό συνθήκη άκρων συναρτήσεων, δηλαδή, είναι μια μέθοδος για την ανεύρεση του υπό συνθήκη ακρότατων και στάσιμων σημείων συναρτήσεων σε σχέση με τους περιορισμούς

Αν η λειτουργία J φτάσει σε ακραίο σημείο (για κάποια f) oi παράγωγοι μηδενίζονται και καταλήγουμε σε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση την: ${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$ που ονομάζεται Euler- Lagrange

ΠΟλυδιάστατες παραλλαγές της εξίσωσης Euler -Lagrange

αν q(t) για διαδρομή προς n-διάστατο χώρο η $J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

Σε ακρότατα είναι απαραίτητο να έχουμε την συνηθισμένη διαφορική ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$ $\forall k=1,2,\dots n$

Αν έχουμε ένα φυσικό σύστημα (Lagrangian) αυτές οι εξισώσεις είναι οι κλασσικές εξισώσεις κίνησης

Αν η συνάρτηση έχει n μεταβλητές και αν Ω είναι μια οποιαδήποτε διάστατη επιφάνεια τότε:

$J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$ προκαλέι ακραίο άκρο εκτός αν F ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση ${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από την

σχέση $S=\int L(q,\;{\dot {q}},\;t)~\mathrm {d} t$ Το χρονικό ολοκλήρωμα από μια δεδομένη τροχαιά είναι $S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)dt$

Με την αρχή της ελαχίστης δράσης παράγονται εξισώσεις που λαμβάνουν ακρότατα

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt$ , εδώ t₁ , t₂ ή συνάρτηση παίρνει ακραίο μέτρο

ΟΙ εξισώσεις αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα βελτιστοποίησης, στον υπολογισμό τροχαιών στη μηχανική και στην θεωρητική φυσική αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης στην έκφραση Δράσης

$Ακρα είναι τα σημεία που η συνάρτηση δίνει μέγιστα ή ελάχιστα$

Οι εξισώσεις Lagrange όταν οδηγούνται σε όρια και όταν παράγωγα της f είναι μεγαλύτερης τάξης μεγέθους

οδηγούν στις εξισώσεις Euler - Poisson

Τότε το λειτουργικό της συνάρτησης διαμορφώνεται ως εξής:

$J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{(n)}(x))\,dx.$

Για οριακές συνθήκες αν η f και τα παράγωγά του σε μια τάξη μεγέθους n-1 και αν η συνάρτηση Lagrange F δίνει συνεχείς μερικές παραγώγους τάξης 2n από την λειτουργική J με πολλαπλές ολοκληρώσεις σε μέρη, εξάγονται διαφορικές εξισώσεις ανάλογες των Euler -Lagrange από τον μηδενισμό των παραγώγων

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{(n)}}}=0.$ Αυτές οι εξισώσεις λέγονται εξισώσεις Euler - Poisson

$Σημείωση$

q_ι(t) είναι οι εξισώσεις θέσεων και η πρώτη παράγωγος αυτών ως προς τον χρόνο q_ι(t)΄ (που συμβολίζεται και με τελεία) είναι η συνάρτηση ταχυτήτων που ενίοτε συμβολίζεται και με το p_i(t)

Έτσι την εξίσωση βρίσκουμε γραμένη και με άλλους τρόπους όπως όπου

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

H συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Πως με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

θα βρεθεί η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Στην Φυσική οι Εξισώσεις Euler Lagrange χρησιμοποιούνται για υπολογισμό τροχαιών

Οι εξισώσεις κίνησης στην μηχανική Lagrange βασίζονται στην αρχή της ελαχίστης δράσης του Hamilton.

Το σύστημα κινείται κατά μήκος μιας τροχαιάς που αντιστοιχεί στην ελάχιστη δράση.

Στασιμότητα είναι όρος που θεωρεί ότι η δράση δεν αλλάζει στην πρώτη τάξη μικρότητας με απειροελάχιστη αλλαγή στην τροχαιά και σταθερό αρχικό (q_o, t_o) και τελικό (q₁, t₁)

Χρησιμοποιόντας την συνάρτηση Λαγκρανζ L για να βρούμε τον τρόπο που θα διανυθεί τροχαιά από σημείο (a, c) σε (b, d) . Το μήκος του μονοπατιού L(H) μπορεί να γραφεί μέσω f = y(x) ως εξής: θεωρώντας την τροχαιά σαν καμπύλη- μέρος κυκλικής τροχαιάς η εξίσωση είναι εξίσωση της κυκλικής κίνησης

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$ και στα άκρα μηδενίζονται οι παράγωγοι. Με διπλή διαφοροποίηση [d (θL/ψ΄)]/dx

και η εξίσωση Euler Lagrange ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,$ για να σταθεροποιηθεί η δράση η εσωτερική παράγωγος πρέπει να είναι σταθερά:

${\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=C$ και αντικαθιστώντας dy/dx και με μαθηματικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε ψ= Cx + D που μας δίνει ευθεία γραμμή. Είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που περνά από τα σημε'ια εκκίνησης. άρα

Οι κινήσεις σωματιδίων σε επίπεδο μεταξύ δύο σημείων, σύμφωνα με την Αρχή του Hamilton όπου δράση ελαχιστοποιείται είναι ευθύγραμμα τμήματα

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE ΣE ENA MHXANIKO ΣΥΣΤΗΜΑ

Στην Φυσική η Λαγκρατζιανή συνάρτηση είναι μια βαθμωτή συνάρτηση και τα μεγέθη είναι θέσης, ταχύτητας και χρόνου.

Η συνάρτηση Lagrange είναι μια θεμελιώδης συνάρτηση θέσεων, ταχυτήτων και εν γένει χρόνου για το εκάστοτε μηχανικό σύστημα

Σε ένα απλό εκκρεμές μάζας m γνωστού μήκους που η κίνηση εξελίσσεται στο κατακόρυφο επίπεδο και η θέση καθορίζεται από πολικές (r,φ ) στις οποίες εκφράζεται η σχέση r= l

ή καρτεσιανές (x, y) συντεταγμένες, στις οποίες εκφράζεται η σχέση l₂ = x₂ + y₂ ,

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ 1

H ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

Ποιο σχήμα θα πάρει μια μεμβράνη εάν αφεθεί ελεύθερη σύμφωνα thn Hamilton

με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

Αν έχουμε συνάρτηση με n μεταβλητές και Ω είναι μια nδιάστατη επιφάνεια τότε : $J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$ όπου $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$ , $f_{x_{i}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ ,

όπως αναφέρθηκε πιο πάνω...

Aν η συνάρτηση J σε κάποια σημεία φτάνει σε ακρότατα , πρέπει να κρατηθεί μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση και γι αυτό

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$

επειδή στην περίπτωση εδώ η συνάρτηση προκαλεί ακραίο εκτός εάν η f ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση

${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$ Η εργασία πάνω στην εξίσωση αυτή προυποθέτει να έχουμε n=2 και η L να είναι ενέργεια λειτουργική και ονομάζεται ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

OI εξισώσεις Lagrange αλλάζουν με τον χρόνο, την αλλαγή συντεταγμένων και ορμής των σωματιδίων.

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

Αν ολοκληρώσουμε ως προς χρόνο και έχουμε την q(t) , q΄(t) , t και έχουμε την L (q(t) , q΄(t) , t ) τότε $J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Λέοναρντ Όιλερ - Βικιπαίδεια

Λαγκρανζιανή μηχανική - Βικιπαίδεια

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ - Βικιπαίδεια

Εφαρμογές-της-αναλυτικής-Lagrange-στο-λύκειο.pdf

ΠΗΓΕΣ

Επαφή