Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ 2ο Οι εξισώσεις που ακολουθούν την αρχή της ελαχίστης Δράσης για κίνηση: ο Maupertuis και ο Euler για τροχαιά ενός σώματος ο Lagrange για μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες Euler Lagrange

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ 2ο Οι εξισώσεις που ακολουθούν την αρχή της ελαχίστης Δράσης για κίνηση: ο Maupertuis και ο Euler για τροχαιά ενός σώματος ο Lagrange για μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες Euler Lagrange

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

σε επεξεργασία

ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗΝ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΗ

ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΤΕΙΝΕΙ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΑ, ΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΕΙ ΠΟΣΟΤΙΚΑ

ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΚΔΗΛΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Από τον Αριστοτέλη που διατύπωσε την υπόθεση ότι "η φύση δεν κάνει τίποτα μάταια και σε όλες τις εκδηλώσεις επιλέγει τον συντομότερο ή ευκολότερο δρόμο", και τους μετέπειτα επιστήμονες που το κάνουν πιο συγκεκριμένο, όπως ο Κλαύδιος Πτολαιμαίος στην οπτική (Η ανακλωμενη ακτίνα ακολουθεί τον συντομότερο δρόμο) , και ο ο Pierre Fermat που το μελέτησε πολύ αργότερα 1662 μαζί με τον μαθηματικό Huygens ,και ο Λάιμπνιτς 1669, που πρώτος έθεσε τον όρο της έννοιας τη Δράσης σαν θεμελιώδη έννοια της Φυσικής. Ο μετά Νεύτωνα το 1687, που μελέτησε την ελαχιστοποίηση της αντίστασης στην κίνηση και άλλες αξιόλογες προσπάθειες.

Το μείζον (όπως πολύ αργότερα αποδείχθηκε) θέμα άρχισε αμυδρά να δίνει τις πραγματικές του διαστάσεις μετά από το έργο του Leonhard Euler για τον λογισμό των μεταβολών και οι υποψίες δικαιώθηκαν τον επόμενο αιώνα όταν ο william Rowan Hamilton δημοσίευσε την εργασία του πάνω στις εξισώσεις των μεταβολών, οι οποίες είχαν δεκαετίες διατυπωθεί πριν από δεκαετίες από τους Εuler- Lagrange. Ο Χάμιλτον με το έργο του έδωσε μια παραλλαγη- επέκταση των προηγούμενων εξισώσεων σε άλλα πεδία όπως το ηλεκτρομαγνητικό

Όταν στις αρχές τουν προηγούμενον αιώνα, μέσα από την κβαντική φυσική που στηρίζεται στην ερμηνεία των φαινομένων, σαν επαναλαμβανόμενες εμφανίσεις του ίδιου θέματος με διαφορετικές συντεταγμένες και με μαθηματική ακρίβεια (περιοδικότητα), υποψιάστηκαν πως η ελαχιστοποίηση ή και στασιμοποίηση της δράσης μπορεί να είναι η αρχή για μια ευρύτερη κατανόηση του φυσικού κόσμου πράγμα που άλλωστε έτεινε γενικότερα η ανθρώπινη διανόηση στις αρχές του 20ου αιώνα σε μια εναγώνια προσπάθεια και θαυμαστά αποτελέσματα

Το έργο του Euler για την Μηχανική και την Φυσική

Ο Euler Ελβετός, Ρώσος και Πρώσος μαθηματικός και μηχανικός, τιμήθηκε για το μεγάλο έργο του σαν Ακαδημαϊκός της Ακαδημίας των επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, του Βερολίνου, του Τορίνου, της Λισαβώνας και της Βασιλείας.

Στην Φυσική, με τις σημαντικές εργασίες του για την κίνηση υλικού σημείου, τον λογισμό μεταβολών και την ελαχιστοποίησης της δράσης καθώς και για τις εργασίες μαζί με τον άλλον κορυφαίο φυσικό Lagrange έθεσε τα θεμέλια για την Λαγκρατζιανή Μηχανική που επέκταση τη Νευτώνιας

Οι εξισώσεις Lagrange ή εξισώσεις Euler- Lagrange (δεκαετία 1750)

Οι εξισώσεις Lagrange οι οποίες προήλθαν από την γενίκευση των εξισώσεων Clairaut και περιγράφουν κίνηση.

Χρησιμοποιούνται για επίλυση προβλημάτων για το υπό συνθήκη άκρων συναρτήσεων, δηλαδή, είναι μια μέθοδος για την ανεύρεση του υπό συνθήκη ακρότατων και στάσιμων σημείων συναρτήσεων σε σχέση με τους περιορισμούς

Κάνουν επέκταση της αρχή της δράσης σε ένα αυθαίρετο μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες

Υποδεικνύουν την διατήρηση των ποσοτήτων κατά τη διάρκεια της κίνησης εφόσον συμβαίνει αλλαγή κατά τη διάρκεια της κίνησης (ασκούνται δυνάμεις)

Αποτελούν θεμελιώδεις συναρτήσεις των θέσεων, των ταχυτήτων και ορισμένες περιπτώσεις του χρόνου

ΣΕ μια βολικά επιλεγμένη συνάρτηση Λαγκράνζ με την εισαγωγή της αρχής της ελαχίστης δράσης οδηγούμαστε σε δυναμικά συστήματα εξισώσεων (Δυναμικά συστήματα Λανγκράνζ)

(Na σημειώσουμε ότι εδώ χρησιμοποιούνται οι γενικευμένες συντεταγμένες, όχι απαραίτητα οι καρτεσιανές).

Για να εκφράσουμε αυτή τη συνάρτηση πρέπει να βρούμε το πλήθος των αναξάρτητων μεταβλητών που απαιτούνται για να οριστεί η θέση του συστήματος, Το πλήθος αυτό καθορίζει τους βαθμούς ελευθερίας του.

Σωματίδιο που κινείται σε ευθεία γραμμή έχει ένα βαθμό ελευθερίας, αν κινείται σε επίπεδο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, και στον χώρο ελεύθερα έχει τρεις βαθμούς ελεθερίας.

Η θέση σε ένα στερεό σώμα καθορίζεται από έξη συντεταγμένες άρα έξη βαθμούς ελευθερίας: τρεις για την περιστροφή του και τρεις για την ελεύθερη κίνησή του (του κέντρου μάζας του) μέσα στον χώρο.

Αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας μπορεί να περιοριστούν εάν υπάρχουν δεσμοί που επιβάλλονται από δυνάμεις

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση F ((x, f(x), f΄(x) ) είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμη και εάν ορίσουμε δύο ακραία σημεία [a, b] το λειτουργικό ονομάζεται συνάρτηση Lagrange και αν πρόκειται φυσικά συστήματα ονομάζεατι Lagrangian και είναι : $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

Αν η λειτουργία J φτάσει σε ακραίο σημείο (για κάποια f) oi παράγωγοι μηδενίζονται και καταλήγουμε σε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση την: ${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$ που ονομάζεται Euler- Lagrange

Ακόμα, , έχουμε εξισώσεις Lagrange της μορφής ως προς τον χρόνο : $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ για q(t)

Έχουμε την q(t) η συντεταγμένη για έναν βαθμό ελευθερίας. και Η εξίσωση Lagrange είναι της μορφ'ης $L=L\left(q(t),{\dot {q(t)}},t\right)$

Για ι βαθμούς έχουμε $q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n$ και η συνάρτηση Lagrange είναι L(qi, qi, t)

ΠΟλυδιάστατες παραλλαγές της εξίσωσης Euler -Lagrange

αν q(t) για διαδρομή προς n-διάστατο χώρο η $J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

Σε ακρότατα είναι απαραίτητο να έχουμε την συνηθισμένη διαφορική ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$ $\forall k=1,2,\dots n$

Αν έχουμε ένα φυσικό σύστημα (Lagrangian) αυτές οι εξισώσει είναι οι κλασσικές εξισώσεις κίνησης

Αν η συνάρτηση έχει n μεταβλητές και αν Ω είναι μια οποιαδήποτε διάστατη επιφάνεια τότε:

$J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$ προκαλέι ακραίο άκρο εκτός αν F ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση ${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από την

σχέση $S=\int L(q,\;{\dot {q}},\;t)~\mathrm {d} t$ Το χρονικό ολοκλήρωμα από μια δεδομένη τροχαιά είναι $S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)dt$

Με την αρχή της ελαχίστης δράσης παράγονται εξισώσεις που λαμβάνουν ακρότατα

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt$ , εδώ t₁ , t₂ ή συνάρτηση παίρνει ακραίο μέτρο

ΟΙ εξισώσεις αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα βελτιστοποίησης, στον υπολογισμό τροχαιών στη μηχανική και στην θεωρητική φυσική αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης στην έκφραση Δράσης

$Ακρα είναι τα σημεία που η συνάρτηση δίνει μέγιστα ή ελάχιστα$

$Σημείωση$

q_ι(t) είναι οι εξισώσεις θέσεων και η πρώτη παράγωγος αυτών ως προς τον χρόνο q_ι(t)΄ (που συμβολίζεται και με τελεία) είναι η συνάρτηση ταχυτήτων που ενίοτε συμβολίζεται και με το p_i(t)

Έτσι την εξίσωση βρίσκουμε γραμένη και με άλλους τρόπους όπως όπου

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

H συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Πως με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

θα βρεθεί η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Στην Φυσική οι Εξισώσεις Euler Lagrange χρησιμοποιούνται για υπολογισμό τροχαιών

Οι εξισώσεις κίνησης στην μηχανική Lagrange βασίζονται στην αρχή της ελαχίστης δράσης του Hamilton.

Το σύστημα κινείται κατά μήκος μιας τροχαιάς που αντιστοιχεί στην ελάχιστη δράση.

Στασιμότητα είναι όρος που θεωρεί ότι η δράση δεν αλλάζει στην πρώτη τάξη μικρότητας με απειροελάχιστη αλλαγή στην τροχαιά και σταθερό αρχικό (q_o, t_o) και τελικό (q₁, t₁)

Χρησιμοποιόντας την συνάρτηση Λαγκρανζ L για να βρούμε τον τρόπο που θα διανυθεί τροχαιά από σημείο (a, c) σε (b, d) . Το μήκος του μονοπατιού L(H) μπορεί να γραφεί μέσω f = y(x) ως εξής: θεωρώντας την τροχαιά σαν καμπύλη- μέρος κυκλικής τροχαιάς η εξίσωση είναι εξίσωση της κυκλικής κίνησης

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$ και στα άκρα μηδενίζονται οι παράγωγοι. Με διπλή διαφοροποίηση [d (θL/ψ΄)]/dx

και η εξίσωση Euler Lagrange ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,$ για να σταθεροποιηθεί η δράση η εσωτερική παράγωγος πρέπει να είναι σταθερά:

${\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=C$ και αντικαθιστώντας dy/dx και με μαθηματικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε ψ= Cx + D που μας δίνει ευθεία γραμμή. Είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που περνά από τα σημε'ια εκκίνησης. άρα

Οι κινήσεις σωματιδίων σε επίπεδο μεταξύ δύο σημείων, σύμφωνα με την Αρχή του Hamilton όπου δράση ελαχιστοποιείται είναι ευθύγραμμα τμήματα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ 1

H ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

Ποιο σχήμα θα πάρει μια μεμβράνη εάν αφεθεί ελεύθερη σύμφωνα thn Hamilton

με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

Αν έχουμε συνάρτηση με n μεταβλητές και Ω είναι μια nδιάστατη επιφάνεια τότε : $J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$ όπου $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$ , $f_{x_{i}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ ,

όπως αναφέρθηκε πιο πάνω...

Aν η συνάρτηση J σε κάποια σημεία φτάνει σε ακρότατα , πρέπει να κρατηθεί μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση και γι αυτό

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$

επειδή στην περίπτωση εδώ η συνάρτηση προκαλεί ακραίο εκτός εάν η f ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση

${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$ Η εργασία πάνω στην εξίσωση αυτή προυποθέτει να έχουμε n=2 και η L να είναι ενέργεια λειτουργική και ονομάζεται ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

OI εξισώσεις Lagrange αλλάζουν με τον χρόνο, την αλλαγή συντεταγμένων και ορμής των σωματιδίων.

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

Αν ολοκληρώσουμε ως προς χρόνο και έχουμε την q(t) , q΄(t) , t και έχουμε την L (q(t) , q΄(t) , t ) τότε $J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

ακατεργαστο

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE ΣE ENA MHXANIKO ΣΥΣΤΗΜΑ

Στην Φυσική η Λαγκρατζιανή συνάρτηση είναι μια βαθμωτή συνάρτηση και τα μεγέθη είναι θέσης, ταχύτητας και χρόνου.

Η συνάρτηση Lagrange είναι μια θεμελιώδης συνάρτηση θέσεων, ταχυτήτων και εν γένει χρόνου για το εκάστοτε μηχανικό σύστημα

Σε ένα απλό εκκρεμές μάζας m γνωστού μήκους που η κίνηση εξελίσσεται στο κατακόρυφο επίπεδο και η θέση καθορίζεται από πολικές (r,φ ) στις οποίες εκφράζεται η σχέση r= l

ή καρτεσιανές (x, y) συντεταγμένες, στις οποίες εκφράζεται η σχέση l₂ = x₂ + y₂ ,

ΠΗΓΕΣ

Λέοναρντ Όιλερ - Βικιπαίδεια

Λαγκρανζιανή μηχανική - Βικιπαίδεια

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ - Βικιπαίδεια

Εφαρμογές-της-αναλυτικής-Lagrange-στο-λύκειο.pdf

Επαφή