Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ: KBANTIKH ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ: KBANTIKH ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΗΜΕΙΑΣ

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

ΑΚΑΤΕΡΓΑΣΤΑ

Η κυματομηχανική είναι μια θεμελιώδης φυσική θεωρία που περιγράφει τη φύση στην κλίμακα των ατόμων και των υποατομικών σωματιδίων. Αποτελεί τη βάση όλης της κβαντικής φυσικής, συμπεριλαμβανομένης της κβαντικής χημείας, της κβαντικής θεωρίας πεδίου, της κβαντικής τεχνολογίας και της επιστήμης της κβαντικής πληροφορίας

Χαμιλτονιανή ( ${\hat {H}}$ ή Η) στην κβαντική θεωρία, ο τελεστής της συνολικής ενέργειας του συστήματος (πρβλ. συνάρτηση του Χάμιλτον). Το όνομα "Hamiltonian", όπως και το όνομα "Hamiltonian function", προέρχεται από το επώνυμο του Ιρλανδού μαθηματικού William Rowan Hamilton.

Το φάσμα του είναι το σύνολο των πιθανών τιμών κατά τη μέτρηση της συνολικής ενέργειας ενός συστήματος. Το Χαμιλτονιανό φάσμα μπορεί να είναι διακριτό ή συνεχές. Μπορεί επίσης να υπάρχει μια κατάσταση (π.χ. για το δυναμικό Coulomb) όπου το φάσμα αποτελείται από ένα διακριτό και ένα συνεχές μέρος.

Δεδομένου ότι η ενέργεια είναι μια πραγματική ποσότητα, η Χαμιλτονιανή είναι ένας αυτοσυζυγής τελεστής.

Η Κβαντική Χημεία είναι ο κλάδος εκείνος της Θεωρητικής Χημείας (και ειδικότερα της Θεωρητικής Φυσικοχημείας) ο οποίος αποτελεί εφαρμογή της Κβαντικής Μηχανικής (κλάδος της Φυσικής) στα προβλήματα της Χημείας. Η ποιοτική και ποσοτική περιγραφή της ηλεκτρονι(α)κής συμπεριφοράς και δραστικότητας ατόμων και μορίων αποτελεί παράδειγμα εφαρμογής της Κβαντικής Χημείας. Να σημειωθεί ότι αν και θεωρητικός ο κλάδος της Κβαντικής Χημείας συνδέεται άμεσα με τις πειραματικές μετρήσεις και κυρίως με αυτές του πεδίου της Φασματοσκοπίας.

Γενικά, οι βασικοί νόμοι της Κβαντομηχανικής που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή ενός χημικού συστήματος εκφράζονται μαθηματικά από περίπλοκες εξισώσεις που είναι είτε πολύ δύσκολο, είτε (συχνότερα) αδύνατο να επιλυθούν «με μολύβι και χαρτί», οπότε γίνεται εκτεταμένη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών για την αριθμητική επίλυση των ορισθέντων προβλημάτων, έπειτα από κατάλληλες προσεγγίσεις. Έτσι, οδηγούμαστε στο χώρο της υπολογιστικής Κβαντικής Χημείας.

Επίσης, καλό είναι να αναφερθεί πως εκτός των κβαντοχημικών υπολογισμών των ιδιοτήτων ενός μορίου υπάρχουν περιπτώσεις στις όποιες επιλέγονται άλλα θεωρητικά μοντέλα που είναι πιο εύχρηστα (π.χ. προσδιορισμός της τρισδιάστατης δομής ενός μακρομορίου), όπως είναι η Στατιστική Θερμοδυναμική (κλάδος της Φυσικής). Αυτό φαίνεται πως συμφέρει περισσότερο για τα μεγάλα μόρια, αφού όσο μεγαλύτερο είναι ένα μόριο, τόσο περισσότερα είναι τα ηλεκτρόνιά του και άρα πιο επίπονη η διαδικασία των υπολογισμών.

Κβαντική χημεία - Βικιπαίδεια

ΑΚΑΤΕΡΓΑΣΤΟ

Για σχεδόν κάθε μονοπάτι, θα υπάρχει ένα μονοπάτι όπου η εισβολή φάσης θα είναι ακριβώς το αντίθετο και θα αθροίζονται σε μηδενική συνεισφορά. Μόνο εκείνες οι τροχιές για τις οποίες η δράση είναι κοντά στην ακραία τιμή (για τα περισσότερα συστήματα, την ελάχιστη) δεν συντομεύονται

Αρχή της ελάχιστης δράσης - Βικιπαίδεια

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ ΠΡΟΩΘΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 4ο: Αρχές του 1900: Από την μηχανική του συνεχούς και την κλασσική θεωρία πεδίου, τώρα, η κβαντομηχανική δείχνει ότι οι τροχαιές επιρεάζονται από την δράση ακραίων τιμων .

akatergasto

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

Η ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ

Διατύπωση από Maupertuis (1746) της αρχής της ελάχιστης δράσης κατά τiς αλλαγές

Euler ( 1750) $\int mv\,ds$ . Λογισμός των μεταβολών H τροχαιά του σώματος εκτελεί ένα ελάχιστο

(1760) από j. Lagrange Επέκταση της αρχή της δράσης σε ένα αυθαίρετο μηχανικό σύστημα με γενικευμένες συντεταγμένες $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

q(t) η συντεταγμένη για έναν βαθμό ελευθερίας. Για ι βαθμούς έχουμε $q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n$

(1837) J. Jacobi Επέκταση της αρχής ελαχίστης δράσης σε κλασσική μηχανική και κβαντομηχανική

(1834-1835 ) H εξισωση Hamilton Γενικευμένη εξίσωση κίνησης, βασίζεται στην αρχή ελαχίστης δράσης με τις εξισώσεις Euler Lagrange καιχρησιμοποιείται για περιγραφή συστημάτων μηχανικών, ηλεκτρομαγνητκών όσο και κβαντικών συστήματα

$\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L{\big (}\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t{\big )}\,dt=0.$

H (q k, q ˙ k) := \sum k q ˙ k \partial L \partial q ˙ k - L (q k, q ˙ k)

H εξίσωση Schrodingertr το 1925

Πιθανολογική Ερμηνεία το 1926 από τον Max Born

Η ερμηνεία της Κοπενχάγης το 1927 από τους Niels Henrik David Bohr και Werner Karl Heisenberg,

ΑΚΑΤΕΡΓΑΣΤΟ

Εξισώσεις
Η εξίσωση του Schrödinger · Εξίσωση Pauli · Εξίσωση Klein-Gordon · Η εξίσωση του Dirac · Εξίσωση Von Neumann · Η εξίσωση του Bloch · Εξίσωση Lindblad · Εξίσωση Heisenberg

Χαμιλτονιανή (κβαντομηχανική) - Βικιπαίδεια

Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Η Χαμιλτονιανή (συνάρτηση Χάμιλτον) είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από γενικευμένες συντεταγμένες, ορμές και πιθανώς χρόνο, περιγράφοντας τη δυναμική ενός μηχανικού συστήματος στη Χαμιλτονιανή διατύπωση της κλασικής και κβαντομηχανικής, καθώς και της κβαντικής θεωρίας πεδίου, στην οποία οι εξισώσεις κίνησης είναι οι εξισώσεις Hamilton

Εξισώσεις κβαντομηχανικής που περιλαμβάνουν την Hamiltonian

h εξίσωση Σρέντινγκερ (Schrödinger)

Η εξίσωση Σρέντινγκερ (Schrödinger) είναι μία διαφορική εξίσωση η οποία προτάθηκε από τον Αυστριακό φυσικό Έρβιν Σρέντινγκερ το 1925 και δημοσίευσε το 1926, για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση κβαντομηχανικών συστημάτων. Παίζει κεντρικό ρόλο στην κβαντομηχανική θεωρία, με σημασία ανάλογη του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στην κλασσική μηχανική.

Η εξίσωση που επινόησε ο Σρέντινγκερ είναι η εξής:

{\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t),

όπου ${\hat {H}}$ είναι ο τελεστής της Χαμιλτονιανής (Hamiltonian) του συστήματος που εξετάζουμε, $i$ η φανταστική μονάδα, $t$ ο χρόνος, $r$ η θέση στο τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο και $\hbar$ η σταθερά του Πλανκ.

Η εξίσωση Heisenberg είναι μια εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη ενός κβαντικού παρατηρήσιμου συστήματος Hamilton, που ελήφθη από τον Werner Heisenberg το 1925. Αυτή η εξίσωση έχει ως εξής:

{d \over dt}A={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}},

Πού είναι $\ A$ — κβαντική παρατηρήσιμη, η οποία μπορεί σαφώς να εξαρτάται από το χρόνο, $\ H$ είναι ο χειριστής του Χάμιλτον και οι βραχίονες δείχνουν τον διακόπτη. Στην περίπτωση ανοιχτών, διασκορπιστικών και μη Χαμιλτονιανών κβαντικών συστημάτων, η εξίσωση Lindblad χρησιμοποιείται για το κβαντικό παρατηρήσιμο. Αν πάρουμε τους τελεστές συντεταγμένων και ορμής ως παρατηρήσιμους, παίρνουμε κβαντικά ανάλογα των κλασικών εξισώσεων Hamilton.

Από αυτή την εξίσωση προκύπτει, ειδικότερα, η εξίσωση Ehrenfest, εάν οι μέσες τιμές των παρατηρούμενων επιλεγούν ως κβαντικά παρατηρήσιμα. Στην κλασική μηχανική, η εξίσωση Heisenberg είναι ανάλογη με την εξίσωση Hamilton.

Από τις εξισώσεις Euler- Lagrange και την γενίκευση της Hamiltonian είδαμε ότι:

Η σχέση της δράσης S από την χρονική στιγμη t₁ έως την ς t₂ με την χρήση της εξίσωσης Λαγκάρτζε δίνεται από την σχέση

$S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$ (όπου S η δράση, L μια συνάρτηση lagrange, qi οι συντεταγμένες, q με τελεία παράγωγοι ανά τον χρόνο(ταχύτητες))

και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

Έτσι μπορούμε να πάρουμε άμεσα τις εξισώσεις του Hamilton απλά μεταβάλλοντας την δράση S και χρησιμοποιώντας την lagrangian στην αρχή της στάσιμης δράσης .

ή $H(p,q,t)=\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L(q,{\dot {q}},t)$ και επιλύοντας ως προς L

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt$

$S[p,q]=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)\,dt{\Big )}=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t){\Big )}\,dt,$ όπου

${\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N},t)$ $q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$ – (γενικευμένες) συντεταγμένες, $p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}$ — τις (γενικευμένες) παρορμήσεις . Κάθε μια από αυτές τις συντεταγμένες είναι συνάρτηση του χρόνου. Έτσι, όλες μαζί χαρακτηρίζουν την εξέλιξη (κίνηση) του συστήματος

ΠΗΓΕΣ

Δράση (φυσική ποσότητα) - Βικιπαίδεια

Αρχή της ελάχιστης δράσης - Βικιπαίδεια

Ερμηνεία της Κοπεγχάγης - Βικιπαίδεια

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ: KBANTIKH ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΗΜΕΙΑΣ

Επαφή