Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΒΙΟΧΗΜΕΙΑΣ ΠΡΟΩΘΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ: Η Αρχή του Χάμιλτον (της ελαχίστης δράσης) για την στασιμοποίηση της ΔΡΑΣΗΣ S .Οι εξισώσεις Euler Lagrange που χρησιμοποιούνται στην αρχή της ελαχίστης Δράσης

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΒΙΟΧΗΜΕΙΑΣ ΠΡΟΩΘΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ: Η Αρχή του Χάμιλτον (της ελαχίστης δράσης) για την στασιμοποίηση της ΔΡΑΣΗΣ S .Οι εξισώσεις Euler Lagrange που χρησιμοποιούνται στην αρχή της ελαχίστης Δράσης

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

υπό έρευνα

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ

Είναι μια αρχή της Φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται

Στη Φυσική η Δράση είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος sτο οποίο φυσικό μέγεθος οφείλεται η μεταβολή των μεγεθών του συστήματος

Περιλαμβάνεται στην διατύπωση σύγχρονων θεωριών όλων σχεδόν των κλάδων της Φυσικής, με μεγάλη σημασία για την θεωρητική Φυσική.

Η αρχή της ελαχίστης δράσης διατυπώθηκε αρχικά το 1740 από τον Maurertuis για την Μηχανική και το έργο του υποστηρίχτηκε από τον Euler o οποίος επίσης ανέπτυξε τον λογισμό των μεταβολών

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ HAMILTON ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Η Χαμιλτονιανή διατύπωση για την περιγραφή ενός μηχανικού συστήματος της κλασικής Μηχανικής.

Είναι μια συνάρτηση που περιγράφει την δυναμική ενός μηχανικού συστήματος στην Χαμιλτιανή διατύπωση

Εξαρτάται από γενικευμένες συντεταγμένες , ορμή κια πιθανόν χρόνο

H(p,q),

H(p,q,t),

p= p₁, p₂,... p_n είναι παράγοντες του συστήματος που περιγράφουν παλμούς και n είναι οι βαθμοί ελευθερίας του

q= q₁, q₂,... q_n είναι ένα πλήρες σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων

Ο Χαμιλτονιανός τελεστής στην κβαντική μηχανική και στην κβαντική θεωρία πεδίου

Χαμιλτονιανή στην κβαντική θεωρία. Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER - LANGRAGE

Οι εξισώσεις Euler που ελήφθησαν το 1750 από τους Όϊλερ και Λαγκρανζ , είναι βασικοί τύποι λογισμού των μεταβολών και χρησιμοποιούνται για αναζήτηση στάσιμων σημείων και ακραίων συναρτήσεων ( είναι κατά κάποιον τρόπο ανάλογες με την χρήση της πρώτης παραγώγου στον διαφορικό λογισμό, όπου σε σημεία μηδενισμού έχουμε ακρότατα της συνάρτησης)

Στην συνέχεια το 1788 ο Lagrage ανέπτυξε την εφαρμογή της αρχής της ελαχίστης δράσης στην Μηχανική με την χρηση του λογισμού των μεταβολών και των γενικευμένων συντεταγμένων.

ΣΕ μια βολικά επιλεγμένη συνάρτηση Λαγκράνζ με την εισαγωγή της αρχής της ελαχίστης δράσης οδηγούμαστε σε δυναμικά συστήματα εξισώσεων (Δυναμικά συστήματα Λανγκράνζ)

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από την σχέση $S=\int L(q,\;{\dot {q}},\;t)~\mathrm {d} t$

Να σημειώσουμε ότι εδώ χρησιμοποιούνται οι γενικευμένες συντεταγμένες, όχι απαραίτητα οι καρτεσιανές.

Η συνάρτηση Λαγκρανζ μετασχηματίζεται μέσω μετασχηματισμού Legendre

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE

O μετασχηματισμός αυτός μας επιτρέπει να τροποποιούμε μεταβλητές σε συναρτήσεις και χρησιμοποιείται αρχικά στη θερμοδυναμική, ηλεκτροδυναμική και μηχανική και παίζει μεγάλο ρόλο στην κβαντική θεωρία πεδίου στην συνέχεια. καθιερώνοντας μια σχέση μεταξύ συζυγών ποσοτήτων όπως η εντροπία και η ενέργεια, η ορμή και η ταχύτητα κ.α.

Έτσι παράγονται ισοδύναμες διατυπώσεις που ευνοούν καλύτερα ορισμένα φυσικά ή μαθηματικά θέματα σε πολλούς επιστημονικούς και τεχνικούς κλάδους .

Ο μετασχηματισμός Legendre είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που αντικαθιστά αρχικά την αρχική συνάρτηση με μια άλλη με νέες μεταβλητές που εξυπηρετούν καλύτερα συγκεκριμένα θέματα.

Ταυτόχρονα μετατρέπονται και οι χώροι που ορίζονται οι συναρτήσεις αυτές . Αν η αρχική συνάρτηση λ.χ. ορίζονταν στον διανυσματικό χώρο V η διϊκή που προέκυψε με τον μετασχηματισμό θα ορίζεται στον χώρο V*

Ο μετασχηματισμός κάθε φορά γίνεται ώστε η παλιά παράγωγος λαμβάνεται ως νέα μεταβλητή και η παλιά μεταβλητή ως νέα παράγωγος

Αν $df(x)=f'(x)\,dx$

ΠΟΙΑ ΕΊΝΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ "ΔΡΑΣΗ"

Στη Φυσική η Δράση είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος που περιλαμβάνεται στην διατύπωση σύγχρονων θεωριών όλων σχεδόν των κλάδων της Φυσικής, με μεγάλη σημασία για την θεωρητική Φυσική.

Σε αυτό το φυσικό μέγεθος οφείλεται η μεταβολή των μεγεθών του συστήματος

Δράση
$S=\int L(q,\;{\dot {q}},\;t)~\mathrm {d} t$
Διάσταση	L²MT⁻¹

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες ενέργεια επί χρόνο

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από την σχέση στο πλαίσιο

Εδώ χρησιμοποιούνται οι γενικευμένες συντεταγμένες, όχι απαραίτητα οι καρτεσιανές.

( Παράδειγμα για μια κίνηση σε σφαιρική επιφάνεια, οι συντεταγμένες είναι η ακτίνα και η γωνία ((r, θ) ενώ στις καρτεσιανές έχουμε τους άξονες χ΄χ, ψ΄ψ, zz΄)

Σε ειδικές περιπτώσεις επιλέγονται με τη μορφή καρτεσιανών συντεταγμένων

Η δράση ενός σώματος που από την κατάσταση Α περιήλθε στην κατάσταση Β δίνεται από $S\equiv \int _{A}^{B}L\left(a_{i},{\dot {a_{i}}},{\ddot {a_{i}}},...,t\right)dt$ ( α_i είναι μεγέθος που περιγράφει το σύστημα )

_{Τα στην παρένθεση τα αι είναι μεγέθη που περιγράφουν το σύστημα και ο δείκτης ι δείχνει τον αριθμό των συνιστωσών του διανύσματος . L είναι η εξίσωση Euler Lagrance}

ΠΟΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER -LAGRANGE ΠΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΟΥΝ ΤΗΝ ΔΡΑΣΗ

H συνάρτηση Lagrage είανι ένα δυναμικό σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων που περιγράφει την ανάπτυξη ενός συστήματος

Παράδειγμα: Οι εξισώσεις κίνησης ( αρχή της ελαχίστης δράσης

Χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα βελτιστοποίησης, στον υπολογισμό τροχαιών στη μηχανική και στην θεωρητική φυσική αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης στην έκφραση Δράσης

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα μηχανικό σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση.

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από $S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

Είναι ισοδύναμες με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα :η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του $\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}=\Delta {\vec {p}}$

_{ΠΩΣ ΥΛΟΠΟΙΕΙΤΑΙ H AΡΧΗ ΤΟΥ HAMILTON}

Η αρχή του Χάμιλτον που έχει γενική ισχύ στη Φυσική και εφασμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μια διαδικασία ώστε να στασιμοποιείται η δράση S των συστημάτων

Αυτή η στασιμοποίηση συμβαίνει όταν δράση μεταβάλεται κατά τάξη ε² ή μεγαλύτερη ( ε³ , ε⁴ ,...) δηλαδή, όταν το μέγεθος ${\vec {a}}$ αλλάζει τάξη ε (τάξη μεγέθους)

Το μέγεθος ${\vec {a}}$ αλλάζει ${\tilde {a_{i}}}=a_{i}+\epsilon \cdot n_{i}$ Το ni είναι μια συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο που μεταβάλεται το μέγεθος αι και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής

Όπου L είναι η εξίσωση EULER -LAGRANGE

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ ΣΕΡ ΓΟΥΙΛΙΑΜ ΧΑΜΙΛΤΟΝ (1805-1865)

Ιρλανδος φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός γενήθηκε στο Δουβλίνο και ήταν ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ιρλανδίας,

γνωστός για την σημαντική του συνεισφορά στην κλαασική Μηχανική την Οπτική και την Άλγεβρα. Η μεγαλύτερη συμβολή του είναι η αναδιατύπωση της Νευτώνειας μηχανικής που σήμερα ονομάζεται Χαμιλτονιανή μηχανική

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE ΣE ENA MHXANIKO ΣΥΣΤΗΜΑ

Στην Φυσική η Λαγκρατζιανή συνάρτηση είναι μια βαθμωτή συνάρτηση και τα μεγέθη είναι θέσης, ταχύτητας και χρόνου.

Σε ένα μηχανικό σύστημα η Λαγκρατζιανή συνάρτηση είναι L = T- V όπου Τ είναι η κινητική ενέργεια και V είναι το δυναμικό

Για παράδειγμα σε ένα αρμονικό ταλαντωτή η Λαγκρατζιανή είναι: $L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\ ,$

PHGES

Σερ Γουίλιαμ Χάμιλτον, ο Ιρλανδός. - Σκέψεις...

Αρχή του Χάμιλτον - Βικιπαίδεια

Λαγκρανζιανή συνάρτηση - Βικιπαίδεια

Μετασχηματισμός Legendre: Ορισμός, Εφαρμογή και Χρήση στη Φυσική

Χαμιλτονιανή στην κβαντική θεωρία. Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_

Επαφή