Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ 3ο: Η Αρχή του Χάμιλτον και οι εξισώσεις Hamilton, γενικεύουν τις κανονικές εξισώσεις Euler Lagrange σε γενικά πεδία. Οι εξισώσεις Hamilton -Jacobi που συσχετίζουν την κλασσική με κβαντική μηχανική

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ 3ο: Η Αρχή του Χάμιλτον και οι εξισώσεις Hamilton, γενικεύουν τις κανονικές εξισώσεις Euler Lagrange σε γενικά πεδία. Οι εξισώσεις Hamilton -Jacobi που συσχετίζουν την κλασσική με κβαντική μηχανική

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

«Το μονοπάτι που ακολουθεί το φως είναι το μονοπάτι για το οποίο η ποσότητα δράσης θα είναι η ελάχιστη»

Pierre-Louis de Maupertuis

υπό κατασκευή

σε επεξεργασία

ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗΝ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΗ

ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΤΕΙΝΕΙ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΑ, ΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΕΙ ΠΟΣΟΤΙΚΑ

ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΚΔΗΛΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Από τον Αριστοτέλη που διατύπωσε την υπόθεση ότι "η φύση δεν κάνει τίποτα μάταια και σε όλες τις εκδηλώσεις επιλέγει τον συντομότερο ή ευκολότερο δρόμο", και τους μετέπειτα επιστήμονες που το κάνουν πιο συγκεκριμένο, όπως ο Κλαύδιος Πτολαιμαίος στην οπτική (Η ανακλωμενη ακτίνα ακολουθεί τον συντομότερο δρόμο) , και ο ο Pierre Fermat που το μελέτησε πολύ αργότερα 1662 μαζί με τον μαθηματικό Huygens ,και ο Λάιμπνιτς 1669, που πρώτος έθεσε τον όρο της έννοιας τη Δράσης σαν θεμελιώδη έννοια της Φυσικής. Ο μετά Νεύτωνα το 1687, που μελέτησε την ελαχιστοποίηση της αντίστασης στην κίνηση και άλλες αξιόλογες προσπάθειες.

Το μείζον (όπως πολύ αργότερα αποδείχθηκε) θέμα άρχισε αμυδρά να δίνει τις πραγματικές του διαστάσεις μετά από το έργο του Leonhard Euler για τον λογισμό των μεταβολών και οι υποψίες δικαιώθηκαν τον επόμενο αιώνα όταν ο william Rowan Hamilton δημοσίευσε την εργασία του πάνω στις εξισώσεις των μεταβολών, οι οποίες είχαν δεκαετίες διατυπωθεί πριν από δεκαετίες από τους Εuler- Lagrange. Ο Χάμιλτον με το έργο του έδωσε μια παραλλαγη- επέκταση των προηγούμενων εξισώσεων σε άλλα πεδία όπως το ηλεκτρομαγνητικό

Όταν στις αρχές τουν προηγούμενον αιώνα, μέσα από την κβαντική φυσική που στηρίζεται στην ερμηνεία των φαινομένων, σαν επαναλαμβανόμενες εμφανίσεις του ίδιου θέματος με διαφορετικές συντεταγμένες και με μαθηματική ακρίβεια (περιοδικότητα), υποψιάστηκαν πως η ελαχιστοποίηση ή και στασιμοποίηση της δράσης μπορεί να είναι η αρχή για μια ευρύτερη κατανόηση του φυσικού κόσμου πράγμα που άλλωστε έτεινε γενικότερα η ανθρώπινη διανόηση στις αρχές του 20ου αιώνα σε μια εναγώνια προσπάθεια και

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ HAMILTON H(ή Hamiltonian)

ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HAMILTON

Η συνάρτηση Hamiton H και το λειτουργικό J

Πως προκύπτουν οι εξισώσεις Hamilton

Η συνάρτηση Hamilton (Η) περιγράφει τον όρο "συνολική ενέργεια" δηλαδή αφορά την κινητική και την δυναμική ενέργεια ενός συστήματος
Εκφράζεται με κανονικές συντεταγμένες pi (γενικευμένη ορμή) και qi (γενικευμένες συντεταγμένες)θέσεων των υλικών σημείων μέσα στο σύστημα.
$H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t)$
Επίσης Η συνάρτηση Ηamilton συνδέεται με την συνάρτηση Lagrange (που αναφέρεται σε κίνηση μόνο) με την σχέση
H=—L + Σp_iq_i, .
Έτσι γράφουμε την συνάρτηση Hamilton που λέγεται και Hamiltonian
ή $H(p,q,t)=\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L(q,{\dot {q}},t)$

Από την μερική παραγώγηση ως προς τις συντεταγμένες και ως προς την ορμή προκύπτουν οι εξισώσεις Hamilton
Οι εξισώσεις του Χαμιλτον (κανονικές εξισώσεις Hamilton) είναι ${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

O αριθμός των εξισώσεων Χάμιλτον είναι διπλάσιος από τον βαθμούς ελευθερίας του συστήματος (ορμές + συντεταγμένες) και διπλάσιος επίσης από τις εξισώσεις Λαγκράντζ αλλά η τάξη μεγέθους τους είναι χαμηλότερη από τις εξισώσεις Λανγκράντζ και επιδή είναι απλές χρησιμοποιούνται ευκολότερα για επίλυση προβλημάτων.

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

Όπως είδαμε σε ένα μηχανικό σύστημα έχουμε,

την εφαρμογή της αρχής της ελαχίστης δράσης στην Μηχανική το 1788

Στην συνέχεια το 1788 ο Lagrage ανέπτυξε την εφαρμογή της αρχής της ελαχίστης δράσης στην Μηχανική με την χρηση του λογισμού των μεταβολών και των γενικευμένων συντεταγμένων.Xρησιμοποιείται η εξίσωση Lagrange ως η πιο κατάλληλη

Η σχέση της δράσης S από t1 έως t2 με την χρήση της εξίσωσης Λαγκάρτζε δίνεται από την σχέση

και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

$S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

Έτσι μπορούμε να πάρουμε άμεσα τις εξισώσεις του Hamilton απλά μεταβάλλοντας την δράση S και χρησιμοποιώντας την lagrangian στην αρχή της στάσιμης δράσης .

ή $H(p,q,t)=\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L(q,{\dot {q}},t)$ και επιλύοντας ως προς L

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt$

όπου S η δράση, L μια συνάρτηση lagrange, qi οι συντεταγμένες, q με τελεία παράγωγοι ανά τον χρόνο(ταχύτητες)

Όμως οι εξισώσεις Lagrange εδώ μεταβάλλονται με τον χρόνο την ορμή και τις συντεταγμένες

Μπορούμε από τις μεταβολές των Λαγκράνζιαν να εξάγουμε συμπεράσματα για τις γενικευμένες παρορμήσεις (ορμές) και τις γενικευμένες δυνάμεις: $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}$

{\frac {dp'}{dt}}={\frac {dq'}{dt}}=0.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HAMILTON -JACOBI

Βασίζονται στο γεγονός ότι: για τη συνάρτηση

S(q,p',t)

οι εξισώσεις κίνησης

και

H'(q',p',t)

έχουν την ίδια μορφή. Οπότε:

{\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H'=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}.

με μια συγκεκριμένη παραγώγηση προκύπτουν οι εξισώσεις HAMILTON -JACOBI που είναι

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0,

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΑΜΙΛΤΟΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΟΠΩΣ:

Η συνάρτηση Hamilton για ένα μεμονωμένο σημειακό σωματίδιο που κινείται σε μια περιορισμένη περιοχή του χώρου (ηλεκτρόνιο, άτομο) ή ένας αρμονικός ταλαντωτής , σε ένα δυναμικό πεδίο, είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας (συνάρτηση ορμής) και της Δυναμικής του ενέργειας (συνάρτηση συντεταγμένων).

σε αρμονικό ταλαντωτή είναι: $H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}$

Έτσι, η συνάρτηση κατανομής περιλαμβάνει δύο παράγοντες ex (-p²/2μT) και exp (-U (r)/kT)

Το φάσμα είναι διακριτό

Η Χαμιλτονιανή διατύπωση για την περιγραφή ενός μηχανικού συστήματος της κλασικής Μηχανικής. (W Hamilton 1833)

Είναι μια συνάρτηση που περιγράφει την δυναμική ενός μηχανικού συστήματος στην Χαμιλτιανή διατύπωση και η S υποδηλώνει μια κλασική Δράση. Χρησιμοποιούνται σε τομείς της θεωρητικής Φυσικής και των μαθηματικών

Είναι μια γνενίκευση των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα , ένα σύστημα από 2Ν διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως,

Εξαρτάται από γενικευμένες συντεταγμένες που καθορίζουν την κατάσταση του συστήματος. Αντί για κινητική ενέργεια γρησιμοποιεί ορμή, και πιθανόν χρόνο.. Χρησιμοποιεί ορμή αντί για ταχύτητες

$H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t)$

Oι εξισώσεις Hamilton - Jacobi σχετίζονται με την κλασική μηχανική αλλά είναι προσαρμοσμένες για να δημιουργήσουν μια σύνδεση μεταξύ της κλασικής μηχανικής και της κβαντικής μηχανικής

Προκύπτουν από το γεγονός ότι οι εξισώσεις κίνησης $H(q,p,t)$ των παραγόντων και των γενικευμένων συντεταγμένων έχουν την ίδια μορφή με αυτές που προκύπτους από τις πρώτες παραγώγους τους. $H'(q',p',t)$

Η εξίσωση Hamilton προκύπτει από μια συγκεκριμένη $S(q,p',t)$ , ώστε η $H'(q',p',t)$ γίνεται πανομοιότυπος με το μηδέν και είναι της μορφής $H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{ \frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}; t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$ όπου S υποδηλώνει μια κλασσική δράση, n $H(q_{1},\dots ,q_{n}; p_{1},\τελείες ,p_{n}; t)$ είναι η κλασσική Χαμιλτονιανή και q_iείναι γενικευμένες συντεταγμένες.

Σχετίζεται άμεσα με την κλασσική (μη κβαντική μηχανική) αλλά έχει δηνατότητες να εξυπηρετήσει και θέματα της κβαντικής μηχανικής

Η εξισώσεις Hamilton- Jacobi διαφέρουν από τις εξισώσεις κίνησης Hamilton και Euler Lagrange

Στην κβαντική θεωρία η Χαμιλτονιανή (Hamiltonian) εκφράζει την κβαντική συχνότητα των ταλαντώσεων μιας κυματοσυνάρτησης ω, μέσω του διανύσματος κυμάτων k για κάθε σημείο x

Η συνάρτηση Hamilton γίνεται τελεστής Hamilton

p= p₁, p₂,... p_n είναι παράγοντες του συστήματος που περιγράφουν παλμούς και n είναι οι βαθμοί ελευθερίας του

q= q₁, q₂,... q_n είναι ένα πλήρες σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων

\omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ).

Το φάσμα του είναι το σύνολο των πιθανών τιμών

Ο Χαμιλτονιανός τελεστής στην κβαντική μηχανική και στην κβαντική θεωρία πεδίου είναι τελεστής της συνολικής ενέργειας του συστήματος (κινητικής και κάθε είδους δυναμικής) .

$H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

Το φάσμα του είναι το σύνολο των πιθανών τιμών κατά τη μέτρηση της συνολικής ενέργειας του συστήματος και μπορεί να είναι διακριτό ή συνεχές και το υπολειπόμενο

Το διακριτό φάσμα σ_p (Α) είναι το σύνολο όλων των ιδιοτιμών του τελεστή Α και το συνεχές φάσμα σ_c (A) ορίζεται σε ένα πυκνό αλλά όχι διακριτό σύνολο ιδιοτιμών και το υπολειπόμενο σύνολο σημείων του φάσματος που δεν περιλαμβάνονται στο διακριτό ή το συνεχές.

Λειτουργία συνολικής ενέργειας συστήματος

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

PHGES

Σερ Γουίλιαμ Χάμιλτον, ο Ιρλανδός. - Σκέψεις...

Αρχή του Χάμιλτον - Βικιπαίδεια

Λαγκρανζιανή συνάρτηση - Βικιπαίδεια

Μετασχηματισμός Legendre: Ορισμός, Εφαρμογή και Χρήση στη Φυσική

Χαμιλτονιανή στην κβαντική θεωρία. Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια

Βασικά στοιχεία της Χαμιλτονιανής Μηχανικής - Βικιεπιστήμιο

Λαγκρανζιανή μηχανική - Βικιπαίδεια

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ - Βικιπαίδεια

Εφαρμογές-της-αναλυτικής-Lagrange-στο-λύκειο.pdf

Основы теоретической физики/Свойства функции Гамильтона — Викиучебник

Εξίσωση Χάμιλτον-Τζάκομπι - Βικιπαίδεια

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_

S(q,p',t)

Επαφή