Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ ΠΡΟΩΘΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 1ο:.Οι εξισώσεις Lagrange και Euler Lagrange με την αρχή της ελαχίστης Δράσης στην μελέτη κινήσεων. Μετασχηματισμοί Legendre στις Lagrange παράγουν ισοδύναμες ευνοικότερες

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ ΠΡΟΩΘΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 1ο:.Οι εξισώσεις Lagrange και Euler Lagrange με την αρχή της ελαχίστης Δράσης στην μελέτη κινήσεων. Μετασχηματισμοί Legendre στις Lagrange παράγουν ισοδύναμες ευνοικότερες

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

«Δεδομένου ότι όλα τα φυσικά φαινόμενα ακολουθούν κάποιο νόμο του μέγιστου ή του ελάχιστου, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ακόμη και για τις καμπύλες γραμμές που περιγράφουν τα πεταμένα σώματα, όταν κάποιες δυνάμεις δρουν πάνω τους, υπάρχει κάποια ιδιότητα μέγιστη ή ελάχιστη»

Leonard Eyrer 1744

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ Ο JOSEPH LOUIS LAGRANGE

Γάλλος μαθηματικός Ιταλικής καταγωγής , μαζί με τον Euler ο μεγαλύτερος του 18ου αιώνα. Σε συνέχεια του Ηamilton, Maupertius Euler eισήγαγε την αυστηρή μορφή μεταβολής των συναρτήσεων και έδωσε στον λογισμό των μεταβολών την σύγχρονη μορφή του. Επέκτεινε την αρχή της ελαχίστης δράσης από την μέχρι τότε εφαρμογή σε ελεύθερα υλικά σημεία , σε ένα αυθαίρετο μηχανικό σύστημα και έτσι τέθηκε η αρχή της αναλυτικής μηχανικής

Η Συνάρτηση Lagrange

H συνάρτηση Lagrage είανι ένα δυναμικό σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων που περιγράφει την ανάπτυξη ενός συστήματος

Είναι μια θεμελιώδης συνάρτηση των θέσεων, των ταχυτήτων και ορισμένες περιπτώσεις του χρόνου

Χρησιμοποιείται για επίλυση προβλημάτων για το υπό συνθήκη άκρων συναρτήσεων . δηλαδή, είναι μια μέθοδος για την ανεύρεση του υπό συνθήκη ακρότατου της συνάρτησης f(x) σε σχέση με τους περιορισμούς

Ακρα είναι τα σημεία που η συνάρτηση δίνει μέγιστα ή ελάχιστα

Στην μηχανική, Δίνεται με την διαφορά μεταξύ της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος Είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση $F(x,f(x),f'(x))$ ή αλλιώς L(qi, qi, t)

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ Ο Joseph Louis Lagrange

Γάλλος μαθηματικός Ιταλικής καταγωγής μαζί με τον Euler ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 18ου αιώνα

Σε συνέχεια των Maupertius και Εuler

Ήταν ένας από τους δημιουργούς του λογισμού των μεταβολών και δημιουργησε την εξίσωση για τα ακρότατα των συναρτήσεων

Οι εξισώσεις Lagrange

Οι εξισώσεις Lagrange οι οποίες προήλθαν από την γενίκευση των εξισώσεων Clairaut και περιγράφουν κίνηση.

Για να εκφράσουμε αυτή τη συνάρτηση πρέπει να βρούμε το πλήθος των αναξάρτητων μεταβλητών που απαιτούνται για να οριστεί η θέση του συστήματος, Το πλήθος αυτό καθορίζει τους βαθμούς ελευθερίας του.

Σωματίδιο που κινείται σε ευθεία γραμμή έχει ένα βαθμό ελευθερίας, αν κινείται σε επίπεδο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, και στον χώρο ελεύθερα έχει τρεις βαθμούς ελεθερίας.

Η θέση σε ένα στερεό σώμα καθορίζεται από έξη συντεταγμένες άρα έξη βαθμούς ελευθερίας: τρεις για την περιστροφή του και τρεις για την ελεύθερη κίνησή του (του κέντρου μάζας του) μέσα στον χώρο.

Αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας μπορεί να περιοριστούν εάν υπάρχουν δεσμοί που επιβάλλονται από δυνάμεις

ΟΙ εξισώσεις αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα βελτιστοποίησης, στον υπολογισμό τροχαιών στη μηχανική και στην θεωρητική φυσική αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης στην έκφραση Δράσης

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα μηχανικό σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από $S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

Λαμβάνουμε υπ όψη ότι,

η συνάρτηση Lagrange είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) δηλαδή μια φυσική ποσότητα που προσδιορίζεται πλήρως με έναν μόνο αριθμό και την κατάληλη μονάδα

Το J είναι μια ενέργεια που σημαίνει ότι είναι μια μαθηματική συνάρτηση που παίρνει την τροχαιά ενός φυσικού συστήματος ως όρισμα και επιστρέφει τον πραγματικό αριθμό ως αποτέλεσμα

Αν $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ είναι η συνάρτηση στον χώρο των ομαλών λενέργεια ειτουργιών και f΄ είναι η πρώτη παράγωγός της και η F είναι η συνάρτηση Lagrange μια ολοκληρωμένη της συνάρτηση $F(x,f(x),f'(x))$ .

ως προς τα ακρότατα a, β είναι η ενέργεια J $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

Η συνάρτηση $F(x,f(x),f'(x))$ ονομάζεται συνάρτηση Lagrange kai είναι δυο φορές διαφοροποιήσιμη

Η Συνάρτηση Εuler Lagrange

Oi εξισώσεις Euler Lagrange είναι μια ειδική μορφή εξισώσεων Lagrange που επίσης περιγράφουν κίνηση

Υποδεικνύουν την διατήρηση των ποσοτήτων κατά τη διάρκεια της κίνησης

εφόσον θεωρούμε ότι συμβαίνει αλλαγή κατά τη διάρκεια της κίνησης

(ασκούνται δυνάμεις)

Για να εξάγουμε τις εξισώσεις Euler Lagrange θεωρούμε μια μικρή αλλαγή στην διαδρομή του συστήματος : q₁(t) => q₁(t) + δε₁ . όπου δε₁ είναι μια απειροελάχιστη μεταβολή. Αυτό ενσωματώνεται στη Δράση σε μέρη μέχρι την πρώτη τάξη

Η δράση μεταβάλλεται κατά δS

το δS είναι ολοκλήρωμα της (θL/θq1) δε₁ + (θL/θ(dq₁/dt)) δ(dq₁/dt) ) δ(dq₁/dt και καταλήγουμε στις Ειλερ Λαγρανζ

για την Λαγρανζιανή F : $F(x,f(x),f'(x))$ που ολοκληρώνεται για τα ακρότατα α,β το $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

και εάν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές η συνάρτηση Euler Lagrange βάσει μικρών αλλαγών που αναφέρθηκαν πάνω, γίνεται

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$ (από τον διαφορικό λογισμό...;.) ¨η

αν η έχουμε την q(t) συνάρτηση Lagrangian συμβολισθει με L τότε η Euler Lagrange είναι η

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$

τότε φτάνουμε στην εξίσωση Euler Lagrange

(η χρονική παράγωγος συμβολίζεται με το μέγεθος και μια τελεία από πάνω και η δεύτερη παράγωγος με δύο τελείες αντίστοιχα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

H συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Πως με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

θα βρεθεί η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο

Στην Φυσική οι Εξισώσεις Euler Lagrange χρησιμοποιούνται για υπολογισμό τροχαιών

Οι εξισώσεις κίνησης στην μηχανική Lagrange βασίζονται στην αρχή της ελαχίστης δράσης του Hamilton.

Το σύστημα κινείται κατά μήκος μιας τροχαιάς που αντιστοιχεί στην ελάχιστη δράση.

Στασιμότητα είναι όρος που θεωρεί ότι η δράση δεν αλλάζει στην πρώτη τάξη μικρότητας με απειροελάχιστη αλλαγή στην τροχαιά και σταθερό αρχικό (q_o, t_o) και τελικό (q₁, t₁)

Χρησιμοποιόντας την συνάρτηση Λαγκρανζ L για να βρούμε τον τρόπο που θα διανυθεί τροχαιά από σημείο (a, c) σε (b, d) . Το μήκος του μονοπατιού L(H) μπορεί να γραφεί μέσω f = y(x) ως εξής:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$ και με διπλή διαφοροποίηση [d (θL/ψ΄)]/dx

και η εξίσωση Euler Lagrange ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,$ για να σταθεροποιηθεί η δράση η εσωτερική παράγωγος πρέπει να είναι σταθερά:

${\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=C$ και αντικαθιστώντας dy/dx και με μαθηματικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε ψ= Cx + D που μας δίνει ευθεία γραμμή. Είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που περνά από τα σημε'ια εκκίνησης. άρα

Οι κινήσεις σωματιδίων σε επίπεδο μεταξύ δύο σημείων, σύμφωνα με την Αρχή του Hamilton όπου δράση ελαχιστοποιείται είναι ευθύγραμμα τμήματα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ 1

H ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

Ποιο σχήμα θα πάρει μια μεμβράνη εάν αφεθεί ελεύθερη σύμφωνα thn Hamilton

με την χρήση της συνάρτησης Lagrange και των εξισώσεων Euler Lagrange

Αν έχουμε συνάρτηση με n μεταβλητές και Ω είναι μια nδιάστατη επιφάνεια τότε : $J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$ όπου $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$ , $f_{x_{i}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ ,

όπως αναφέρθηκε πιο πάνω...

Aν η συνάρτηση J σε κάποια σημεία φτάνει σε ακρότατα , πρέπει να κρατηθεί μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση και γι αυτό

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$

επειδή στην περίπτωση εδώ η συνάρτηση προκαλεί ακραίο εκτός εάν η f ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση

${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$ Η εργασία πάνω στην εξίσωση αυτή προυποθέτει να έχουμε n=2 και η L να είναι ενέργεια λειτουργική και ονομάζεται ελαχιστοποίηση της επιφάνειας της μεμβράνης σαπουνιού

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ 2

Αν ολοκληρώσουμε ως προς χρόνο και έχουμε την q(t) , q΄(t) , t και έχουμε την L (q(t) , q΄(t) , t ) τότε $J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

Στην συνέχεια το 1788 ο Lagrage ανέπτυξε την εφαρμογή της αρχής της ελαχίστης δράσης στην Μηχανική με την χρηση του λογισμού των μεταβολών και των γενικευμένων συντεταγμένων.

Έτσι μπορούμε να πάρουμε άμεσα τις εξισώσεις του Hamilton απλά μεταβάλλοντας την δράση S.

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt$

ακατεργαστο

ΣΕ μια βολικά επιλεγμένη συνάρτηση Λαγκράνζ με την εισαγωγή της αρχής της ελαχίστης δράσης οδηγούμαστε σε δυναμικά συστήματα εξισώσεων (Δυναμικά συστήματα Λανγκράνζ)

(Na σημειώσουμε ότι εδώ χρησιμοποιούνται οι γενικευμένες συντεταγμένες, όχι απαραίτητα οι καρτεσιανές).

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από την σχέση $S=\int L(q,\;{\dot {q}},\;t)~\mathrm {d} t$ Το χρονικό ολοκλήρωμα από μια δεδομένη τροχαιά είναι $S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)dt$

OI εξισώσεις Lagrange αλλάζουν με τον χρόνο, την αλλαγή συντεταγμένων και ορμής των σωματιδίων.

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE ΣE ENA MHXANIKO ΣΥΣΤΗΜΑ

Στην Φυσική η Λαγκρατζιανή συνάρτηση είναι μια βαθμωτή συνάρτηση και τα μεγέθη είναι θέσης, ταχύτητας και χρόνου.

Η συνάρτηση Lagrange είναι μια θεμελιώδης συνάρτηση θέσεων, ταχυτήτων και εν γένει χρόνου για το εκάστοτε μηχανικό σύστημα

Σε ένα απλό εκκρεμές μάζας m γνωστού μήκους που η κίνηση εξελίσσεται στο κατακόρυφο επίπεδο και η θέση καθορίζεται από πολικές (r,φ ) στις οποίες εκφράζεται η σχέση r= l

ή καρτεσιανές (x, y) συντεταγμένες, στις οποίες εκφράζεται η σχέση l₂ = x₂ + y₂ ,

Η συνολική ενέργεια του συστήματος δίνεται από: $H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE

Η συνάρτηση Λαγκρανζ μετασχηματίζεται μέσω μετασχηματισμού Legendre

O μετασχηματισμός αυτός μας επιτρέπει να τροποποιούμε μεταβλητές σε συναρτήσεις και χρησιμοποιείται αρχικά στη θερμοδυναμική, ηλεκτροδυναμική και μηχανική και παίζει μεγάλο ρόλο στην κβαντική θεωρία πεδίου στην συνέχεια. καθιερώνοντας μια σχέση μεταξύ συζυγών ποσοτήτων όπως η εντροπία και η ενέργεια, η ορμή και η ταχύτητα κ.α.

Έτσι παράγονται ισοδύναμες διατυπώσεις που ευνοούν καλύτερα ορισμένα φυσικά ή μαθηματικά θέματα σε πολλούς επιστημονικούς και τεχνικούς κλάδους .

Ο μετασχηματισμός Legendre είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που αντικαθιστά αρχικά την αρχική συνάρτηση με μια άλλη με νέες μεταβλητές που εξυπηρετούν καλύτερα συγκεκριμένα θέματα.

Ταυτόχρονα μετατρέπονται και οι χώροι που ορίζονται οι συναρτήσεις αυτές . Αν η αρχική συνάρτηση λ.χ. ορίζονταν στον διανυσματικό χώρο V η διϊκή που προέκυψε με τον μετασχηματισμό θα ορίζεται στον χώρο V*

Ο μετασχηματισμός κάθε φορά γίνεται ώστε η παλιά παράγωγος λαμβάνεται ως νέα μεταβλητή και η παλιά μεταβλητή ως νέα παράγωγος

Αν $df(x)=f'(x)\,dx$

Είναι ισοδύναμες με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα :η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του $\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}=\Delta {\vec {p}}$

Η δράση ενός σώματος που από την κατάσταση Α περιήλθε στην κατάσταση Β δίνεται από $S\equiv \int _{A}^{B}L\left(a_{i},{\dot {a_{i}}},{\ddot {a_{i}}},...,t\right)dt$ ( α_i είναι μεγέθος που περιγράφει το σύστημα )

Όπου L είναι η εξίσωση EULER -LAGRANGE

ΠΗΓΕΣ

Στατιστικά Boltzmann

Λαγκρανζιανή συνάρτηση - Βικιπαίδεια

Μετασχηματισμός Legendre: Ορισμός, Εφαρμογή και Χρήση στη Φυσική

Λαγκρανζιανή μηχανική - Βικιπαίδεια

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ - Βικιπαίδεια

Εφαρμογές-της-αναλυτικής-Lagrange-στο-λύκειο.pdf

Основы теоретической физики/Свойства функции Гамильтона — Викиучебник

Επαφή