Αρχική Σελίδα > ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ. 1οΤι είναι η φυσική ποσότητα Δράση πως από την αρχαία διαπίστωση ότι η εξέλιξη των φαινομένων ακολουθεί την αρχή της στασιμοποίησης της δράσης, περάσαμε στην κβαντική θεώρηση του κοσμου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ. 1οΤι είναι η φυσική ποσότητα Δράση πως από την αρχαία διαπίστωση ότι η εξέλιξη των φαινομένων ακολουθεί την αρχή της στασιμοποίησης της δράσης, περάσαμε στην κβαντική θεώρηση του κοσμου

Δήμητρα Σπανού, χημικός, συνταξιούχος καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης από 30-6-2025

υπό κατασκευή

«Δεδομένου ότι όλα τα φυσικά φαινόμενα ακολουθούν κάποιο νόμο του μέγιστου ή του ελάχιστου, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ακόμη και για τις καμπύλες γραμμές που περιγράφουν τα πεταμένα σώματα, όταν κάποιες δυνάμεις δρουν πάνω τους, υπάρχει κάποια ιδιότητα μέγιστη ή ελάχιστη»

Leonard Eyrer 1744

ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗΝ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΗ

ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΤΕΙΝΕΙ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΑ, ΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΕΙ ΠΟΣΟΤΙΚΑ

ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΚΔΗΛΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Από τον Αριστοτέλη που διατύπωσε την υπόθεση ότι "η φύση δεν κάνει τίποτα μάταια και σε όλες τις εκδηλώσεις επιλέγει τον συντομότερο ή ευκολότερο δρόμο", και τους μετέπειτα επιστήμονες που το κάνουν πιο συγκεκριμένο, όπως ο Κλαύδιος Πτολαιμαίος στην οπτική (Η ανακλωμενη ακτίνα ακολουθεί τον συντομότερο δρόμο) , και ο ο Pierre Fermat που το μελέτησε πολύ αργότερα 1662 μαζί με τον μαθηματικό Huygens ,και ο Λάιμπνιτς 1669, που πρώτος έθεσε τον όρο της έννοιας τη Δράσης σαν θεμελιώδη έννοια της Φυσικής. Ο μετά Νεύτωνα το 1687, που μελέτησε την ελαχιστοποίηση της αντίστασης στην κίνηση και άλλες αξιόλογες προσπάθειες.

Το μείζον (όπως πολύ αργότερα αποδείχθηκε) θέμα άρχισε αμυδρά να δίνει τις πραγματικές του διαστάσεις μετά από το έργο του Leonhard Euler για τον λογισμό των μεταβολών και οι υποψίες δικαιώθηκαν τον επόμενο αιώνα όταν ο william Rowan Hamilton δημοσίευσε την εργασία του πάνω στις εξισώσεις των μεταβολών, οι οποίες είχαν δεκαετίες διατυπωθεί πριν από δεκαετίες από τους Εuler- Lagrange. Ο Χάμιλτον με το έργο του έδωσε μια παραλλαγη- επέκταση των προηγούμενων εξισώσεων σε άλλα πεδία όπως το ηλεκτρομαγνητικό

Όταν στις αρχές τουν προηγούμενον αιώνα, μέσα από την κβαντική φυσική που στηρίζεται στην ερμηνεία των φαινομένων, σαν επαναλαμβανόμενες εμφανίσεις του ίδιου θέματος με διαφορετικές συντεταγμένες και με μαθηματική ακρίβεια (περιοδικότητα), υποψιάστηκαν πως η ελαχιστοποίηση ή και στασιμοποίηση της δράσης μπορεί να είναι η αρχή για μια ευρύτερη κατανόηση του φυσικού κόσμου πράγμα που άλλωστε έτεινε γενικότερα η ανθρώπινη διανόηση στις αρχές του 20ου αιώνα σε μια εναγώνια προσπάθεια και θαυμαστά αποτελέσματα

ΠΟΙΑ ΕΊΝΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ "ΔΡΑΣΗ"

Στη Φυσική η Δράση είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος που περιλαμβάνεται στην διατύπωση σύγχρονων θεωριών όλων σχεδόν των κλάδων της Φυσικής, με μεγάλη σημασία για την θεωρητική Φυσική.

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες ενέργεια επί χρόνο

Σε αυτό το φυσικό μέγεθος οφείλεται η μεταβολή των μεγεθών του συστήματος Καθορίζει τόσο την κλασσική συμπεριφορά του συστήματος όσο και την κβαντική συμπεριφορά του

Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ (ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ)

Είναι μια αρχή της Φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται

Η αρχή της ελαχίστης δράσης διατυπώθηκε αρχικά το 1740 από τον Maurertuis για την Μηχανική και το έργο του υποστηρίχτηκε από τον Euler o οποίος επίσης ανέπτυξε τον λογισμό των μεταβολών

Στην κλασσική μηχανική η αρχή της ελαχίστης δράσης προϋποθέτει ότι ένα φυσικό σύστημα ακολουθεί πάντα την τροχαιά με την λιγότερη δράση

Στην κβαντική μηχανική η θεωρία διατυπώνεται με όρους ολοκληρωμάτων και ένα φυσικό σύστημα ακολουθεί όλες τις πιθανές τροχαιές όμως το πλάτος της πιθανότητας να ακολουθήσει μια συγκεκριμένη τροχαιά καθορίζεται από τη δράση αυτής της τροχαιάς

_{ΠΩΣ ΕΡΜΗΝΕΥΤΗΚΕ Η ΣΤΑΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ WILLIAM HAMILTON}

_{H ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ AΡΧΗΣ ΤΟΥ HAMILTON}

Η αρχή του Χάμιλτον που έχει γενική ισχύ στη Φυσική και εφασμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μια διαδικασία ώστε να στασιμοποιείται η δράση S των συστημάτων

Αυτή η στασιμοποίηση συμβαίνει όταν δράση μεταβάλεται κατά τάξη ε² ή μεγαλύτερη ( ε³ , ε⁴ ,...) δηλαδή, όταν το μέγεθος ${\vec {a}}$ αλλάζει τάξη ε (τάξη μεγέθους)

Το μέγεθος ${\vec {a}}$ αλλάζει ${\tilde {a_{i}}}=a_{i}+\epsilon \cdot n_{i}$ Το ni είναι μια συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο που μεταβάλεται το μέγεθος αι και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής

ακατέργαστο

Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Είναι η μηχανική που προκύπτει από την αρχή του HAMILTON και καταλήγει στις εξισώσεις EULER -LAGRANGE

Η δημιουργία τυποποιημένων διαδικασιών για την μελέτη και την διεξαγωγή συμπερασμάτων στην μηχανική από τους Λαγκρανζ και Χάμιλτον σε θεωρείται πιο διευρυμένη από την Νεύτωνα.

Χρησιμοποιούνται έννοιες όπως οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και ο φορμαλισμός στον χώρο των φάσεων

Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε σαν βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ HTAN O EULER ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ

Ο Euler Ελβετός, Ρώσος και Πρώσος μαθηματικός και μηχανικός, τιμήθηκε για το μεγάλο έργο του σαν Ακαδημαϊκός της Ακαδημίας των επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, του Βερολίνου, του Τορίνου, της Λισαβώνας και της Βασιλείας.

Στην Φυσική, με τις σημαντικές εργασίες του για την κίνηση υλικού σημείου, τον λογισμό μεταβολών και την ελαχιστοποίησης της δράσης καθώς και για τις εργασίες μαζί με τον άλλον κορυφαίο φυσικό Lagrange έθεσε τα θεμέλια για την Λαγκρατζιανή Μηχανική που επέκταση τη Νευτώνιας

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ Ο JOSEPH LOUIS LAGRANGE

Γάλλος μαθηματικός Ιταλικής καταγωγής , μαζί με τον Euler ο μεγαλύτερος του 18ου αιώνα. Σε συνέχεια του Ηamilton, Maupertius Euler eισήγαγε την αυστηρή μορφή μεταβολής των συναρτήσεων και έδωσε στον λογισμό των μεταβολών την σύγχρονη μορφή του. Επέκτεινε την αρχή της ελαχίστης δράσης από την μέχρι τότε εφαρμογή σε ελεύθερα υλικά σημεία , σε ένα αυθαίρετο μηχανικό σύστημα και έτσι τέθηκε η αρχή της αναλυτικής μηχανικής

Ήταν ένας από τους δημιουργούς του λογισμού των μεταβολών και δημιουργησε την εξίσωση για τα ακρότατα των συναρτήσεων

ΠΟΙΟΣ ΗΤΑΝ ΣΕΡ ΓΟΥΙΛΙΑΜ ΧΑΜΙΛΤΟΝ (1805-1865)

Ιρλανδος φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός γενήθηκε στο Δουβλίνο και ήταν ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ιρλανδίας,

γνωστός για την σημαντική του συνεισφορά στην κλαασική Μηχανική την Οπτική και την Άλγεβρα. Η μεγαλύτερη συμβολή του είναι η αναδιατύπωση της Νευτώνειας μηχανικής που σήμερα ονομάζεται Χαμιλτονιανή μηχανική

Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρμογή της αρχής της αρχής του Χάμιλτον σε ένα μηχανικό σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση. ως εξής:

Η σχέση της δράσης S με την εξίσωση Λαγκάρτζε δίνεται από $S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt$

Λαμβάνουμε υπ όψη ότι,

η συνάρτηση Lagrange είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) δηλαδή μια φυσική ποσότητα που προσδιορίζεται πλήρως με έναν μόνο αριθμό και την κατάληλη μονάδα

Το J είναι μια ενέργεια που σημαίνει ότι είναι μια μαθηματική συνάρτηση που παίρνει την τροχαιά ενός φυσικού συστήματος ως όρισμα και επιστρέφει τον πραγματικό αριθμό ως αποτέλεσμα

Αν $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ είναι η συνάρτηση στον χώρο των ομαλών ενέργεια λειτουργιών και f΄ είναι η πρώτη παράγωγός της και η F είναι η συνάρτηση Lagrange μια ολοκληρωμένη της συνάρτηση $F(x,f(x),f'(x))$ .

ως προς τα ακρότατα a, β είναι η ενέργεια J $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

Η συνάρτηση $F(x,f(x),f'(x))$ ονομάζεται συνάρτηση Lagrange kai είναι δυο φορές διαφοροποιήσιμη

Για να εξάγουμε τις εξισώσεις Euler Lagrange θεωρούμε μια μικρή αλλαγή στην διαδρομή του συστήματος : q₁(t) => q₁(t) + δε₁ . όπου δε₁ είναι μια απειροελάχιστη μεταβολή. Αυτό ενσωματώνεται στη Δράση σε μέρη μέχρι την πρώτη τάξη

Η δράση μεταβάλλεται κατά δS

το δS είναι ολοκλήρωμα της (θL/θq1) δε₁ + (θL/θ(dq₁/dt)) δ(dq₁/dt) ) δ(dq₁/dt και καταλήγουμε στις Ειλερ Λαγρανζ

για την Λαγρανζιανή F : $F(x,f(x),f'(x))$ που ολοκληρώνεται για τα ακρότατα α,β το $J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

και εάν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές η συνάρτηση Euler Lagrange βάσει μικρών αλλαγών που αναφέρθηκαν πάνω, γίνεται

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$ (από τον διαφορικό λογισμό...;.) ¨η

αν η έχουμε την q(t) συνάρτηση Lagrangian συμβολισθει με L τότε η Euler Lagrange είναι η

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$

τότε φτάνουμε στην εξίσωση Euler Lagrange

(η χρονική παράγωγος συμβολίζεται με το μέγεθος και μια τελεία από πάνω και η δεύτερη παράγωγος με δύο τελείες αντίστοιχα

Η συνολική ενέργεια του συστήματος δίνεται από: $H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE

Η συνάρτηση Λαγκρανζ μετασχηματίζεται μέσω μετασχηματισμού Legendre

O μετασχηματισμός αυτός μας επιτρέπει να τροποποιούμε μεταβλητές σε συναρτήσεις και χρησιμοποιείται αρχικά στη θερμοδυναμική, ηλεκτροδυναμική και μηχανική και παίζει μεγάλο ρόλο στην κβαντική θεωρία πεδίου στην συνέχεια. καθιερώνοντας μια σχέση μεταξύ συζυγών ποσοτήτων όπως η εντροπία και η ενέργεια, η ορμή και η ταχύτητα κ.α.

Έτσι παράγονται ισοδύναμες διατυπώσεις που ευνοούν καλύτερα ορισμένα φυσικά ή μαθηματικά θέματα σε πολλούς επιστημονικούς και τεχνικούς κλάδους .

Ο μετασχηματισμός Legendre είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που αντικαθιστά αρχικά την αρχική συνάρτηση με μια άλλη με νέες μεταβλητές που εξυπηρετούν καλύτερα συγκεκριμένα θέματα.

Ταυτόχρονα μετατρέπονται και οι χώροι που ορίζονται οι συναρτήσεις αυτές . Αν η αρχική συνάρτηση λ.χ. ορίζονταν στον διανυσματικό χώρο V η διϊκή που προέκυψε με τον μετασχηματισμό θα ορίζεται στον χώρο V*

Ο μετασχηματισμός κάθε φορά γίνεται ώστε η παλιά παράγωγος λαμβάνεται ως νέα μεταβλητή και η παλιά μεταβλητή ως νέα παράγωγος

Αν $df(x)=f'(x)\,dx$

Είναι ισοδύναμες με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα :η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του $\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}=\Delta {\vec {p}}$

Η δράση ενός σώματος που από την κατάσταση Α περιήλθε στην κατάσταση Β δίνεται από $S\equiv \int _{A}^{B}L\left(a_{i},{\dot {a_{i}}},{\ddot {a_{i}}},...,t\right)dt$ ( α_i είναι μεγέθος που περιγράφει το σύστημα )

Όπου L είναι η εξίσωση EULER -LAGRANGE

Δήμητρα Σπανού

ΠΗΓΕΣ

Στατιστικά Boltzmann

Λαγκρανζιανή συνάρτηση - Βικιπαίδεια

Μετασχηματισμός Legendre: Ορισμός, Εφαρμογή και Χρήση στη Φυσική

Основы теоретической физики/Свойства функции Гамильтона — Викиучебник

Επαφή